第02講子集全集補(bǔ)集（三大題型歸納易錯分層練）

第02講子集、全集、補(bǔ)集【蘇教版2019必修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01子集與真子集 3題型02補(bǔ)集 5題型03由集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍 7易錯歸納 10分層練習(xí) 11夯實(shí)基礎(chǔ) 11能力提升 14創(chuàng)新拓展 18一、子集與真子集子集真子集定義如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(若a∈A，則a∈B)，那么集合A稱為集合B的子集如果A?B，并且A≠B，那么集合A稱為集合B的真子集記法A?B或B?AA?B或BA讀法集合A包含于集合B或集合B包含集合AA真包含于B或B真包含A圖示性質(zhì)(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A；(2)對于集合A，B，C，若A?B且B?C，則A?C；(3)若A?B且B?A，則A＝B；(4)規(guī)定??A(1)對于集合A，B，C，若A?B且B?C，則A?C；(2)若A≠?，則??A注意點(diǎn)：(1)“A是B的子集”的含義：集合A的任意一個元素都是集合B的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B.(2)在真子集的定義中，A?B首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A.(3)?與{0}的區(qū)別：?是不含任何元素的集合，{0}是含有一個元素的集合，??{0}．二、補(bǔ)集1．補(bǔ)集定義文字語言設(shè)A?S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集符號語言?SA＝{x|x∈S，且x?A}圖形語言性質(zhì)(1)A?S，?SA?S；(2)?S(?SA)＝A；(3)?SS＝?，?S?＝S2.全集如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，全集通常記作U.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論集合時，R便可看作一個全集U.注意點(diǎn)：(1)“全集”是一個相對的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題加以選擇的．(2)?UA包含三層含義：①A?U；②?UA是一個集合，且?UA?U；③?UA是U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合．題型01子集與真子集【解題策略】(1)判斷集合關(guān)系的方法①觀察法：一一列舉觀察．②元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系．③數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖．(2)求有限集的子集的兩個關(guān)注點(diǎn)①要注意兩個特殊的子集：?和它本身．②按集合中含有元素的個數(shù)由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏【典例分析】【例1】已知集合M滿足：{1,2}M?{1,2,3,4,5}，寫出集合M所有的可能情況．[解]由題意可以確定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下：含有3個元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4個元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5個元素：{1,2,3,4,5}．故滿足條件的集合M為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．【變式演練】【變式1】（2324高一上·湖南株洲·期末）集合的子集個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】求出集合的子集即可判斷個數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以集合有?個子集.故選：D【變式2】判斷下列各組中集合之間的關(guān)系：(1)A＝{x|x是12的約數(shù)}，B＝{x|x是36的約數(shù)}；(2)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．[解](1)因?yàn)槿魓是12的約數(shù)，則必定是36的約數(shù)，反之不成立，所以AB.(2)由圖形的特點(diǎn)可畫出Venn圖如圖所示，從而DBAC.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2?A，故AB.【變式3】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，試寫出A的所有子集及真子集．[解]∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．題型02補(bǔ)集【解題策略】(1)求補(bǔ)集的方法①列舉法表示：從全集U中去掉屬于集合A的所有元素后，由所有余下的元素組成的集合．②由不等式構(gòu)成的無限集表示：借助數(shù)軸，取全集U中集合A以外的所有元素組成的集合．(2)利用補(bǔ)集求參數(shù)應(yīng)注意兩點(diǎn)①與集合的補(bǔ)集運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關(guān)系時不要忘掉空集的情形．②不等式中的等號在補(bǔ)集中能否取到，要引起重視，還要注意補(bǔ)集是全集的子集．【典例分析】【例2】(1)已知全集為U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，則集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，則?UA＝________.【答案】(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}【解析】(1)法一(定義法)：因?yàn)锳＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn圖法)：滿足題意的Venn圖如圖所示．由圖可知B＝{2,3,5,7}．(2)將集合U和集合A分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由補(bǔ)集的定義可知?UA＝{x|x<－3或x＝5}．【變式演練】【變式1】設(shè)集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，則?UM等于()A．