人教版六年級數(shù)學下冊第8講鴿巢原理精講練習試題及答案

【專題講義】人教版四年級數(shù)學下冊

第8講鴿巢原理專題精講（學生版）

知識要點梳理

模塊一知識講解

1、知識與技能：（1）初步了解“鴿巢原理”的含義，會用"鴿巢原

理”解決簡單的實際問題。

2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、

實驗、推理等活動的學習方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

課程目標

3、情感態(tài)度與價值觀：（1）體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，體驗學數(shù)

學、用數(shù)學的樂趣。（2）理解知識的產(chǎn)生過程，受到歷史唯物注意的

教育。（3）感受數(shù)學在實際生活中的作用，培養(yǎng)刻苦鉆研、探究新知

的良好品質(zhì)。

課程重點引導學會把具體問題轉(zhuǎn)化成"鴿巢問題"。并運用抽屜原理的知識解

決簡單的實際問題。

課程難點理解"鴿巢原理"，找出"鴿巢問題”解決的竅門進行反復推理。

教學方法建議探究證明T得出結(jié)論T鞏固練習

“數(shù)學廣角”這一單元，向?qū)W生滲透一些重要的數(shù)學思想方法。和以往的義務(wù)教育教材

相比，這部分內(nèi)容是新增的內(nèi)容。教材通過幾個直觀例子，借助實際操作，向?qū)W生介紹"鴿巢

問題"，使學生在理解"鴿巢問題”這一數(shù)學方法的基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題加以“模

型化"，會用"鴿巢問題”加以解決。在數(shù)學問題中，有一類與"存在性”有關(guān)的問題。在這

類問題中，只需要確定某個物體（或某個人犯勺存在就是可以了，并不需要指出是哪個物體（或

人）。這類問題依據(jù)的理論我們稱之為"抽屜原理"。"抽屜原理"最先是19世紀的德國數(shù)

學家狄利克雷運用于解決數(shù)學問題的，所以又稱"狄利克雷原理"，也稱之為"鴿巢問題”。

“鴿巢問題”的理論本身并不復雜，甚至可以說是顯而易見的。但"鴿巢問題”的應(yīng)用卻是千

變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此，“鴿

巢問題”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應(yīng)用。

模塊二方法歸納

鴿巢原理是一個重要又基本的組合原理,在解決數(shù)學問題時有非常重要的作用。

①什么是鴿巢原理,先從一個簡單的例子入手,把3個蘋果放在2個盒子里,共有四種不同的放

法,如下表

放法盒子1盒子2

130

221

312

403

無論哪一種放法,都可以說"必有一個盒子放了兩個或兩個以上的蘋果"。這個結(jié)論是在

"任意放法”的情況下,得出的一個"必然結(jié)果"。

類似的,如果有5只鴿子飛進四個鴿籠里,那么一定有一個鴿籠飛進了2只或2只以上的

鴿子。

如果有6封信，任意投入5個信箱里,那么一定有一個信箱至少有2封信

我們把這些例子中的"蘋果"、"鴿子"、"信”看作一種物體，把"盒子"、"鴿籠"、

"信箱”看作鴿巢,可以得到鴿巢原理最簡單的表達形式

①利用公式進行解題：

物體個數(shù)一鴿巢個數(shù)=商……余數(shù)

至少個數(shù)=商+1

2、摸2個同色球計算方法。

①要保證摸出兩個同色的球，摸出的球的數(shù)量至少要比顏色數(shù)多L

物體數(shù)=顏色數(shù)x（至少數(shù)-1）+1

②極端思想：

用最不利的摸法先摸出兩個不同顏色的球，再無論摸出一個什么顏色的球，都能保證一定有

兩個球是同色的。

③公式:

兩種顏色：2+1=3（個）

三種顏色：3+1=4（個）四種顏色：4+1=5（個）

鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜里（m>n,且n是非零自然數(shù)），

若m+n=b……余數(shù)，那么一定有1個抽屜里至少放進（b+1）本書。

鴿巢原理（二）：古國把kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數(shù)，n是非0

的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中至少放進了（k+1）個物體。

模塊三課堂精講

例1（1）用枚舉法證明。

由此發(fā)現(xiàn)，把4枝鉛筆分配到3個文具盒中，總有一個文具盒中至少有()枝鉛筆。

(2)把7枝鉛筆放進3個文具盒中，至少有_______枝鉛筆在同一個文具盒中。

(3)在10枝鉛筆放進3個文具盒中，至少有枝鉛筆在同一個文具盒中。

(4)把14枝鉛筆放進3個文具盒中,至少有枝鉛筆在同一個文具盒中。

例2某班有男生25人，女生18人，下面說法正確的是（）。

A.至少有2名男生是在同一個月出生的B.至少有2名女生是在同一個月出生的

C.全班至少有5個人是在同一個月出生的D.以上選項都有誤

【規(guī)律方法】主要考查用抽屜原理的知識解決實際問題。解析：一年有12個月，因為25?

