預(yù)習09直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（八大考點）

預(yù)習09直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離代數(shù)法：由消元得到一元二次方程，判別式為圖形二、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系的判定方法有幾何法和代數(shù)法兩種，如下表：位置關(guān)系幾何法代數(shù)法圖示外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含考點01 直線與圓的位置關(guān)系【方法點撥】判斷直線與圓位置關(guān)系的三種方法：（1）幾何法：由圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系判斷；（2）代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．【例1】直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】B【詳解】直線恒過定點，將定點代入圓的方程，發(fā)現(xiàn)，則定點在圓內(nèi)部，所以直線與圓必相交.故選:B.【例2】已知直線，圓，則“與有公共點”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】圓，即，圓心為，半徑，若與有公共點，則，解得，所以由“與有公共點”推不出“”，故充分性不成立；由推得出與有公共點，故必要性成立；所以“與有公共點”是“”的必要不充分條件.故選：B【變式11】圓與直線的交點個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．與k的取值有關(guān)【答案】D【詳解】直線，即，令，解得，故直線l經(jīng)過點.又，所以點在圓外，故直線l與圓的交點個數(shù)可能為0、1或2，即與k的取值有關(guān).故選：D【變式12】“”是直線和圓相交的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】圓的圓心，半徑為，若直線和圓相交，則，解得，所以“”是直線和圓相交的必要不充分條件.故選：B.【變式13】在平面直角坐標系xOy中，直線與圓C：相交于點A，B，若，則（

）A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7【答案】C【詳解】由題意可知，圓C：，標準化后可得圓C：因為，，過點C作AB的垂線CD，.如圖所示，，在中，.所以，圓心C到直線l的距離:因此，，解得，故選：C.考點02 直線與圓的相切問題【方法點撥】（1）求過圓上一點的圓的切線方程的方法：先求切點與圓心的連線所在直線的斜率，再由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點斜式方程可得切線方程．若或不存在，則切線的斜率不存在或為0，從而可直接得切線方程為或；（2）求過圓外一點的圓的切線方程一般采取幾何法：設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得，切線方程即可求出．【例3】圓在點處的切線方程為．【答案】【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因為，可知點在圓上，又因為，可知切線方程的斜率，所以切線方程為，即.故答案為：.【例4】設(shè)過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解法1：如圖，圓，即，則圓心，半徑，過點作圓的切線，切點為，連接.因為，則，得，則，即為鈍角，且為銳角，所以.故選：A.解法2：如圖，圓，即，則圓心，半徑，過點作圓的切線，切點為，連接.因為，則，因為，且，則，即，解得，即為鈍角，且為銳角，則.故選：A.解法3：圓，即，則圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，所以，又為銳角，由解得.故選：A.【變式21】已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)求過點且與圓相切的直線方程.【答案】(1)(2).【詳解】（1）設(shè)圓心為，半徑為，由，得，得，所以點坐標為，圓半徑，所以圓的標準方程為：.（2）由，知點在圓上，由且，，知，所以過的圓切線方程為：.【變式22】已知和點，則過點的的所有切線方程為.【答案】或【詳解】由圓的方程可得圓心，半徑，由題意可得圓心到切線的距離等于半徑，由點代入圓的方程可得，所以點在圓外，所以當切線的斜率不存在時，滿足題意的直線方程為；當斜率存在時，設(shè)為，則過點的切線方程為，即所以，解得，此時，切線方程為，綜上，過點的的所有切線方程為或.故答案為：或.【變式23】過點向圓作兩條切線，切點分別為，若，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【詳解】圓的圓心，半徑，連接，依題意，，則，于是，整理得，所以或.故選：D考點03 圓的弦長問題【方法點撥】一般用幾何法：由于半徑、弦長距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用求解【例5】直線被圓所截得的弦長為.【答案】2【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心，，則圓心到直線的距離，所以弦長為.故答案為：2【例6】過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【詳解】將圓化為，圓心，半徑，因為，所以點在圓內(nèi)，記圓心到直線的距離為，則，由圖可知，當，即時，取得最小值，因為，所以的最小值為.故選：C..【變式31】已知直線被圓心為的圓截得的弦長為，則該圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為，易得直線方程為，而，由勾股定理得，解得，故圓的方程為，故C正確.故選：C【變式32】已知直線與圓相交于A，B兩點，若，則（）A． B．1 C． D．﹣2【答案】C【詳解】圓與直線與相交于A，B兩點，且．則圓心到直線的距離，利用垂徑定理得，所以，解得．故選：C．【變式33】過坐標原點O作兩條互相垂直的直線OA，OB，點A，B（異于點O）均在圓上，則面積的最大值為（

