第01講集合及其表示方法（3大知識(shí)點(diǎn)2種易錯(cuò)點(diǎn)5種必考題型強(qiáng)化訓(xùn)練）原卷版

第01講集合及其表示方法（3大知識(shí)點(diǎn)+2種易錯(cuò)點(diǎn)+5種必考題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.集合的含義2.集合中元素的特征（必考）3.集合與元素的關(guān)系4.集合的表示方法（必考）1.通過(guò)實(shí)例了解集合與元素的含義，利用集合中元素的三個(gè)特征解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，能判斷元素與集合的關(guān)系．(重點(diǎn))2.識(shí)記常見(jiàn)數(shù)集的表示符號(hào)．3.掌握集合的兩種表示方法：列舉法和描述法．(重點(diǎn))4.會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單的集合．(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)01：集合的含義集合是一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)看待，就叫做集合，簡(jiǎn)稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡(jiǎn)稱元，是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體．集合通常用大寫(xiě)字母表示.集合的元素通常用小寫(xiě)字母表示.【即學(xué)即練1】（2022秋?浦東新區(qū)期末）請(qǐng)將下列各組對(duì)象能組成集合的序號(hào)填在后面的橫線上．①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)的距離等于1的所有點(diǎn)；③影響力比較大的中國(guó)數(shù)學(xué)家；④不等式的所有正整數(shù)解．知識(shí)點(diǎn)02：元素與集合1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集．元素一般用小寫(xiě)字母a，b，c表示，集合一般用大寫(xiě)字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的三大特征：（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都說(shuō)明它是或者不是某個(gè)集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會(huì)模棱兩可，例如“著名科學(xué)家”，“與2接近的數(shù)”等都不能組成一個(gè)集合．（2）互異性：一個(gè)給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現(xiàn)相同的元素．例如不能寫(xiě)成{1，1，2}，應(yīng)寫(xiě)成{1，2}．（3）無(wú)序性：集合中的元素，不分先后，沒(méi)有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個(gè)集合．3.集合相等若，且，則.①若，且，則.②欲證，只需證，且.【即學(xué)即練2】(1)下列結(jié)論中，不正確的是()A．若a∈N，則－a?NB．若a∈Z，則a2∈ZC．若a∈Q，則|a|∈QD．若a∈R，則a3∈R(2)設(shè)集合B是小于eq\r(11)的所有實(shí)數(shù)的集合，則2eq\r(3)________B,1＋eq\r(2)________B．(用符號(hào)“∈”或“?”填空)【即學(xué)即練3】(1)下列說(shuō)法中正確的是()A．與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合B．由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5C．一個(gè)集合中有三個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等腰三角形D．高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合(2)若由a，eq\f(b,a)，1組成的集合A與由a2，a＋b,0組成的集合B相等，則a2023＋b2023的值為_(kāi)_______．知識(shí)點(diǎn)03：集合的表示方法與分類1.常用數(shù)集及其記法①自然數(shù)集（包含和正整數(shù)）②正整數(shù)集或③整數(shù)集④有理數(shù)集⑤實(shí)數(shù)集2.集合的表示方法將集合中的元素一一列舉出來(lái)（不考慮元素的順序），并且寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法，例如，方程的解的集合，可表示為，也可表示為在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)出這個(gè)集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫(xiě)上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性質(zhì)，而且凡具有性質(zhì)的元素都在集合中），這種表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示為．集合可以用封閉的圖形或數(shù)軸表示，有限集一般用文氏圖表示，無(wú)限集一般用數(shù)軸表示．區(qū)間：在數(shù)學(xué)上，常常需要表示滿足一些不等式的全部實(shí)數(shù)所組成的集合．為了方便起見(jiàn)，我們引入?yún)^(qū)間（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．閉區(qū)間在數(shù)軸上表示開(kāi)區(qū)間在數(shù)軸上表示半開(kāi)半閉區(qū)間在數(shù)軸上表示這里的實(shí)數(shù)a,b統(tǒng)稱為這些區(qū)間的端點(diǎn)．常見(jiàn)集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函數(shù)自變量構(gòu)成的集合：④函數(shù)因變量構(gòu)成的集合：⑤函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)成的集合：⑥方程組的解：或⑦奇數(shù)集：⑧偶數(shù)集：①做題時(shí)，要認(rèn)清集合中元素的屬性（點(diǎn)集、數(shù)集、自變量、因變量···），以及元素的范圍（、、、···）.3.集合的分類一般地，含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作.例如，集合就是空集.【即學(xué)即練4】用“”或“”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)eq\f(1,3)______Z；(4)－eq\f(1,2)______R；(5)1______N*；(6)0________N．【即學(xué)即練5】用列舉法表示下列給定的集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合C；(4)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.【即學(xué)即練6】試分別用描述法和列舉法表示下列集合：(1)方程x2－5＝0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合A；(2)由小于8的所有自然數(shù)組成的集合B.【即學(xué)即練7】用區(qū)間表示下列集合：（１）｛x｜１≤x＜２｝；（２）不等式２x≤６的所有解組成的集合．【即學(xué)即練8】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并判斷它是有限集還是無(wú)限集.（1）第三象限內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶數(shù)組成的集合；（3）所有被5除余2的奇數(shù)組成的集合.易錯(cuò)點(diǎn)01忽略集合中元素的互異性而致錯(cuò)【例1】已知集合A＝{a，1，a2－5a＋6}，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為_(kāi)_______．易錯(cuò)點(diǎn)02不能正確理解集合的表示方法而致錯(cuò)【例2】．集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\f(8,x＋3)，x，y∈N))中的元素個(gè)數(shù)是()A．2B．4C．6D．8【變式】給出下列說(shuō)法：①集合{x∈N|x3＝x}用列舉法表示為{－1，0，1}；②實(shí)數(shù)集可以表示為{x|x為實(shí)數(shù)}或{R}；③方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解組成的集合為{x＝1，y＝2}．其中不正確的有________．(把所有不正確說(shuō)法的序號(hào)都填上)題型01集合中元素的特性的應(yīng)用【解題策略】【方法總結(jié)】由集合中元素的特性求解參數(shù)取值的步驟1．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）由實(shí)數(shù)所組成的集合，最多含個(gè)元素．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）若集合，，中的元素是的三邊長(zhǎng)，則一定不是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形3．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知集合，4，，若，則．題型02元素與集合的關(guān)系【解題策略】【方法總結(jié)】判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法:如果集合中的元素是直接給出的,只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可(2)推理法:對(duì)于一些沒(méi)有直接給出元素的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可,此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.4．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）數(shù)集，，，，，，若，，則A． B． C． D．，，都有可能5．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值為．題型03集合的表示方法【解題策略】1.用列舉法表示集合的3個(gè)步驟(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次；(3)用花括號(hào)括起來(lái)．2.用描述法表示集合的3個(gè)步驟(1)寫(xiě)出代表元素：弄清楚集合的元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他的元素，一般地，數(shù)用一個(gè)字母表示，點(diǎn)用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)表示．(3)用花括號(hào)括起來(lái)：一般格式為{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}．其中p(x)為元素x所具有的性質(zhì)或限制條件．6．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)、可用集合表示為A．，，， B．或 C．， D．，7．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）用列舉法表示集合．8．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）集合可用列舉法表示為．9．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）試用列舉法表示集合：，．10．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知集合，1，，則集合，．（用列舉法表示）11．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)月考）用描述法表示直角坐標(biāo)系中第二象限點(diǎn)的集合，則．12．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)月考）用描述法表示如圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界）的集合．13．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）已知，則集合用列舉法表示為．14．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合可以用描述法表示為．15．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）方程組的解集為．16．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）被4除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為．題型04集合的新定義問(wèn)題17．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{4，8}，則集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和為．18．（2022秋?松江區(qū)校級(jí)期中）定義集合運(yùn)算，，，設(shè)集合，，，，則集合19．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，，，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則（請(qǐng)用列舉法表示）．20．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)m、n，定義某種運(yùn)算“⊙”如下，當(dāng)m、n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝m+n；當(dāng)m、n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝mn，則在此定義下，求集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，p∈N*，q∈N*}中元素的個(gè)數(shù)．題型05集合中的分類討論思想21．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整數(shù)，x≤30}中的元素個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．922．已知非零實(shí)數(shù)，則代數(shù)式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．23.集合是單元素集合，則實(shí)數(shù)________24.已知集合各元素之和等于3，則實(shí)數(shù)___________.25.集合且，用列舉法表示集合________26.已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．一、單選題1．（2324高一上·上海嘉定·階段練習(xí)）下列字母表示“自然數(shù)集”“整數(shù)集”“有理數(shù)集”“實(shí)數(shù)集”，其排列順序正確的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，2．（2324高一上·上海·期末）數(shù)集，，，若，，則（