12=2……1,2+1=3,所以至少有3名男生是在同一個月出生的；18+12=1……6,1+1=2,

至少有2名女生是在同一個月出生的；43+12=3……7,3+1=4,全班至少有4個人是在同一

個月出生的。

【變式訓練1]

【難度分級】A

1、填一填：

（1）水東小學六年級有30名學生是二月份（按28天計算）出生的，六年級至少有（）

名學生的生日是在二月份的同一天。

（2）有3個同學一起練習投籃，如果他們一共投進16個球，那么一定有1個同學至少投進

了（）個球。

（3）把6只雞放進5個雞籠，至少有（）只雞要放進同1個雞籠里。

（4）某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，小書架上至少要有（）本書，才可以保

證至少有1個同學能借到2本或2本以上的書。

2.某班48名同學投票選一名班長（每人只許投一票），候選人是小華、小紅和小明三人,

計票一段時間后的統(tǒng)計結(jié)果如下：

候選人小華小紅小明

得票數(shù)正正下正正正T

規(guī)定得票最多的人當選，那么后面的計票中小華至少還要得（）票才能當選？

A.6B.7C.8D.9

例3把一些蘋果平均放在3個抽屜里，總有一個抽屜至少放入幾個呢？請完成下表:

蘋果個數(shù)12345621100

放輦果最多的抽屜至少放迸的個數(shù)11

【規(guī)律方法】主要考查簡單的抽屜原理。解析：解決此類抽屜原理問題的一般思路為：放蘋果

最多的抽屜至少放進的個數(shù)=蘋果個數(shù)除以抽屜數(shù)所得的商+1（有余數(shù)的情況下）O

例4研究發(fā)現(xiàn)，在抽屜原理的問題中，“抽屜"至少放入物體數(shù)的求法是用物體數(shù)除以（）

數(shù)，當除得的商沒有余數(shù)時，至少放入的物體數(shù)就等于（）；當除得的商有余數(shù)時，至少

放入的物體數(shù)就等于（）。

【規(guī)律方法】主要考查解決簡單抽屜原理問題的一般思路。

例5箱子中有5個紅球，4個白球，至少要取出（）個才能保證兩種顏色的球都有，至少

要?。ǎ﹤€才能保證有2個白球。

蠢

【規(guī)律方法】主要考查靈活運用抽屜原理的知識解決問題。

【變式訓練2】

【難度分級】A

1.在如下圖的盒子中，小華蒙著眼睛往外摸球，至少要摸出多少個，才能保證摸出的球至少

有3種不同的顏色？

（三紅五藍四黃四綠）

例6某班同學為地震災(zāi)區(qū)小朋友捐獻圖書，所捐圖書共分為故事書、科技樹和教輔資料書三

類，捐書的情況是：有捐一本的，有捐兩本的，還有捐三本的。問至少要有幾位同學來捐書才

能保證一定有兩位同學所捐書的類型相同？（每種類型的書最多捐一本）

【規(guī)律方法】主要考查考查綜合運用排列組合、抽屜原理的知識解決實際問題。

例7"六一"兒童節(jié)那天，幼兒園買來了許多的蘋果、桃子、桔子和香蕉，每個小朋友可以

任意選擇兩種水果，那么至少要有（）個小朋友才能保證有兩人選的水果是相同的；如果

每位小朋友拿的兩個水果可以是同一種，那么至少要有（）個小朋友才能保證兩人拿的水

果是相同的。

【規(guī)律方法】主要考查排列與組合的知識；抽屜原理。

【變式訓練3】

【難度分級】B

1.在下面的方格中，將每一個方格涂上紅色或黃色，不論怎么涂，至少有幾列的顏色是完全

相同的？

①兩紅②兩黃③上紅下黃④上黃下紅

例8將紅、黃、藍三種顏色的帽子各5頂放入一個盒子里，要保證取出的帽子有兩種顏色，

至少應(yīng)取出（）頂帽子；要保證三種顏色都有，則至少應(yīng)取出（）頂；要保證取出的

帽子中至少有兩頂是同色的，則至少應(yīng)取出（）頂。

【規(guī)律方法】主要考查綜合運用抽屜原理的知識解決問題。

例9撲克牌里學數(shù)學：一副撲克牌(取出兩張王牌)。

(1)在剩下的52張牌中任意抽出9張，至少有多少張是同花色的？

(2)撲克牌一共有4種花色，每種花色都有13張牌，問至少要抽出幾張牌才能保證有一張

是紅桃?