）A．26 B． C．13 D．【答案】C【詳解】圓化成標準方程為，

圓C的半徑為，O在圓C上，因為，所以AB是圓C的一條直徑．當時，面積取得最大值，則最大值為．故選：C.考點04 直線與圓的實際應(yīng)用【方法點撥】①認真審題，明確題意，從題目中抽象出兒何模型，明確已知量和未知量；②建立平面直角坐標系，求出相關(guān)各點的坐標，從而在實際問題中求出直線與圓的方程；③利用直線與圓的方程的有關(guān)知識求解問題；④將運算結(jié)果還原到實際問題中【例7】如圖，圓弧形拱橋的跨度米，拱高|米，則拱橋的直徑為（）A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米【答案】B【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，連接，如下圖所示，，則由勾股定理得，即，解得，所以拱橋的直徑為13米.故選：B.【例8】如圖，第25屆中國機器人及人工智能大賽總決賽中，主辦方設(shè)計了一個矩形坐標場地（包含地界和內(nèi)部），長為12米，在邊上距離B點5米的E處放置一只機器犬，在距離B點2米的F處放置一個機器人，機器人行走的速度為v，機器犬行走的速度為，若機器犬和機器人在場地內(nèi)沿著直線方向同時到達場地內(nèi)某點P，則機器犬將被機器人捕獲，點P叫成功點．(1)求在這個矩形場地內(nèi)成功點P的軌跡方程；(2)若N為矩形場地邊上的一點，若機器犬在線段上都能逃脫，問N點應(yīng)在何處？【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖，分別以，所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，則，，設(shè)成功點，可得，即，化簡得．因為點P需在矩形場地內(nèi)，所以，故所求軌跡方程為．（2）當線段與（1）中的圓相切時，，所以，所以．若機器犬在線段上都能逃脫，則N點橫坐標的取值范圍是．【變式41】（多選）某市為了改善城市中心環(huán)境，計劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內(nèi)一個高塔，施工單位在某平臺的北偏東方向處設(shè)立觀測點，在平臺的正西方向處設(shè)立觀測點，已知經(jīng)過三點的圓為圓，規(guī)定圓及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū).以為坐標原點，的正東方向為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系.經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在平臺的正南方向的處，有一輛小汽車沿北偏西方向行駛，則（

）

A．觀測點之間的距離是B．圓的方程為C．小汽車行駛路線所在直線的方程為D．小汽車會進入安全預(yù)警區(qū)【答案】BD【詳解】由題意，得，所以，即觀測點之間的距離是，故A錯誤；設(shè)圓的方程為，因為圓經(jīng)過三點，所以，解得，所以圓的方程為，故B正確；小汽車行駛路線所在直線的斜率為，又點的坐標是，所以小汽車行駛路線所在直線的方程為，故C錯誤；圓化成標準方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，即小汽車會進入安全預(yù)警區(qū)，故D正確.故選：BD.【變式42】為了保證海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的正東方向設(shè)立了觀測站，在平臺的正北方向設(shè)立了觀測站，它們到平臺的距離分別為12海里和海里，記海平面上到觀測站和平臺的距離之比為2的點的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū)．

(1)如圖，以為坐標原點，，為，軸的正方向，建立平面直角坐標系，求曲線的方程；(2)海平面上有漁船從出發(fā)，沿方向直線行駛，為使?jié)O船不進入預(yù)警區(qū)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)已知條件設(shè)且，，由，有，，，，整理有，它是以為圓心，8為半徑的圓．所以曲線的方程為：．（2）

