專題04 隨機變量及其分布（考點串講+熱考題型）（高教版2021·拓展模塊下冊）（原卷版）

專題04隨機變量及其分布考點串講考點串講考點一、離散型隨機變量及其分布（1）隨機變量的基本概念隨機變量的概念：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量.常用希臘字母、等表示．離散型隨機變量的概念：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．連續(xù)型隨機變量的概念：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量．（2）離散型隨機變量的分布列及其數(shù)字特征離散型隨機變量的分布列：設離散型隨機變量ξ可能取的值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列．ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…注：分布列的兩個性質：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足：，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質：，；，．考點二、離散型隨機變量的期望和方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列，如下表所示X…P…則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，簡稱期望。稱為隨機變量的方差，稱為隨機變量的標準差．考點三、二項分布（1）重伯努利試驗(次獨立重復試驗)：我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.（2）二項分布：一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．（3）二項分布的均值與方差：若隨機變量服從參數(shù)為,的二項分布，即,則,.考點四、正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線顯然對于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①；當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，如圖②.若隨機變量的概率密度函數(shù)為，則稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為，特別地，當，時，稱隨機變量服從標準正態(tài)分布．（2）正態(tài)曲線的特點：曲線是單峰的，它關于直線對稱；曲線在處達到峰值；當|x|無限增大時，曲線無限接近軸．（3）正態(tài)分布的期望與方差若，則，．（4）正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內取值的概率：；；．在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取中的值，這在統(tǒng)計學中稱為原則．（5）利用正態(tài)分布求概率的兩個方法對稱法：由于正態(tài)曲線是關于直線對稱的，且概率的和為1，故關于直線對稱的區(qū)間概率相等．如：；．“”法：利用落在區(qū)間內的概率分別是0．6827，0．9545，0．9973求解．熱考題型熱考題型類型一、離散型隨機變量及其分布【例1】下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內經(jīng)過的車輛數(shù)ξ；②一個沿x軸進行隨機運動的質點，它在x軸上的位置η；③某派出所一天內接到的報警電話次數(shù)X；④某同學上學路上離開家的距離Y．其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】若隨機變量ξ只能取兩個值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.【變式1】下列隨機變量X不是離散型隨機變量的是()A．某機場候機室中一天的游客數(shù)量為XB．某尋呼臺一天內收到的尋呼次數(shù)為XC．某水文站觀察到一天中長江的水位為XD．某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X【變式2】籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的分布列．類型二、離散型隨機變量的期望和方差【例1】一袋中裝有編號分別為1，2，3，4的4個球，現(xiàn)從中隨機取出2個球，用X表示取出球的最大編號，則EX=（A．2 B．3 C．103 D．【例2】若隨機變量X的概率分布表如下：X01P0.4則（

）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【變式1】已知離散型隨機變量X的分布列為X123P3a1則X的數(shù)學期望EX=（32 B．2C．52 D．【變式2】投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示．股票A收益的分布列收益X/元-02概率0.10.30.6股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大？(2)投資哪種股票的風險較高？類型三、二項分布【例1】某批數(shù)量很大的產品的次品率為p，從中任意取出4件，則其中恰好含有3件次品的概率是（

）A．p3 B．pC．C43p【例2】設隨機變量X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【例3】一批產品的一等品率為0.9，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的一等品件數(shù)，則D(X)=.【變式1】若某射手每次射擊擊中目標的概率為0.9，每次射擊的結果相互獨立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標的概率是多大.【變式2】同時拋擲2枚質地均勻的硬幣4次，設2枚硬幣恰有一枚正面向上的次數(shù)為X，則X的數(shù)學期望是（

）A．12 B．1C．32 D．【變式3】設X為隨機變量，X～B(n,13)，若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=2，則A．80243 B．13C．4243 D．13類型四、正態(tài)分布【例1】已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)且P(X>1)=0.5,則實數(shù)a=（

）A．1 B．3C．2 D．4【例2】已知隨機變量X服從正態(tài)分布N3,σ2,且PX≤4=0.84A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【變式1】已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N3,σ2,?A．0.16 B．0.34 C．0.66