）A． B． C． D．A，，都有可能3．（2324高一上·上海浦東新·期中）已知集合，則集合A中的元素（

）A．除以3余數(shù)為； B．除以3余數(shù)為1；C．除以3余數(shù)為2； D．能被3整除.4．（2324高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．5．（2324高一上·上海嘉定·期中）方程組的解集是（

）A． B．或C． D．6．（2223高一上·上海黃浦·階段練習(xí)）下列表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，二、填空題7．（2324高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，則滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為.8．（2324高一上·上海黃浦·期中）若，則．9．（2324高一上·上海普陀·期中）已知集合，且，則實(shí)數(shù).10．（2324高一上·上海浦東新·期中）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可表示為，則.11．（2023高一·上?！ｎ}練習(xí)）若集合只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）若集合與相等，則13．（2023高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為.14．（2324高一上·上海·期末）已知集合，且，則實(shí)數(shù)a的值為.15．（2324高一上·上海徐匯·期中）被4除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為.16．（2324高一上·上海徐匯·期中）集合可用列舉法表示為．17．（2324高一上·上海閔行·期中）對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m、n，定義運(yùn)算“*”：當(dāng)m、n都是偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)m、n中一個(gè)為偶數(shù)、另一個(gè)為奇數(shù)時(shí)，.在此定義下，集合中的元素個(gè)數(shù)是18．（2324高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知集合，，若，則.19．（2324高一上·上海松江·期中）若為一確定區(qū)間，則的取值范圍為.20．（2324高一上·上海·期中）是有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．與集合相等的集合序號(hào)是.21．（2223高一上·上海奉賢·期末）集合中恰好有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)滿足的條件是.22．（2324高一上·上?！て谥校┮阎?，，我們記為集合中元素的個(gè)數(shù)，則．三、解答題23．（2324高一·江蘇·假期作業(yè)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程組的解集；(2)