，過的直線不過坐標原點且不與坐標軸垂直，所以直線截距式方程為，化為一般式方程為，根據(jù)題意，且，解得，所以綜上可知的取值范圍為．【變式43】如圖，某海面有O，A，B三個小島（小島可視為質(zhì)點，不計大小），A島在O島正東方向距O島20千米處，B島在O島北偏東45°方向距O島千米處．以O(shè)為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，10千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．

(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一漁船D在O島的南偏東30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東30°方向行駛，若不改變方向，試問該漁船是否有觸礁的危險？請說明理由．【答案】(1)；(2)沒有觸礁危險，理由見解析.【詳解】（1）由已知，，．法1：設(shè)圓C的一般方程為，將O，A，B三點代入得，解得，∴圓C的方程為法2：設(shè)圓C方程為，將O，A，B三點代入得，解得，∴圓C的方程為（2）由已知該船初始位置為點，且該船航線所在直線l的斜率為．∴海船行駛路線l:即，圓心到l的距離，∵，∴沒有觸礁危險．考點05 圓與圓位置關(guān)系的判斷【方法點撥】判斷圓與圓的位置關(guān)系的一般步驟：①將兩圓的方程化為標準方程；②分別求出兩圓的圓心坐標和半徑；③求兩圓的圓心距；④比較與的大?。虎莞鶕?jù)大小關(guān)系確定圓與圓的位置關(guān)系．【例9】如果兩個圓沒有公共點，那么它們一定外離；如果兩個圓只有一個公共點，那么它們一定外切，這種說法是否正確？【答案】答案見解析【詳解】這種說法不正確．如果兩個圓沒有公共點，那么它們外離或內(nèi)含，這兩種位置關(guān)系統(tǒng)稱為相離；如果兩個圓只有一個公共點，那么它們外切或內(nèi)切，這兩種位置關(guān)系統(tǒng)稱為相切．【例10】（多選）已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若和外離，則或B．若和外切，則C．當時，有且僅有一條直線與和均相切D．當時，和內(nèi)含【答案】ABC【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，若和外離，則，解得或，故A正確；若和外切，則，解得，故B正確；當時，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；當時，，則和相交，故D錯誤.故選：ABC．【變式51】已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相切 C．相交 D．外離【答案】A【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，則，故，所以兩圓內(nèi)含；故選：A【變式52】（多選）已知圓，若圓上僅存在一點使，則正實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】BD【詳解】若圓上僅存在一點使，則以為直徑的圓與圓相內(nèi)切或外切，由，則以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則有或，分別解得或，故或，故B、D正確，A、C錯誤.故選：BD.【變式53】已知圓．(1)求直線被圓截得弦長；(2)已知圓過點且與圓相切于原點，求圓的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得弦長為.（2）設(shè)，則，解得，；因為圓與圓相切于原點，且圓過點，所以，，兩邊平方整理可得，平方可求，代入可得，所以圓的方程為.考點06 兩圓相切問題【方法點撥】將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值（內(nèi)切時）或兩圓半徑之和（外切時）【例11】已知圓和圓，則兩圓公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，則，故兩圓外切，則兩圓公切線的條數(shù)為.故選：C.【例12】曲線關(guān)于對稱后的曲線為，則公切線為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，所以曲線是圓心為原點，半徑為1的圓在x軸上方的部分，又與的圖形關(guān)于直線對稱，設(shè)上一點，該點關(guān)于直線對稱的對稱點為，則的中點在直線上，且直線的斜率與直線的斜率之積為，所以，解得，即，代入方程，得，即（只是該圓的一部分），如圖，易知與的公切線，所以，結(jié)合圖，設(shè)，所以點到直線的距離為，解得，所以與的公切線為.故選：B【變式61】圓與圓的公切線長為.【答案】4【詳解】由題可得，由圓，則圓心為，半徑為，由圓，則圓的圓心為，半徑為.則兩圓心的距離，因為，所以圓與圓相交.如圖，設(shè)切點為，作于點，所以圓與圓的公切線長為.故答案為：.