(3)至少要抽出多少張才能保證有5張牌是同一花色的？

【規(guī)律方法】主要考查綜合運用抽屜原理的知識解決實際問題。

模塊四b講練結(jié)合題

（一）填一填：

1、鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜里（m>n,且n是非零自然數(shù)），

那么一定有一個抽屜里至少放進了放進了（）個物體。

2、鴿巢原理（二）：古國把多與kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數(shù)，n是非

0的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中至少放進了（）個物體。

（二）判斷題：

1、三個同學一起做游戲，其中一定有兩人性別相同。（）

2、六（1）班45個同學中至少有4個生肖屬相相同。（）

3、有31只小兔，10個籠子，如果每只籠子最多放5只，那么不管你怎么放，一定會有三個

籠子里有一樣多的小兔。（）

4、糖盒子里有外形一樣的巧克力糖和水果糖各10顆，要想摸出2顆水果糖，至少要摸出3

顆。（）

5、有4種花色的撲克牌各13張，要取出2張花色相同的撲克牌，至少要取5張。（）

（三）選擇題：

1、給一個正方體木塊的6個面上分別畫三種不同的平面圖案，無論怎樣畫，至少有（）個

畫面的圖案相同。

A.2B.3C.4

2、劉阿姨給孩子1門買衣服，有紅、黃、白三種顏色，但結(jié)果總是至少有兩個孩子衣服的顏色

一樣，至少給（）個孩子買衣服。

A.3B.4C.2

3、有紅、黃、藍、黑小球各10個，裝在一個袋子里，為了保證摸出的小球有3個顏色相同，

應(yīng)至少摸出（）個小球。

A.7B.8C.9

4、10個孩子分進4個班，則至少有一個班分到的學生人數(shù)不少于（）個。

A.2B.3C.4

5、小東玩擲塞子游戲，要保證擲出塞子的點數(shù)至少有兩次相同，他最少要擲（）次。

A.5B.6C.7

6、25人中至少有（）人屬相是相同的。

A.2B,3C.13D.24

（四）解決問題：

(1)把16支鉛筆最多放入幾個鉛筆盒里，可以保證至少有1個鉛筆盒里的鉛筆不少于6支？

(2)一個袋子里裝有紅、黃、藍襪子各5只，一次至少取出多少只可以保證每種顏色至少有

1只？

(3)布袋里有4種不同顏色的小球若干個，最少取出多少個小球，就能保證其中一定有3個

小球的顏色相同？

(4)有49名學生共同參加體操表演，其中最小的8歲，最大的11歲。參加體操表演的學生

中是否一定有2名是在同年同月出生的？

(5)把280張卡片分給若干名同學，每人都要分到，但都不得超過10張。試說明至少有6

名同學得到的卡片數(shù)同樣多。

模塊五

1、一個小組13個人，其中至少有（）人是同一個月出生的。

2、6只鴿子飛回5個鴿舍，至少有（）只鴿子要飛進同一個鴿舍里。

3、盒子里有同樣大小的紅球、黃球各3個，要想摸出的球一定有2個是同色的，最少要摸出

（）個球。

4、49名中年婦女在廣場上載歌載舞，她們中至少有（）名婦女是同一個月出生

5、"世界水日”是每年的（）月（）日。

6、盒子里有紅，黑，黃，藍四種顏色的球各5個，想摸出的球一定有2個是同色的，最少

要摸出（）個球。摸出的球一定有2個是不同色的，最少要摸出（）個球。

7、一個由6個邊長為2厘米的正方形組成的長方形，這個圖形的周長是（）厘米。

8、一個長方形的周長是18米，如果它的長和寬都是整數(shù)米，那么這個長方形的面積多少種可

能值?請——列舉。

9、有7個人住進5個房間，至少要有兩個人住同一間房。為什么？（請你用圖示的方法說明理

由）

10、把9本書放進2個抽屜里，總有一個抽屜至少放進5本書，為什么?

11、希望小學有367人，請問有沒有兩個學生的生日是同一天？為什么?

12、把25枚棋子放入下圖的三角形內(nèi)，那么一定有一個小三角形中至少放入（）枚。

B.7C.8D.9

13、小花貓釣到了鯉魚、草魚、鯽魚三種魚共12條，放在桶里提回家去，路上遇見了小白貓,

小花貓問小白貓："你最愛吃什么魚？"小白貓說："我最爰吃的是鯉魚。"小花貓說："好,

你只要從我的桶里隨便拿出3條魚來，就一定會有你最爰吃的鯉魚，不過你得先告訴我，我一

共釣了幾條鯉魚？"小白貓說了一個數(shù)，并從桶里拿出3條魚，果然有鯉魚，小花貓把1條

鯉魚送給了小白貓。那么，小花貓到底釣到了幾條鯉魚呢？

【專題講義】人教版四年級數(shù)學下冊

第8講鴿巢原理專題精講（解析版）

知識要點梳理

模塊一、

1、知識與技能：（1）初步了解“鴿巢原理”的含義，會用"鴿巢原

理”解決簡單的實際問題。

2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、

實驗、推理等活動的學習方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

課程目標

3、情感態(tài)度與價值觀：（1）體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，體驗學數(shù)

學、用數(shù)學的樂趣。（2）理解知識的產(chǎn)生過程，受到歷史唯物注意的

教育。（3）感受數(shù)學在實際生活中的作用，培養(yǎng)刻苦鉆研、探究新知

的良好品質(zhì)。

課程重點引導學會把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題"。并運用抽屜原理的知識解

決簡單的實際問題。

課程難點理解“鴿巢原理"，找出"鴿巢問題”解決的竅門進行反復推理。

教學方法建議探究證明一得出結(jié)論-鞏固練習

“數(shù)學廣角”這一單元，向?qū)W生滲透一些重要的數(shù)學思想方法。和以往的義務(wù)教育教材

相比，這部分內(nèi)容是新增的內(nèi)容。教材通過幾個直觀例子，借助實際操作，向?qū)W生介紹"鴿巢

問題"，使學生在理解"鴿巢問題”這一數(shù)學方法的基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題加以“模

型化"，會用"鴿巢問題”加以解決。在數(shù)學問題中，有一類與"存在性”有關(guān)的問題。在這

類問題中，只需要確定某個物體（或某個人犯勺存在就是可以了，并不需要指出是哪個物體（或

人）。這類問題依據(jù)的理論我們稱之為"抽屜原理"。"抽屜原理"最先是19世紀的德國數(shù)

