湖北省七市州2024屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題含答案解析

2024年湖北省七市州高三年級3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷命題單位：荊州市教育科學(xué)研究院2024.3本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)平面內(nèi)坐標原點為，復(fù)數(shù)對應(yīng)點滿足，則（）A. B. C.1 D.23.已知正方形的邊長為2，若，則（）A.2 B. C.4 D.4.已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A. B. C. D.26.已知公差為負數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若是等比數(shù)列，則當取最大值時，（）A.2或3 B.2 C.3 D.47.若，則（）A. B. C. D.8.能被3個半徑為1的圓形紙片完全覆蓋的最大的圓的半徑是（）A. B. C. D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知為隨機事件，，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為互斥事件，則B.若為互斥事件，則C.若相互獨立，則D.若若，則10.如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（）A.動點軌跡的長度為B.三棱錐體積的最小值為C.與不可能垂直D.當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點，記為，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)滿足恒成立，且區(qū)間上無最小值，則__________．13.已知雙曲線的左右頂點分別為，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，直線的傾斜角分別為，則__________；當取最小值時，的面積為__________．14.已知函數(shù)有零點，當取最小值時，的值為__________．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點，與交于點．（1）求證：平面；（2）平面與直線交于點，求直線與平面所成角的大?。?6.某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：010.050.012.7063.8416.63517.已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若對于任意成立，求實數(shù)的取值范圍．18.如圖，為坐標原點，為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于兩點，直線交拋物線的準線于點，設(shè)拋物線在點處的切線為．（1）若直線與軸的交點為，求證：；（2）過點作的垂線與直線交于點，求證：．19.微積分創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因為曲邊梯形的面積小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進一步可以推導(dǎo)出不等式：．（1）請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；（2）已知函數(shù)，其中．①證明：對任意兩個不相等正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；②當時，若不等式恒成立，求實數(shù)取值范圍．2024年湖北省七市州高三年級3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷命題單位：荊州市教育科學(xué)研究院2024.3本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★祝考試順利★注意事項：1．答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求兩個集合，再求集合的混合運算.【詳解】，得，即，，得，即，，所以.故選：B2.已知復(fù)平面內(nèi)坐標原點為，復(fù)數(shù)對應(yīng)點滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算易求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得.【詳解】由可得；所以可得，即；即.故選：C3.已知正方形的邊長為2，若，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】以為坐標原點建立平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標運算可得結(jié)果.【詳解】以點坐標原點建立平面直角坐標系，如下圖所示：由可得為的中點，所以，易知，可得，所以.故選：B4.已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓離心率定義，對參數(shù)的取值進行分類討論即可判斷出結(jié)論.【詳解】由可得橢圓，此時離心率為，此時充分性成立；若橢圓的離心率為，當時，可得離心率為，解得，即必要性不成立；綜上可知，“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件.故選：A5.過點直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形可知，當時取得最小值，然后可解.【詳解】將圓化為，圓心，半徑，因為，所以點在圓C內(nèi)，記圓心C到直線l的距離為d，則，由圖可知，當，即時，取得最小值，因，所以的最小值為.故選：A6.已知公差為負數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若是等比數(shù)列，則當取最大值時，（）A.2或3 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的意義列式，用公差表示出，再確定數(shù)列的所有非負數(shù)項即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是等比數(shù)列，得，解得，則，顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，當時，，當時，，所以當取最大值時，.故選：B7.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)公式化解條件等式，再結(jié)合二倍角和兩角差正弦公式，即可化解求值.【詳解】由條件等式可知，，整理為，則，又，，所以，，所以.故選：D8.能被3個半徑為1的圓形紙片完全覆蓋的最大的圓的半徑是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，借助圓的對稱性可得已知3個圓的圓心構(gòu)成正三角形，由此建立函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】要求出被完全覆蓋的最大的圓的半徑，由圓的對稱性知只需考慮三個圓的圓心構(gòu)成等邊三角形的情況，設(shè)三個半徑為1的圓的圓心分別為，設(shè)被覆蓋的圓的圓心為，如圖，設(shè)圓與交于交于交圓于，顯然為正的中心，設(shè)，則，，又，因此圓的最大半徑為，令，求導(dǎo)得，由，得，當時，，當時，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以被完全覆蓋的最大的圓的半徑為，此時，即圓?圓?圓中的任一圓均經(jīng)過另外兩圓的圓心．故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及幾何圖形最值問題，借助幾何圖形建立函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)最值是關(guān)鍵.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知為隨機事件，，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為互斥事件，則B.若為互斥事件，則C.若相互獨立，則D.若若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件性質(zhì)可求得A正確，B錯誤，再由相互獨立事件性質(zhì)可得C正確，利用對立事件及條件概率公式可得D正確.【詳解】對于A，若為互斥事件，則，即可得A正確；對于B，由可得，又為互斥事件，則，又，即B錯誤；對于C，若相互獨立，則,所以，即C正確；對于D，若，所以；可得，所以，即D正確.故選：ACD10.如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（）A.