{x|－2≤x≤2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<－2，或x>2}D．{x|x≤－2，或x≥2}【答案】A【解析】如圖，在數(shù)軸上表示出集合M，可知?UM＝{x|－2≤x≤2}．【變式2】（多選）（2324高一上·山東泰安·期中）已知全集，其中，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)及補(bǔ)集的概念求解即可得答案.【詳解】已知全集，其中，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故選：AC.【變式3】（2324高一上·廣東茂名·期中）設(shè)全集，，則.【答案】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：.題型03由集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍【解題策略】利用集合關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值．(2)此類問題還要注意“空集”的情況，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹镜淅治觥俊纠?】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]eq\x(B＝{x|m＋1≤x≤2m－1})eq\o(→,\s\up11(分B＝?和B≠?),\s\do4(結(jié)合數(shù)軸))eq\x(列不等式組)→eq\x(求m的取值范圍)[解](1)當(dāng)B＝?時，由m＋1>2m－1，得m<2.(2)當(dāng)B≠?時，如圖所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解這兩個不等式組，得2≤m≤3.綜上可得，m的取值范圍是{m|m≤3}．【變式演練】【變式1】（2324高一上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知集合.(1)若，求的取值范圍.(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空集的定義即可得解；（2）利用集合的包含關(guān)系，分類討論與兩種情況即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以中沒有元素，即，所以的取值范圍為.（2）因?yàn)椋?，由?）知，當(dāng)時，，此時滿足；當(dāng)時，則；所以的取值范圍為.【變式2】．（2324高一上·上海·期末）已知集合.(1)若只有一個元素，試求實(shí)數(shù)的值，并用列舉法表示集合；(2)若至少有兩個子集，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或，或(2)【分析】（1）考慮和且兩種情況.（2）至少有兩個子集，則方程由一個或兩個根，考慮第一問的結(jié)果和且兩種情況.【詳解】（1）時，解得符合題意；時令解得，此時，解得符合題意，故或，或（2）若至少有兩個子集，則至少有一個元素.由（1）知或時符合題意.由題意可知時若也符合題意.即解得且.綜上【變式3】．（2324高一上·吉林四平·階段練習(xí)）已知集合.(1)若，存在集合使得為的真子集且為的真子集，求這樣的集合；(2)若集合是集合的一個子集，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）確定，并求出集合，寫出的真子集即得；（2）分類討論，時滿足題意，時，由集合中的元素屬于集合，分別代入求出參數(shù)，得集合檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）當(dāng)時，方程的根的判別式，所以.又，故.由已知，得應(yīng)是一個非空集合，且是的一個真子集，用列舉法可得這樣的集合共有6個，分別為.（2）當(dāng)時，是的一個子集，此時對于方程，有，所以.當(dāng)時，因?yàn)?，所以?dāng)時，，即，此時，因?yàn)?，所以不是的子集；同理?dāng)時，，，也不是的子集；當(dāng)時，，，也不是的子集.綜上，滿足條件的的取值范圍是.易錯點(diǎn)01混淆元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系而致錯1.(多選)如下四個結(jié)論中，正確的有()A．???B．0∈?C．{0}?D．{0}＝?【解析】空集是自身的子集，A正確；0不是空集中的元素，B錯誤；空集是任何非空集合的真子集，C正確；{0}是含一個元素0的集合，不是空集，D錯誤．故答案為AC。易錯點(diǎn)02忽視對空集的討論而致錯2.設(shè)集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{a|1≤a≤3}B．{a|a≥3}C．{a|a≥1}D．{a|1<a<3}【解析】因?yàn)锽?A，所以當(dāng)B＝?時，符合題意，則有2a>a＋3，即a>3；當(dāng)B≠?時，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋3，,2a≥2，,a＋3≤6，))解得1≤a≤3.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}，故選C.易錯點(diǎn)03忽略端點(diǎn)的取值情況而致錯3．[江蘇揚(yáng)州中學(xué)2022高一月考]已知集合M＝{x|2x＋1<3}，N＝{x|x<a}，若N?M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．{a|a≥1}B．{a|a≥2}C．{a|a≤1}D．{a|a<1}【解析】∵集合M＝{x|2x＋1<3}＝{x|x<1}，且N?M，∴a≤1.故選C.【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高一上·山西陽泉·期末）設(shè)是小于的正整數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，，而，所以.故選：B2．（2324高一上·河南商丘·期末）已知集合，，若，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或2【答案】C【分析】根據(jù)，可得或，從而可求解.【詳解】由得或，即或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，都符合題意，故C正確.故選：C.3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合滿足，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)集合間的基本關(guān)系，利用集合中的元素個數(shù)即可求得滿足條件的集合的個數(shù).【詳解】由題意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一個，所以集合的個數(shù)等價于集合的非空子集的個數(shù)，即，故選：C.4．