學家狄利克雷運用于解決數(shù)學問題的，所以又稱"狄利克雷原理"，也稱之為"鴿巢問題”。

“鴿巢問題”的理論本身并不復雜，甚至可以說是顯而易見的。但"鴿巢問題”的應(yīng)用卻是千

變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此，“鴿

巢問題”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應(yīng)用。

模塊二方法歸納

鴿巢原理是一個重要又基本的組合原理,在解決數(shù)學問題時有非常重要的作用。

①什么是鴿巢原理,先從一個簡單的例子入手,把3個蘋果放在2個盒子里,共有四種不同的放

法,如下表

放法盒子1盒子2

130

221

312

403

無論哪一種放法,都可以說"必有一個盒子放了兩個或兩個以上的蘋果"。這個結(jié)論是在

"任意放法”的情況下,得出的一個"必然結(jié)果"。

類似的,如果有5只鴿子飛進四個鴿籠里,那么一定有一個鴿籠飛進了2只或2只以上的

鴿子。

如果有6封信，任意投入5個信箱里,那么一定有一個信箱至少有2封信

我們把這些例子中的"蘋果"、"鴿子"、"信”看作一種物體，把"盒子"、"鴿籠"、

"信箱”看作鴿巢,可以得到鴿巢原理最簡單的表達形式

②利用公式進行解題：

物體個數(shù)一鴿巢個數(shù)=商……余數(shù)

至少個數(shù)=商+1

2、摸2個同色球計算方法。

①要保證摸出兩個同色的球，摸出的球的數(shù)量至少要比顏色數(shù)多L

物體數(shù)=顏色數(shù)x（至少數(shù)-1）+1

②極端思想：

用最不利的摸法先摸出兩個不同顏色的球，再無論摸出一個什么顏色的球，都能保證一定有

兩個球是同色的。

③公式:

兩種顏色：2+1=3（個）

三種顏色：3+1=4（個）四種顏色：4+1=5（個）

鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜里（m>n,且n是非零自然數(shù)），

若m+n=b……余數(shù)，那么一定有1個抽屜里至少放進（b+1）本書。

鴿巢原理（二）：古國把kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數(shù)，n是非0

的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中至少放進了（k+1）個物體。

模塊三課堂精講

例1（1）用枚舉法證明。

由此發(fā)現(xiàn)，把4枝鉛筆分配到3個文具盒中，總有一個文具盒中至少有（）枝鉛筆。

答案解析

2

解：4+3=1（支）..1支，

1+1=2（支）.

答：總有一個文具盒至少放進2枝鉛筆；

故答案為：2.

?解析

把4枝鉛筆放進3個文具盒中，4+3=1（支）...1支，即平均每個文具盒放1支，還余1支,

根據(jù)抽屜原理可知，總有一個文具盒里至少放1+1=2支.

在此類抽屜問題中，至少數(shù)=物體數(shù)除以抽屜數(shù)的商十1（有余數(shù)的情況下）.

（5）把7枝鉛筆放進3個文具盒中，至少有________枝鉛筆在同一個文具盒中。

（6）在10枝鉛筆放進3個文具盒中，至少有______枝鉛筆在同一個文具盒中。

（7）把14枝鉛筆放進3個文具盒中，至少有枝鉛筆在同一個文具盒中。

解答

(2)把7枝鉛筆放進3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒中至少放進3枝。我們可

以這樣想：如果每個文具盒中只放2枝，那么最多放進6枝鉛筆，還剩1枝，這1枝還要放

進其中的一個文具盒中，所以至少有3枝鉛筆放在同一個文具盒中。

(3)把10枝鉛筆放進3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒中至少放進4枝，我們

可以這樣想：10+3=3……1,也就是每個文具盒中放3枝，還剩1枝，這1枝還要放進其中

一個文具盒中，所以至少有4枝鉛筆放在同一文具盒中。

(4)把14枝鉛筆放在3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒中至少放進5枝，我們

可以這樣想：14+3=4…2,也就是每個文具盒中放4枝，還剩2枝，這2枝最理想的情況是

各自放在其中的一個文具盒中，所以，至少有5枝鉛筆放在同一個文具盒中。

例2某班有男生25人，女生18人，下面說法正確的是（）。

A.至少有2名男生是在同一個月出生的B.至少有2名女生是在同一個月出生的

C.全班至少有5個人是在同一個月出生的D.以上選項都有誤

【規(guī)律方法】主要考查用抽屜原理的知識解決實際問題。解析：一年有12個月，因為25?

12=2……1,2+1=3,所以至少有3名男生是在同一個月出生的；18+12=1……6,1+1=2,

至少有2名女生是在同一個月出生的；43+12=3……7,3+1=4,全班至少有4個人是在同一

個月出生的。

解答

男生：25+12=2……（人）

2+1=（人）

女生:18+12=1....6（人）

1+1=2（人）

全班：25+18=43（人）

43+12=3……（人）

3+1=4（人）

故答案為：B.

【變式訓練1]

【難度分級】A

1、填一填：

（1）水東小學六年級有30名學生是二月份（按28天計算）出生的，六年級至少有（）

名學生的生日是在二月份的同一天。

解答

考慮最差情況：每個抽屜都有1個元素，

30+28=1..2（名），剩下的2名，無論怎樣分配都會出現(xiàn)一個抽屜有2人出現(xiàn)，

1+1=2（名），

答：至少有2名學生的生日是在二月份的同一天。

分析：

【考點提示】

本題是一道關(guān)于抽屜原理的題目，回想抽屜原理的知識；

【解題方法提示】

2月有28天，把這28天看做28個抽屜，把30個學生看做30個元素；利用抽屜原理,考

慮最差情況即可解答，試試吧!

（2）有3個同學一起練習投籃，如果他們一共投進16個球，那么一定有1個同學至少投進

了（）個球。

答案解析

16+3=5（個）......1（個）

5+1=6（個）

故答案為：6.