動點軌跡的長度為B.三棱錐體積的最小值為C.與不可能垂直D.當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】對A由平面，聯(lián)想到存在一個過的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面,進而得到的軌跡為線段，對B，根據(jù)棱錐體積公式分析即可，對C舉反例即可；對D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.【詳解】對A，如圖，令中點,中點為,連接，又正方體中，為棱的中點，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），平面平面，而平面平面，，即的軌跡為線段.由棱長為2的正方體得線段的長度為，故選項A正確；對B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時，體積最小，如圖，，易得在處時最小，此時,所以體積最小值為，故選項B正確；對C，當為線段中點時，由可得,又中點為,中點為,，而，,故選項C不正確；對D，如圖，當在處時，三棱錐的體積最大時，由已知得此時,所以在底面的射影為底面外心，,,,所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,由,,可得外接球半徑，外接球的表面積為，故選項D正確.故選：ABD.11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點，記為，則【答案】BCD【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計算判斷B；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則結(jié)合對稱性判斷C；利用中心對稱的性質(zhì)計算判斷D.【詳解】對于A，顯然的定義域為R，，則，即函數(shù)的值域為，A錯誤；對于B，令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，B正確；對于C，由選項B知，，即，兩邊求導(dǎo)得，即，因此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；對于D，由函數(shù)滿足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，由選項B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點關(guān)于點對稱，因此，D正確.故選：BCD【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)滿足恒成立，且在區(qū)間上無最小值，則__________．【答案】##【解析】【分析】首先由條件確定是函數(shù)的最大值，再結(jié)合函數(shù)的周期的范圍，聯(lián)立后即可求解.【詳解】由題意可知，是函數(shù)的最大值，則，，得，且在區(qū)間上無最小值，所以，所以，所以.故答案為：13.已知雙曲線的左右頂點分別為，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，直線的傾斜角分別為，則__________；當取最小值時，的面積為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設(shè)，則，可得，又因為分別為雙曲線的左右頂點，可得，所以；又由，所以，當且僅當時，等號成立，所以，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.14.已知函數(shù)有零點，當取最小值時，的值為__________．【答案】【解析】【分析】首先將方程轉(zhuǎn)化為，再通過構(gòu)造幾何意義，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，再結(jié)合幾何意義，即可求解.【詳解】設(shè)的零點為，則，即，設(shè)為直線上任意一點，坐標原點到直線的距離為，因為到原點的距離，下求的最小值，令，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即，此時，所以的斜率為，此時的最小值為，此時，（此時）．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點以及難點是構(gòu)造幾何意義，將點看成直線上的任一點，從而根據(jù)幾何意義解決問題.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點，與交于點．（1）求證：平面；（2）平面與直線交于點，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面，可得，再利用向量法證明，然后由線面垂直判定定理可證；（2）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用向量法可解.【小問1詳解】因為為正三角形，是中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又在平面內(nèi)且相交，故平面【小問2詳解】分別為的中點，，又平面過且不過，平面．又平面交平面于，故，進而，因為是中點，所以是的中點．以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)平面法向量為，則，即，取，得，則，因為，所以.16.某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）填表見解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系（2），（3）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）由60名同學(xué)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，代入公式可得，即可得結(jié)論；（2）求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，由二項分布即可得和；（3）易知的所有可能取值為，利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1【小問2詳解】因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．【小問3詳解】易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得17.已知各項均不為0的數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若對于任意成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到時，，兩式相減得到，得到及均為公差為4的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得，證得為恒成立，設(shè)，求得數(shù)列的單調(diào)性和最大值，即可求解.【小問1詳解】解：因為數(shù)列的前項和為，且，即，當時，可得，兩式相減得，因為，故，所以及均為公差為4的等差數(shù)列：當時，由及，解得，所以，，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：由（1）知，可得，因為對于任意成立，所以恒成立，設(shè)，則，當，即時，當，即時，所以，故，所以，即實數(shù)的取值范圍為.18.如圖，為坐標原點，為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于兩點，直線交拋物線的準線于點，設(shè)拋物線在點處的切線為．（1）若直線與軸的交點為，求證：；（2）過點作的垂線與直線交于點，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可得焦點坐標和準線方程，設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線方程求得，，即可得，得證；（2）寫出過點的的垂線方程，解得交點的縱坐標為，再由相似比即可得，即證得.【小問1詳解】易知拋物線焦點，準線方程為；設(shè)直線的方程為聯(lián)立得，可得，所以；不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，對于；可得的斜率為所以的方程為，即為令得直線的方程為，令得．又，所以即得證．【小問2詳解】方法1：由（1）中的斜率為可得過點的的垂線斜率為，所以過點的的垂線的方程為，即，如下圖所示：聯(lián)立，解得的縱坐標為要證明，因為四點共線，只需證明（*）．，．所以（*）成立，得證.方法2：由知與軸平行，①又的斜率為的斜率也為，所以與平行，②，由①②得，即得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)點法，從而得到，解出點的坐標，從而轉(zhuǎn)化為證