高考數學一輪復習講練測(新教材新高考)重難點突破02向量中的隱圓問題(四大題型)(原卷版+解析)

重難點突破02向量中的隱圓問題目錄技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關構成隱圓坐標法妙解題型一：數量積隱圓例1．（2023·上海松江·?？寄M預測）在中，.為所在平面內的動點，且，若，則給出下面四個結論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·全國·高三專題練習）若正的邊長為4，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例3．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知是邊長為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內一點，若，則的最小值是A． B． C． D．變式2．（2023·北京·高三專題練習）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.題型二：平方和隱圓例4．（2023·全國·高三專題練習）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．例5．（2023·上海·高三專題練習）已知平面向量、滿足，，設，則________.例6．（2023·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式4．（2023·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．變式5．（2023·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？茧A段練習）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數k的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：，點，若圓C上存在點M，滿足，則點M的縱坐標的取值范圍是___________.題型三：定冪方和隱圓例7．（2023·湖南長沙·高一長沙一中?？计谀┮阎c，，直線：上存在點，使得成立，則實數的取值范圍是______.例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄浚膴A角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．變式7．（2023·江蘇·高三專題練習）已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學?？茧A段練習）已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_______．變式9．（2023·四川達州·高二四川省大竹中學校考期中）已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.變式11．（2023·河南南陽·南陽中學校考模擬預測）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.題型四：與向量模相關構成隱圓例10．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是__________．例11．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．例12．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為__________.變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，，B在直線上，，動點M滿足，則的最小值為__________.變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.變式15．（2023·新疆·高三新疆兵團第二師華山中學?？茧A段練習）已知是、是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為______變式16．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．變式17．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．變式18．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知向量滿足，則的最大值為________．變式20．（2023·全國·高三專題練習）設，為單位向量，則的最大值是________

重難點突破02向量中的隱圓問題目錄技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關構成隱圓坐標法妙解題型一：數量積隱圓例1．（2023·上海松江·校考模擬預測）在中，.為所在平面內的動點，且，若，則給出下面四個結論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】如圖，以為原點，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系，則，因為，所以設，則，，所以，所以，即（為任意角），所以（其中），所以的最大值為，最小值為，所以①③錯誤，因為，所以（其中）因為，所以，所以，所以的最小值為，最大值為14，所以②正確，④錯誤，故選：A例2．（2023·全國·高三專題練習）若正的邊長為4，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題知，以為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖，

則，，由題意設，則，，，，，可得.故選：D例3．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，以直角頂點為原點，射線分別為軸非負半軸，建立平面直角坐標系，如圖，