【變式62】平面上有兩個圓，它們的方程分別是和，求這兩個圓的內(nèi)公切線方程．【答案】【詳解】圓，圓心，半徑，圓，其圓心，半徑，，∴這兩圓外切，∴，可得，∴所求的兩圓內(nèi)公切線的方程為：．【變式63】已知圓和，則圓與圓的所有公切線中斜率的最大值為.【答案】【詳解】的圓心和半徑分別為，的圓心和半徑分別為，由于，因此兩圓外切，有3條公切線，作出兩圓的位置關(guān)系圖如下：由圖可知：外公切線一條平行于軸，斜率為0，一條斜率為負，而內(nèi)公切線的斜率為正，故斜率最大，由于,故內(nèi)公切線的斜率為,故答案為：考點07 兩圓公共弦長問題【方法點撥】方法一，聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；方法二，先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解．【例13】圓與圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，作差得兩圓的公共弦所在直線的方程為．由，得．所以圓心，半徑，則圓心到公共弦的距離．所以兩圓的公共弦長為．故選：D．【例14】已知是圓與圓的公共點，則的面積為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，聯(lián)立，兩方程相減可得直線的方程為，圓標準方程為，得，半徑為，所以到直線的距離為，線段的長度為，所以的面積為．故選：B.【變式71】圓和圓的公共弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】兩個圓的方程相減，得，故選：C【變式72】古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果．其中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓．已知點，動點滿足，則點的軌跡與圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，化簡得，其圓心為，半徑，又圓的圓心為，半徑，所以，且，所以兩圓相交，其公共弦所在的直線方程為，圓心到公共弦所在直線的距離，故公共弦長為.故選：C【變式73】圓與圓的公共弦長為，則過點且與圓相切的直線方程為．【答案】【詳解】圓的圓心為，半徑，將圓與圓的方程作差可得，即公共弦所在直線方程為，則到直線的距離為，由題意可得：，解得，且，可得，若，則圓即為，可知圓的圓心為，半徑，則，可知，即圓與圓相交，符合題意，又因為，即點在圓上，可得，則切線的斜率，所以切線方程為，即.故答案為：.考點08 過兩圓的交點的圓問題【方法點撥】已知圓與圓相交，則過兩圓交點的圓的方程可設(shè)為注意：此方程不包括圓的方程【例15】已知圓，圓，則過圓與圓的交點且圓心在直線上的圓的方程為.【答案】【詳解】設(shè)圓與圓的交點分別為，聯(lián)立方程組，解得或，則，設(shè)所求圓的圓心為，因為圓心在直線上，可得，則，解得，所以圓心為，半徑，所以，所求圓的方程為.故答案為：.【例16】已知點M到點的距離與點M到點的距離之比為.(1)求M點的軌跡C的方程；(2)求過軌跡C和的交點，且與直線相切的圓的方程；【答案】(1)(2)或.【詳解】（1）依題意，得，不妨設(shè)，因為，，所以，即，整理得，配方得，所以點的軌跡的方程為.（2）聯(lián)立得，解得或，設(shè)，，該圓的圓心為，顯然圓心位于線段的垂直平分線上，即軸上，則設(shè)，則，解得或，當時，此時圓心坐標為，，則此時圓的方程為，當當時，此時圓心坐標為，，則此時圓的方程為.故滿足題意的圓的方程為或.