（2324高一上·河南開封·期末）集合的真子集的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】A【分析】計算出該集合后，可得元素個數(shù)，從而得到真子集個數(shù).【詳解】，共有兩個元素，故其真子集的個數(shù)為.故選：A.二、多選題5．（2324高一上·江蘇南京·期中）下列各個選項(xiàng)中，滿足的集合有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先化簡集合，利用子集的含義可得答案.【詳解】因?yàn)椋从?，所以中定有?，故排除B，又因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故排除D．故選：AC.6．（2324高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．B．集合與集合非空子集的個數(shù)相同C．空集是非空集合的真子集D．若，，則【答案】CD【分析】根據(jù)集合間的基本關(guān)系及子集的個數(shù)求法一一判定即可.【詳解】對于A，因?yàn)?是質(zhì)數(shù)，但2不是奇數(shù)，所以A錯誤；對于B，集合有兩個元素，其非空子集的個數(shù)為個，集合有一個元素，其非空子集個數(shù)為個，所以B錯誤；對于C，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹彩侨魏畏强占系恼孀蛹?，所以C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以D正確.故選：CD三、填空題7．（2023高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)，，，則；．【答案】【分析】應(yīng)用集合的補(bǔ)運(yùn)算求集合即可.【詳解】由，，，，．故答案為：，.8．（2324高一上·河北·階段練習(xí)）是廊坊人}是河北人}.（填，，，，）【答案】【分析】根據(jù)集合的描述，判斷集合間的包含關(guān)系，即可確定答案.【詳解】由于廊坊人也是河北人，但河北人不一定是廊坊人，所以是廊坊人}是河北人}.故答案為：9．（2324高一上·新疆·期中）已知集合M滿足，則滿足條件的集合M的個數(shù)是.【答案】8【分析】由包含關(guān)系分類討論，一一列舉即可求解.【詳解】由題意可得集合M中至少含0，2這2個元素，至多含0，1，2，3，5這5個元素.若集合M中含2個元素，則集合M為；若集合M中含3個元素，則集合M為，，；若集合M中含4個元素，則集合M為，，；若集合M中含5個元素，則集合M為.故滿足條件的集合M有8個.故答案為：8【能力提升】一、單選題1．（2324高一上·吉林長春·期末）設(shè)集合，，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系可直接得到答案.【詳解】因?yàn)榧希?，若，則，故選：A.2．（2324高一上·浙江杭州·期中）若集合，下列關(guān)系式中成立的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】顯然，A錯誤；，B錯誤，D正確；，C錯誤.故選：D3．（2324高一上·湖北·階段練習(xí)）集合，,且，則集合的真子集的個數(shù)為（

）A．5 B．15 C．31 D．32【答案】C【分析】根據(jù)題意，寫出集合，根據(jù)集合所包含的元素個數(shù)，得到其真子集的個數(shù).【詳解】由，，所以，集合中含有5個元素，所以集合的真子集個數(shù)為個.故選：C.4．（2324高一上·河南安陽·階段練習(xí)）設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)取值集合的真子集的個數(shù)為（

）.A．2 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】分和兩種情況由可求出的值，從而可求出實(shí)數(shù)取值集合，進(jìn)而可求出其真子集的個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，滿足，當(dāng)時，，因?yàn)椋曰?，得或，綜上，實(shí)數(shù)取值的集合為，所以實(shí)數(shù)取值集合的真子集的個數(shù)為，故選：C二、多選題5．（2324高一上·山西太原·階段練習(xí)）已知集合M滿足?，則這樣的集合M可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)子集和真子集的概念進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，故或或，ABC正確，D錯誤.故選：ABC6．（2324高一上·廣東珠?！るA段練習(xí)）給出下列四個結(jié)論，其中正確的有（

）A．B．若，則C．集合是無限集D．集合的子集共有4個【答案】BC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合的關(guān)系、子集的定義等性質(zhì)和概念，即可求解.【詳解】對于A，集合間不應(yīng)有屬于和不屬于的關(guān)系，故A錯誤；對于B，若為整數(shù)，則一定為整數(shù)，故B正確；對于C，有理數(shù)有無數(shù)個，則集合是無限集，故C正確；對于D，，即其子集的個數(shù)為個，故D錯誤；故選：BC.三、填空題7．（2324高一上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）設(shè)全集，，則．【答案】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得出答案．【詳解】由題可知，，則，故答案為：．8．（2324高一上·上海楊浦·階段練習(xí)）以下六個關(guān)系式中正確的編號是①；②；③；④；⑤；⑥【答案】①③⑤【分析】根據(jù)元素和集合、集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】對于①：空集是任何集合的子集，故，故①正確；②，故②錯誤；③，故③正確；④或，故④錯誤；⑤，故⑤正確；⑥空集是任何集合的子集，故，故⑥錯誤；故答案為：①③⑤9．（2021高一下·廣東佛山·競賽）設(shè)集合，的所有子集構(gòu)成的集合記為集合，則集合的非空真子集一共有個.【答案】14【分析】集合中的元素是的所有子集構(gòu)成的，解題時不要漏掉空集和本身.【詳解】因?yàn)榧?，共個元素，所以集合的非空真子集的個數(shù)為.故答案是：.【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高一上·甘肅白銀·期中）已知集合，集合，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法化簡集合A，根據(jù)二次函數(shù)值域求解集合B，然后利用集合關(guān)系列不等式求解.【詳解】集合，集合，因?yàn)?，所以，解?故選：A.2．（2324高一上