(3)把6只雞放進5個雞籠，至少有()只雞要放進同1個雞籠里。

解析

提示1:5個雞籠，看做5個抽屜，6只雞看做6個東西，把6個東西放進5個抽屜，即把6

只雞放進5個雞籠，至少有2只雞要放進同一個雞籠里.6+5=Ll，平均把雞放進5個雞籠里,

余下的1只放進任意一個雞籠，1+1=2,至少有2只雞要放進同一個雞籠里.

提示2:此題考查了抽屜原理，抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數(shù)學的一個基本原理，最先

是由德國數(shù)學家狹利克雷明確地提出來的，因此，也稱為狹利克雷原理.

把3個蘋果放進2個抽屜里，一定有一個抽屜里放了2個或2個以上的蘋果.這個人所皆知的

常識就是抽屜原理在日常生活中的體現(xiàn).用它可以解決一些相當復雜甚至無從下手的問題.解：5

個雞籠，看做5個抽屜，6只雞看做6個東西，把6只雞放進5個雞籠，至少有2只雞要放

進同一個雞籠里.

6+5=Ll,平均把雞放進5個雞籠里,余下的1只放進任意一個雞籠，1+1=2;

答：至少有2只雞要放進同一個雞籠里.

（4）某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，小書架上至少要有（）本書，才可以保

證至少有1個同學能借到2本或2本以上的書。

解答

40+1=41（本）

故答案為：41

2.某班48名同學投票選一名班長（每人只許投一票），候選人是小華、小紅和小明三人，

計票一段時間后的統(tǒng)計結(jié)果如下：

候選人小華小紅小明

得票數(shù)正正下正正正T

規(guī)定得票最多的人當選，那么后面的計票中小華至少還要得（）票才能當選？

A.6B.7C.8D.9

答案

：Co

解析：根據(jù)題意一共48票，已經(jīng)計了30票，還有48-30=18票沒計?，F(xiàn)在小華得了13票，

小紅得了10票，只要小華得到的票數(shù)比小紅多1票就能當選。（18-3”2=7……1,7+1=8,

所以小華至少還要得8票才能當選。

例3把一些蘋果平均放在3個抽屜里，總有一個抽屜至少放入幾個呢？請完成下表:

蘋果個數(shù)12345621100

放蘋果最多弼由屜至少放進的個數(shù)11

【規(guī)律方法】主要考查簡單的抽屜原理。解析：解決此類抽屜原理問題的一般思路為：放蘋果

最多的抽屜至少放進的個數(shù)=蘋果個數(shù)除以抽屜數(shù)所得的商+1（有余數(shù)的情況下）。

答案：

蘋果個數(shù)12345621100

放蘋果最多的抽屜至少放進的個數(shù)111222734

放蘋果最多的抽屜至少放進的個數(shù)=蘋果個數(shù)除以抽屜數(shù)所得的商+1（有余數(shù)的情況下）。

例4研究發(fā)現(xiàn)，在抽屜原理的問題中，“抽屜"至少放入物體數(shù)的求法是用物體數(shù)除以（）

數(shù)，當除得的商沒有余數(shù)時，至少放入的物體數(shù)就等于（）；當除得的商有余數(shù)時，至少

放入的物體數(shù)就等于（）。

【規(guī)律方法】主要考查解決簡單抽屜原理問題的一般思路。

解析：重點考查學生的歸納概括能力，加深對已學知識的理解。根據(jù)簡單的抽屜原理：把多于

起個的物體放到％個抽屜中，至少有一個抽屜里的東西的個數(shù)不少于2;把多于也〃（附乘以履）

個物體放到閥個抽屜中，至少有一個抽屜里有不少于（附+1）個物體。

解答

"抽屜”至少放的物體的求法是用物體數(shù)除以抽屜，當除得的商沒有余數(shù)時，放的至少數(shù)就等

于商，當除得的商有余數(shù)時，放的至少數(shù)就等于商+L

故答案為：抽屜，商，商+1.

分析:

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個抽

屜里面放兩個蘋果.這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”.由此可知，"抽屜"至少放的物體

的求法是用物體數(shù)除以抽屜數(shù)，如n個蘋果，要把這十個蘋果放到m個抽屜里（nzm），用

蘋果數(shù)除以抽屜數(shù)，如果n能整數(shù)m,則放的至少數(shù)就等于商，如蘋果數(shù)為10,抽屜數(shù)為5,

至少數(shù)10+5=2（個）；如果當除得的商有余數(shù)時，放的至少數(shù)就等于商+1,如蘋果數(shù)為10

個，抽屜數(shù)為9個，104-9=1.1,則至少數(shù)為1+1=2（個）.

例5箱子中有5個紅球，4個白球，至少要取出（）個才能保證兩種顏色的球都有,至少

要取（）個才能保證有2個白球。

霸

【規(guī)律方法】主要考查靈活運用抽屜原理的知識解決問題。

解析：把兩種顏色分別看作2個抽屜，考慮最差情況，5個紅球全部取出來，那么再任意取出

一個都是白球，所以至少取出6個才能保證兩種顏色的球都有；要保證有2個白球，在取完

所有紅球的情況下再取2個即可。

解答

建立抽屜：把兩種顏色分別看做2個抽屜，

（1）根據(jù)抽屜原理：考慮最差情況，5個紅球全部取出來，那么再任意取出1個都是白球，

5+1=6（個），所以至少取出6個球才能保證兩種顏色的球都有；

（2）根據(jù)抽屜原理：考慮最差情況：取出5個紅球和1個白球，那么再任意取出1個球，就

會出現(xiàn)2個白球，5+1+1=7（個），所以至少取出7個球才能保證有2個白球。

故答案為：6,7.