【變式81】圓心在直線上，且經(jīng)過圓與圓的交點的圓的方程為.【答案】（或）【詳解】法一：由，解得或者，所以圓與圓的交點分別為，則線段AB的垂直平分線的方程為.由，解得，所以所求圓的圓心坐標為，半徑為，所以所求圓的方程為.法二：同法一求得，設(shè)所求圓的方程為，由，解得，所以所求圓的方程為.法三：設(shè)所求圓的方程為，其中，化簡可得，圓心坐標為.又圓心在直線上，所以，解得，所以所求圓的方程為.故答案為：（或）【變式82】已知圓C：．(1)求過點且與圓C相切的直線方程；(2)求圓心在直線上，并且經(jīng)過圓C與圓Q：的交點的圓的方程．【答案】(1)或(2)．【詳解】（1）當直線有斜率時，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為，即∵圓心到切線的距離等于半徑2，∴解得或．因此，所求切線方程為，或．當直線無斜率時，則，此時直線與圓不相切，不滿足題意，故切線方程為，或．（2）法一：聯(lián)立，解得或．∴圓C與圓Q的交點為，，線段AB的垂直平分線為，設(shè)所求圓的圓心為，半徑為r．由，解得，所以圓心為，．因此，所求圓的方程為法二：設(shè)經(jīng)過圓C與圓Q交點的圓為：．（）即即圓心代入直線，得．因此，所求圓的方程為．【變式83】已知圓與圓的相交于兩點.(1)求線段的長度；(2)若圓經(jīng)過圓與圓的交點，且圓心在直線上，求圓的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）聯(lián)立兩圓的方程可得，將與聯(lián)立可得，解得或，不妨設(shè)，則（2）設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，所以圓的方程為一、單選題1．已知點，圓，若圓上存在點使得，則實數(shù)的最小值是（

）A．－1 B．1 C．0 D．2【答案】C【詳解】根據(jù)題意，點，若，則點的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓，設(shè)該圓為圓，圓，若圓上存在點使得，則圓與圓有公共點，則，解得，即的取值范圍為，故的最小值為0．故選：C．2．已知直線被圓截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【詳解】圓的圓心、半徑分別為，圓心到直線的距離為，設(shè)直線被圓截得的弦長為，由于直線被圓所截得的弦長不超過直徑長度，故分以下情形討論：當時，，解得，當時，，化簡得，解得，當時，，化簡得，該方程無解，當時，，化簡得，該方程無解，而直線是斜率為且過定點的直線，直線由唯一決定，綜上所述，滿足條件的直線共有3條.故選：C.3．過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由圖可知，，，則四點共圓，圓的直徑是，點，，，的中點坐標為，所以四邊形的外接圓的方程為，即，圓，兩式相減得直線的方程，則原點到直線的距離.故選：A4．已知圓和圓相交于兩點，點是圓上任意一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓，即，其圓心，半徑，圓，即，其圓心，半徑，取線段的中點，連接，則，將圓與圓的方程做差可得公共弦的方程為，則，則，所以.故選：B.

5．已知動點到原點與到點的距離之比為，記的軌跡為，直線，則（

）A．是一個半徑為的圓B．上的點到的距離的取值范圍為C．被截得的弦長為D．上存在四個點到的距離為【答案】C【詳解】對于，設(shè)，則，整理得，所以是一個圓心為，半徑為的圓，故錯誤；對于，因為圓心到直線的距離為，所以上的點到直線的距離的取值范圍為，，即，，故錯誤；對于，圓心到直線的距離為2，所以被截得的弦長為，故正確；對于，因為，所以上存在三個點到的距離為，故錯誤．故選：．二、多選題6．已知直線與圓交于A，B兩點，則的值可以為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】AB【詳解】解：因為直線與圓相交于不同的兩點、，所以圓心到直線的距離，解得，選項中只有3,4滿足，故選：AB．7．已知直線與圓相交于兩點，下列說法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對稱，則B．的最小值為C．當時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點D．若（為坐標原點）四點共圓，則【答案】BCD【詳解】A.若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓的圓心，即，得，故A錯誤；B.，整理為，不管為何值，直線始終過點，當是線段的中點時，此時弦長最短，圓，圓心是，半徑，圓心和點的距離是，所以最短弦長，故B正確；C.當時，直線，曲線，即，所以曲線為過直線與圓交點的曲線方程，故C正確；D.若四點共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心，的中點為，所以的垂直平分線方程為，所以，圓的方程為，整理為，直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得所以直線的方程是，將直線所過的定點坐標代入上式得，得，所以直線，即直線的斜率為，即，則，故D正確.故選：BCD三