令角的始邊為射線，終邊經過點，由，得，而，于是，因此，其中銳角由確定，顯然，則，所以的取值范圍是.故選：D變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知是邊長為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內一點，若，則的最小值是A． B． C． D．【答案】A【解析】作出圖像如下圖所示，取的中點為D，則，因為，則P在以O為圓心，以1為半徑的圓上，則.又為圓O上的點P到D的距離，則，∴的最小值為.故選：A.變式2．（2023·北京·高三專題練習）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.【答案】【解析】因為是邊長為的等邊三角形，且，則為的中點，故，以點為坐標原點，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，設點，，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.【答案】/【解析】解法1：如圖，因為，所以，故四邊形為矩形，設的中點為S，連接，則，所以，又為直角三角形，所以，故①，設，則由①可得，整理得：，從而點S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，顯然點P在該圓內部，所以，因為，所以；解法2：如圖，因為,所以，故四邊形為矩形，由矩形性質，，所以，從而，故Q點的軌跡是以O為圓心，為半徑的圓，顯然點P在該圓內，所以.故答案為：.題型二：平方和隱圓例4．（2023·全國·高三專題練習）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】依題意，可為與x軸、y軸同向的單位向量，設化簡得：運用輔助角公式得：，即得：，故；故答案為：例5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知平面向量、滿足，，設，則________.【答案】【解析】因為且，所以；又因為，所以；由，所以；根據可知：，左端取等號時：三點共線且在線段外且靠近點；右端取等號時，三點共線且在線段外且靠近點，所以，所以.故答案為：.例6．（2023·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先求出動點M的軌跡是圓D,再根據圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.設，則，所以，所以點M的軌跡是一個圓D,由題得圓C和圓D相交或相切，所以，所以.故選：B變式4．（2023·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，∵直線與點，直線上存在點滿足，∴，整理,得①，∵直線上存在點M,滿足，∴方程①有解，∴，解得：，故選D.變式5．（2023·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？茧A段練習）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，，，即．點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點Q使得，則PQ為圓的切線時最大，，即．圓心到直線的距離，或．故選：C．變式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：，點，若圓C上存在點M，滿足，則點M的縱坐標的取值范圍是___________.【答案】【解析】解析：設，因為，所以，化簡得，則圓C：與圓：有公共點，將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為代入可得，故答案為：.題型三：定冪方和隱圓例7．（2023·湖南長沙·高一長沙一中?？计谀┮阎c，，直線：上存在點，使得成立，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意得：直線，因此直線經過定點；設點坐標為，；，化簡得：，因此點為與直線的交點．所以應當滿足圓心到直線的距離小于等于半徑解得：故答案為例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，作，，，取的中點，連接，以點為圓心，為半徑作圓，，，，所以，為等邊三角形，為的中點，，所以，的底邊上的高為，，，所以，，所以，，由圓的幾何性質可知，當、、三點共線且為線段上的點時，的面積取得最大值，此時，的底邊上的高取最大值，即，則，因此，的最大值為.故選：B.例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學校考期中）已知平面單位向量，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．【答案】A【解析】由推出，所以，如圖，終點的軌跡是以為半徑的圓，設，，，，所以表示的距離，顯然當時最小，M的最大值為圓心到的距離加半徑，即，故選：A變式7．（2023·江蘇·高三專題練習）已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】由平面向量數量積的性質及其運算得，設，則，則點C在以AB為直徑的圓O周上運動，由圖知：當DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，設，利用三角函數求的最值．由得：，即，設，則，則點C在以AB為直徑的圓O上運動，由圖知：當DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，設，則，所以當時，|DC|取最大值，故選：C．變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學?？茧A段練習）已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_______．【答案】【解析】因為，則，即，因為，即，作，，，，則，，則，固定點，則為的中點，則點在以線段為直徑的圓上，點在以點為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示：，設，則，因為，，故，當時，等號成立，即的最大值為.故答案為：.變式9．（2023·四川達州·高二四川省大竹中學?？计谥校┮阎?，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．【答案】【解析】由得，，故，或或，設，，以O為原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示坐標系，則，令，則，，由，或或，得B點在以為圓心，為半徑的圓上，又非零向量與的夾角為，則設的起點為原點，則終點在不含端點的兩條射線，上，則的幾何意義等價于圓上的點到射線上的點的距離，則其最小值為圓心到直線的距離減去半徑，不妨以為例，則的最小值為故答案為：變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.【答案】【解析】因為，即，可得，設，，則，則，設，則，因為，，則或，因為，則或，令，則或，根據對稱性，可只考慮，由，記點、、，則，，所以，，當且僅當點為線段與圓的交點時，等號成立，所以，.故答案為：.變式11．（2023·河南南陽·南陽中學校考模擬預測）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.【答案】/【解析】設，則由得，可得，由得，因此，表示圓上的點到直線上的點的距離；故其最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故答案為：題型四：與向量模相關構成隱圓例10．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是__________．【答案】【解析】均為單位向量且，不妨設，，且，，，，的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，點在單位圓內，點在單位圓外，則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，所求最小值為.故答案為：.例11．（2023·上海·高三專題練習）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．【答案】【解析】作圖，，則，，因為，所以起點在原點，終點在以B為圓心，1為半徑的圓上；同理，，所以起點在原點，終點在以C為圓心，1為半徑的圓上，所以的最小值則為，因為，，當，，三點共線時，，所以.故答案為：.例12．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.【答案】/【解析】如圖，設，，，，，則點在以為圓心，以為半徑的圓上，點在以為圓心，以為半徑的圓上，，所以點在射線上，所以，作點關于射線對稱的點，則，且，所以（當且僅當點三點共線時取等號）所以的最小值為，故答案為：.變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為__________.【答案】【解析】如圖，為直線上的任意一點，過圓心作，連接，由，可得，由，當共線時取等號，又是的中點，所以，所以.則此時，的最小值為.故答案為：變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，，B在直線上，，動點M滿足，則的最小值為__________.【答案】/【解析】設，因為，所以，因為，所以，，整理得，可得點在以為圓心，半徑為的圓上，，當時，可得，即圓心在在直線上，過做的垂線，當垂足為圓心點時，長度最小，的長度也最小，且長度最小值為，此時的最小值為.故答案為：.變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.【答案】/【解析】法一由，得.如圖所示，分別作,作，由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以,作，則,所以點P在以C為圓心，1為半徑的圓上.由圖可知，當點O，C，P三點共線且點P在點P1處時，||取得最大值,故||的最大值是,故答案為：法二由，得，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，由，得，所以點C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：變式15．（2023·新疆·高三新疆兵團