分析：把兩種顏色分別看做2個抽屜，利用抽屜原理即可解答問題.

【變式訓練2】

【難度分級】A

1.在如下圖的盒子中，小華蒙著眼睛往外摸球，至少要摸出多少個，才能保證摸出的球至少

有3種不同的顏色？

（三紅五藍四黃四綠）

解答

至少要摸出10個，才能保證摸出的球至少有3種不同的顏色。

【解析】

從最壞的角度考慮，摸出5個都是籃球，接著摸4個也是同一顏色的球，這時有2種不同顏

色的球，再摸一個，無論什么顏色，都能保證摸出的球是3種不同顏色。

5+4+1=9+1=10（個）

答：至少要摸出10個，才能保證摸出的球至少有3種不同的顏色。

例6某班同學為地震災(zāi)區(qū)小朋友捐獻圖書，所捐圖書共分為故事書、科技樹和教輔資料書三

類，捐書的情況是：有捐一本的，有捐兩本的，還有捐三本的。問至少要有幾位同學來捐書才

能保證一定有兩位同學所捐書的類型相同？（每種類型的書最多捐一本）

【規(guī)律方法】主要考查考查綜合運用排列組合、抽屜原理的知識解決實際問題。

解答

根據(jù)題干分析可得，捐書情況一共有3+3+1=7（種），把這7種情況看成7個抽屜，要保證

有兩位捐書的類型相同，因此捐書的人數(shù)要大于7,

7+1=8（人）

答：至少有8位同學捐書。

解析：

分析捐書的情況，捐一類的：故事書、科技書、教輔資料書共三種；捐兩類的：故事書和科技

書、故事書和教輔資料書，科技書和教輔資料書共三種；捐三類的是一種；總共有7種不同的

捐法。把這7種情況看作7個抽屜，要保證有兩位同學捐書的類型相同，只要8名同學即可。

例7"六一"兒童節(jié)那天，幼兒園買來了許多的蘋果、桃子、桔子和香蕉，每個小朋友可以

任意選擇兩種水果，那么至少要有（）個小朋友才能保證有兩人選的水果是相同的；如果

每位小朋友拿的兩個水果可以是同一種，那么至少要有（）個小朋友才能保證兩人拿的水

果是相同的。

【規(guī)律方法】主要考查排列與組合的知識；抽屜原理。

解答

3+2+1=6（種）

6+1=7（個）

6+4=10（種）

10+1=11（個）

故答案為:7,11

解析：在已知的四種水果中任意選擇兩種，共有6種不同的選擇方法，那么至少要有7個小

朋友才能保證有兩個人選的水果是相同的；如果每位小朋友拿的兩個水果可以是同一種，那么

共有10種不同的選擇方法，至少要有11個小朋友才能保證有兩人拿的水果相同。

【變式訓練3】

【難度分級】B

1.在下面的方格中，將每一個方格涂上紅色或黃色，不論怎么涂，至少有幾列的顏色是完全

相同的？

①兩紅②兩黃③上紅下黃④上黃下紅

答案:9+4=2......12+1=3（列）

答：不論如何涂色，至少有3列的顏色是完全相同的。

解析：每一列有四種不同的涂法（如下圖），將9列看作9個物體，四種不同的涂法看成4

個抽屜，9+4=2......1,即每種涂色的方法各涂出2列后，還剩下1歹I」，所以至少有2+1=3

（列）的顏色是完全相同的。

①兩紅②兩黃③上紅下黃④上黃下紅

例8將紅、黃、藍三種顏色的帽子各5頂放入一個盒子里，要保證取出的帽子有兩種顏色，

至少應(yīng)取出（）頂帽子；要保證三種顏色都有，則至少應(yīng)取出（）頂；要保證取出的

帽子中至少有兩頂是同色的，則至少應(yīng)取出（）頂。

【規(guī)律方法】主要考查綜合運用抽屜原理的知識解決問題。

解答

①5+1=6（頂）；

②2x5+1=11（頂）;

③3+1=4（頂）；

答：要保證取出的帽子至少有兩種顏色，至少應(yīng)取出6頂帽子，要保證三種顏色都有，則至少

應(yīng)取出11頂；要保證取出的帽子中至少有兩個是同色的，則至少應(yīng)取出4頂；

故答案為：6,11,4.

解析：

解答此題的關(guān)鍵是從極端的情況進行分析。假設(shè)取出的前5頂都是同一種顏色的帽子（把一種

顏色取完），再取一頂就一定有兩種顏色；（2）假設(shè)前10次取出的是前兩種顏色的帽子（把

兩種顏色的帽子取完），再取出一頂，就能保證三種顏色都有；（3）把三種顏色看作三個抽

屜，保證取出的帽子中至少有兩個是同色的，至少應(yīng)取4頂。

例9撲克牌里學數(shù)學：一副撲克牌（取出兩張王牌）。

（1）在剩下的52張牌中任意抽出9張，至少有多少張是同花色的？

（2）撲克牌一共有4種花色，每種花色都有13張牌，問至少要抽出幾張牌才能保證有一張

是紅桃？

（3）至少要抽出多少張才能保證有5張牌是同一花色的？

【規(guī)律方法】主要考查綜合運用抽屜原理的知識解決實際問題。

答案：（1）9+4=2……12+1=3（張）

答：至少有3張是同花色的。

（2）13x3+1=40（張）

答：至少要抽出40張牌才能保證有一張是紅桃。

（3）4x4+l=17（張）

答：至少要抽出17張才能保證有5張牌是同一花色的。

解析：（1）任意抽出9張牌，假設(shè)每種花色的各有2張，剩下的一張不管是什么花色，都可

以保證至少有3張是同花色的；（2）要保證有一張是紅桃，考慮到最差情況，將不是紅桃的

牌都抽光，只要再抽一張就一定是紅桃；（3）要保證5張是同花色的，可以假設(shè)4種花色的

都抽取了4張，只要再抽一張即可。

模塊四講練結(jié)合題

（一）填一填：

1、鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜里（m>n,且n是非零自然數(shù)），

那么一定有一個抽屜里至少放進了放進了（）個物體。

解答

把m個物體任意分放進n個空抽屜里（m>n,n是非0的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中

至少放進（m+n+l）個物體.

