山東省聊城市莘縣第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年度62級(jí)高三開(kāi)學(xué)考試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：本試卷共4頁(yè).滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以即，故，故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)?，且注意到，從?故選：A.3.已知母線長(zhǎng)為10的圓臺(tái)的側(cè)面積為，且其上底面的半徑與下底面的半徑滿(mǎn)足，則（）A2 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)樵搱A臺(tái)的側(cè)面積為，母線長(zhǎng)，所以，解得，則，故選：C．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.5.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由正弦定理得，即，或．若，結(jié)合，有，故舍去．．，，故選：D．6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.7.記A，B為隨機(jī)事件，已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解．【詳解】記，由全概率公式有，代入數(shù)據(jù)有，解得，，故選：D．8.函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的變形式即可判斷函數(shù)單調(diào)性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，可得在上是單調(diào)遞減的，則，解得.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.北京時(shí)間2024年7月27日，我國(guó)射擊健將黃雨婷?李豪戰(zhàn)勝韓國(guó)選手，摘奪了射擊混合團(tuán)體10米氣步槍金牌，通過(guò)賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為，則（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用極差、百分位數(shù)、平均數(shù)的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，極差等于，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，，故分位數(shù)為20，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，平均數(shù)等于，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.故選：ACD.10.已知數(shù)列bn滿(mǎn)足，，記數(shù)列bn的前項(xiàng)積為，前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)得出數(shù)列的周期性，利用周期性求解判斷．【詳解】已知數(shù)列滿(mǎn)足，則，所以數(shù)列是以3為一個(gè)周期的周期數(shù)列．對(duì)于A項(xiàng)，，A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，任意相鄰三項(xiàng)均在一個(gè)周期內(nèi)，則，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，所以，D項(xiàng)正確．故選：AD．11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，記邊上的高為h，則（）A. B.函數(shù)是減函數(shù)C.點(diǎn)B可能在以為直徑的圓上 D.h的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)判斷A，利用導(dǎo)數(shù)判斷B，利用圓的性質(zhì)判斷C，利用不等式的取等條件判斷D即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由是偶函數(shù)得到，則，解得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故，且恒成立，故得為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由B知，即，由對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)，則．若點(diǎn)B在以為直徑的圓上，則有，帶入即，即．若，則，不滿(mǎn)足題意；若，，而，，故B不可能在以為直徑的圓上，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交于點(diǎn)D，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），而，記，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)候取等，即時(shí)取等，所以?xún)蓚€(gè)不等號(hào)能同時(shí)取等，故h的最大值為，故D正確．故答案選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)，解題關(guān)鍵是找到不等式的取等條件，然后得到參數(shù)值，得到所要求的最值即可．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法二：棱臺(tái)的體積為.故答案為：.13.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)的解析式：__________.①不是常函數(shù)②的最小正周期為2③不存在對(duì)稱(chēng)中心【答案】（不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)所具有的性質(zhì)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可確定答案.【詳解】根據(jù)題中函數(shù)需滿(mǎn)足的條件，可取函數(shù)為正弦型函數(shù)，即可取，其圖象為：結(jié)合圖象可知滿(mǎn)足題意，故答案為：（不唯一）14.已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】點(diǎn)差法求出直線的斜率，點(diǎn)斜式得直線方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,Bx將兩點(diǎn)代入橢圓方程，得，兩式作差得，整理得得直線的斜率為，直線的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.A故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知橢圓過(guò)點(diǎn)和.（1）求的離心率；（2）若直線與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)和，求得，進(jìn)而求得，即可得到的離心率；（2）聯(lián)立和的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)和，所以，解得，由，得，所以的離心率.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得的方程為，，聯(lián)立，得，由，得，直線的一般式方程為：.16.已知在中，A+B=3C,2sinA?C（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，即，又，，，，即，所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.17.如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面（2）求證：平面平面（3）若，求二面角余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，由中位線定理可得，，推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得，再由線面平行的判定定理，即可得出答案．（2）由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得答案．（3）取的中點(diǎn)，連接，先找到二面角的平面角為，再計(jì)算余弦值，即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，，又，，為的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫?，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，【小?wèn)3詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，又直三棱柱的幾何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角為，因?yàn)?，所以，，在中，，所以，所以二面角的余弦值為?8.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）3個(gè)【解析】【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類(lèi)討論區(qū)間，，與上的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.【小問(wèn)3詳解】由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無(wú)極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負(fù)情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點(diǎn)判斷即可得解.19.若存在使得對(duì)任意恒成立，則稱(chēng)為函數(shù)在上最大值點(diǎn)，記函數(shù)在上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為（1）若，求集合；（2）若，求集合；（3）設(shè)為大于1的常數(shù)，若，證明，若集合中有且僅有兩個(gè)元素，則所有滿(mǎn)足條件的從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）配方得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，得到；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，求出當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，故；（3）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，并得到，得到，結(jié)合，得到為定值，故所有滿(mǎn)足條件的從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．【小問(wèn)1詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在R上取得最大值，故；【小問(wèn)2詳解】定義域?yàn)镽，，令，則，令得，-0+極小值其中，故，，可以看出，故有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和2，令得或1或2，12+0-0+0-極大值極小值極大值其中，故當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，故；【小問(wèn)3詳解】，，，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，…