故答案為：

m-rn+1

分析：

根據(jù)用"抽屜原理”解決簡單的實際問題的解題方法，在此類抽屜問題中，至少數(shù)=物體數(shù)除

以抽屜數(shù)所得的商+1（有余數(shù)的情況下）.

2、鴿巢原理（二）：古國把多與kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數(shù)，n是非

0的自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中至少放進了（）個物體。

解答

kn個物體任意放進n個空抽屜里，平均每個抽屜里放k個物體，

一定有一個抽屜里至少放進了k個物體。

故答案是k.

（=）判斷題：

1、三個同學一起做游戲，其中一定有兩人性別相同。（）

2、六（1）班45個同學中至少有4個生肖屬相相同。（）

3、有31只小兔，10個籠子，如果每只籠子最多放5只，那么不管你怎么放，一定會有三個

籠子里有一樣多的小兔。（）

4、糖盒子里有外形一樣的巧克力糖和水果糖各10顆，要想摸出2顆水果糖，至少要摸出3

顆。（）

5、有4種花色的撲克牌各13張，要取出2張花色相同的撲克牌，至少要取5張。（）

解答

1、v

2.V

3.Vo前6個籠子分別放0、1、2、3、4、5只，共需要：（5+0）x6+2=15（只），還剩

31-15=16只，這16只無論怎么放在剩下的4個籠子里，總和前面有一個相同的，即一定會

有2+1=3只籠子里有一樣多的小兔.

所以原題說法正確.

4.x。根據(jù)題干分析可得：10+2=12（顆）

答：要想摸出2顆水果糖，至少要摸出12顆.

故答案為x.

5.Ve4xl+l=5（張）;

（三）選擇題:

1、給一個正方體木塊的6個面上分別畫三種不同的平面圖案，無論怎樣畫，至少有（）個

畫面的圖案相同。

A.2B.3C.4

解答

6+3=2（個）

給一個正方體木塊的6個面上分別畫三種不同的平面圖案，無論怎樣畫，至少有2個畫面的

圖案相同.

故答案為：A

分析：

回憶用抽屜原理解決簡單實際問題的方法，利用正方體面的個數(shù)6個除以平面圖案的種數(shù)3

種等于2,所以至少有2個面畫的圖案相同.

2、劉阿姨給孩子買衣服，有紅、黃、白三種顏色，但結(jié)果總是至少有兩個孩子衣服的顏色

一樣，至少給（）個孩子買衣服。

A.3B.4C.2

答案解析

3+1=4（個）

答：張阿姨至少給4個孩子買衣服.

故答案為：B

3、有紅、黃、藍、黑小球各10個，裝在一個袋子里，為了保證摸出的小球有3個顏色相同，

應(yīng)至少摸出（）個小球。

A.7B.8C.9

答案解析

我們可以認為摸出4個小球，每個色小球各一個為一套9+4=2（套）......1（個）

如果這恰好是兩套零一個，就保證了摸出的小球有3個顏色相同

所以，應(yīng)至少摸出9個小球.

故答案為：C

4、10個孩子分進4個班，則至少有一個班分到的學生人數(shù)不少于（）個。

A.2B.3C.4

解答

3+1=4（個）;

故答案應(yīng)選：C.

分析：

把顏色的種類看作"抽屜"，把孩子的數(shù)量看作物體的個數(shù)，根據(jù)抽屜原理得出：孩子的個數(shù)

至少比顏色的種類多1時，才能至保證少有兩個孩子的顏色一樣；

5、小東玩擲塞子游戲，要保證擲出塞子的點數(shù)至少有兩次相同，他最少要擲（）次。

A.5B.6C.7

答案解析

解：6+1=7（次）

故選C。

解析

【解題方法提示】

回想抽屜原理的定義，若有n個抽屜和n+1個物體，所有的物體都被放在抽屜里，那么至少

有一個抽屜里有至少2個物體；

把骰子的出現(xiàn)的六種情況看作"抽屜"，把擲出的次數(shù)看作"物體的個數(shù)"；

要保證至少有兩次相同，那么物體個數(shù)應(yīng)比抽屜數(shù)至少多1,據(jù)此解答即可。

6、25人中至少有（）人屬相是相同的。

A.2B.3C.13D.24

答案解析

解：25:12=2..1（人）

2+1=3（人）

答：至少有3人的屬相相同.

故答案選B.

故答案為：B

?解析

把12屬相看作12個“抽屜"，把25人"看作物體的個數(shù)"，根據(jù)抽屜原理可得:25:12=2...1

（人），至少有2+1=3人的屬相相同.

（四）解決問題:

（2）把16支鉛筆最多放入幾個鉛筆盒里，可以保證至少有1個鉛筆盒里的鉛筆不少于6支？

答案解析

解：16+（6-1）=3（個）..1（個），

答：把16支鉛筆最多放入3個鉛筆盒里，才能保證至少有一個鉛筆盒里的筆不少于6支.

?解析

把需要的盒子數(shù)看做抽屜；根據(jù)“至少有一個鉛筆盒里的筆不少于6支"，從最不利的情況去

考慮，假設(shè)只有一個盒子里有6支；那么每個盒子先放5（6-1）支，需要的盒子數(shù)是:

16+5=3（個）...!（個），那么還剩的1支，無論放到那一個盒子里都能保證至少有一個文

具盒子里有6支鉛筆，則可以得出最多放進3個鉛筆盒.

(2)一個袋子里裝有紅、黃、藍襪子各5只，一次至少取出多少只可以保證每種顏色至少有

1只？

答案解析

解：根據(jù)分析可得，

5+5+1=11(只);

答：一次至少取出11只才能保證每種顏色至少有一只.

解析

一個袋子里有紅、黃、藍襪子各5只，最差的情況是，取出10只中，只有2種顏色的，如紅

色的和黃色的，此時袋中只剩下5只藍襪子，只要再任取一只，就能保證取出的每種顏色至少

有一只，即至少要取5+5+1=11只.

(3)布袋里有4種不同顏色的小球若干個，最少取出多少個小球，就能保證其中一定有3個

小球的顏色相同？

答案解析

解：4x(3-1)+1=9(個)

答：從中至少摸出9個球，才能保證摸出的球一定有3個球的顏色相同。

解析

【考點提示】

此題主要考查利用抽屜原理解決實際問題，理解抽屜原理是解題的關(guān)鍵；

【解題方法提示】

把四種顏色看作四個抽屜，從極端考慮：先摸出的每種顏色的球各2個，共8個球；再摸出1

個球，則一定有三種球是同色的，據(jù)此列式解答，試試吧!

（4）有49名學生共同參加體操表演，其中最小的8歲，最大的11歲。參加體操表演的學生

中是否一定有2名是在同年同月出生的？

答案解析

解：從8歲到11歲，出生的月份共有（11-8+1）x12=48個，假設(shè)每個月出生的人數(shù)相同，

則49+48=1….1（個），即至少有兩個人在同一月份出生。

答：一定有兩個同學是同年同月出生。

解析

【考點提示】

認真分析題意，明確本題屬于抽屜原理類型的問題，解答的關(guān)鍵是構(gòu)建合適的抽屜；

【解題方法提示】

回憶抽屜問題的解題思路：至少數(shù)等于物體數(shù)除以抽屜數(shù)的商，如果有余數(shù)，則結(jié)果再加1；

從最不利情況分析，當每個月出生的人數(shù)相等時，同一個月出生的人數(shù)最少，先求出從8歲到

11歲共有多少個月份，即抽屜的個數(shù)，再分析是否一定有兩個人在同一月出生。

(5)把280張卡片分給若干名同學，每人都要分到，但都不得超過10張。試說明至少有6

名同學得到的卡片數(shù)同樣多。

答案解析

解：假設(shè)沒有6人以上分到的卡片數(shù)相同，那么最多就5人分得的卡片張數(shù)相等，根據(jù)題意,

那么1-10每個數(shù)字最多有5個人分到那分的卡片數(shù)最多為：

1x5+2x5+3x5+4x5+6x5+7x5+8x5+9x5+10x5=275張,

不到280張，說明此假設(shè)不成立，所以可得至少有6名同學分得的卡片張數(shù)相等.

答：至少有6名同學得到的卡片數(shù)同樣多。

解析

本題考查知識點：推理

根據(jù)題干假設(shè)沒有6人以上分到的卡片數(shù)相同那么最多就人分得的卡片張數(shù)相等根據(jù)題意,

因為每個人分到的卡片不能超過10張，所以分到卡片的數(shù)量可以是：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10張，每種數(shù)量都有人分得，那么卡片數(shù)最多為275張，不

到280張，說明此假設(shè)不成立，至少有6名同學分得的卡片張數(shù)相等

解答此題的關(guān)鍵是利用假設(shè)法進行推理少于6名同學的情況不成立，從而得出原命題成立.

模塊五'

課后自測練習

1、一個小組13個人，其中至少有（）人是同一個月出生的。

答案解析

2

解:13+2=1…1,

1+1=2（人），

答：至少有2人是同一個月出生的.

故答案為：2.

解析

一年有12個月，把這12個月看做12個抽屜，把13個人看做13個元素，由此利用抽屜原

理即可解答.

此題考杳了利用抽屜原理解決實際問題的靈活應(yīng)用，這里要注意考慮最差情況.

2、6只鴿子飛回5個鴿舍，至少有（）只鴿子要飛進同一個鴿舍里。

答案解析

2

解：6+5=1（只）.....1只，

1+1=2（只）

答：至少有2只鴿子飛進同一個鴿巢.

故答案為：2.

解析

此題考慮最差情況：每個籠子飛回的鴿子盡量平均，由此利用抽屜原理即可解答.

此題考查了利用抽屜原理解決實際問題的靈活應(yīng)用，這里要注意考慮最差情況.

3、盒子里有同樣大小的紅球、黃球各3個，要想摸出的球一定有2個是同色的，最少要摸出

()個球。

答案解析

解：2+1=3(個);

答：至少要摸出3個球，摸出的球一定有2個同色的.

故答案為：3.

解析

盒子里有同樣大小的紅、黃兩種顏色的球，最壞的情況是，當摸出2