2023-2024學(xué)年浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE11浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗或，，所以，即.故選：A2.截至目前，聯(lián)合國共設(shè)5個(gè)常任理事國，10個(gè)非常任理事國，現(xiàn)從這15個(gè)國家中選取3個(gè)國家，且至少包含一個(gè)常任理事國，則共有的選法種數(shù)為（）A.120 B.410 C.335 D.455〖答案〗C〖解析〗15個(gè)國家中選取3個(gè)國家，有種選法，其中沒有常任理事國的選法有種，所以從這15個(gè)國家中選取3個(gè)國家，至少包含一個(gè)常任理事國，共有種選法.故選：C.3.已知直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即，，即，此時(shí)；故“”是“”的充要條件，即“”是“”的充分不必要條件.故選：B4.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，從而時(shí)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以選項(xiàng)A和C錯(cuò)誤，又時(shí)，，，所以時(shí)，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.5.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A.－225 B.－252 C.252 D.225〖答案〗B〖解析〗二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為：，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：B6.某學(xué)校有，兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計(jì)算王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率（）A0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52〖答案〗C〖解析〗設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為0.5.故選：C.7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因，故得，即在上為減函數(shù).對(duì)于A項(xiàng)，因，則，即，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因，則，即，即得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因，則，即，即得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因，則，即，即得，故D正確.故選：D.8.函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出與的圖象，的圖象為恒過定點(diǎn)的直線，如圖：當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切于點(diǎn)，則，解得，即，所以，所以，由圖象可知，此時(shí)的圖象與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，綜上，，的圖象與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，即方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.已知隨機(jī)變量分布列為，則C.用表示次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，若，則D.已知隨機(jī)變量的分布列為，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，依題意，，因此，A正確；對(duì)于BD，，，解得，B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于C，依題意，，，解得，C正確.故選：ACD10.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn)．若線段的長是20，中點(diǎn)到軸的距離是8，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.拋物線的焦點(diǎn)是 B.拋物線的離心率為C.直線的斜率為 D.的面積為〖答案〗ABD〖解析〗記拋物線焦點(diǎn)為F，MN中點(diǎn)A，過M，N，A分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P，Q，T，則，又，所以，拋物線方程為，故選項(xiàng)A，B正確；顯然直線斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，設(shè)，則,而，所以，解得：，故選項(xiàng)C不正確；直線方程為，可得原點(diǎn)O到直線距離為，所以的面積為，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)定義域均為，且為偶函數(shù)，若，則下面一定成立是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)闈M足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；又函數(shù)定義域?yàn)?，所以又為偶函?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱，兩者結(jié)合即，用代替得：，所以，所以為周期函數(shù)，且.因，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)知，故A正確；因?yàn)椋?，所以，故D正確；若滿足題設(shè)，則，則，故B錯(cuò)誤；由上易知周期也為4，又，，，所以，故C錯(cuò)誤.故選：AD非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓心為，且與直線相切的圓的方程為_____〖答案〗〖解析〗圓心到直線的距離，由于直線和圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓的方程為.故〖答案〗為：13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)取最小值時(shí)，______．〖答案〗5〖解析〗數(shù)列的前項(xiàng)和，，則當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故〖答案〗為：514.已知中，是邊上的動(dòng)點(diǎn)．若平面ABC，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，又的最大值是，所以，解得，即PQ的最小值為，的最小值是，即A到BC的距離為，如下圖，直角三角形△ABQ中，所以，又，所以重合，則，則的外接圓圓心M為AB的中點(diǎn)，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點(diǎn)，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.浙江省教育廳等五部門印發(fā)《浙江省山區(qū)26縣和海島縣“縣中崛起”行動(dòng)計(jì)劃》，從招生管理、縣中對(duì)口幫扶、教科研指導(dǎo)等九方面提升共同富裕背景下教育公共服務(wù)的質(zhì)量和水平.某校為增強(qiáng)實(shí)力，大力招攬名師、建設(shè)校園設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號(hào)12345招生人數(shù)/千人1.31.72.22.83.5（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．解：（1）由，，，所以，因?yàn)榕c1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，由此預(yù)測當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)為4.5千人16.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．解：（1），由，所以，所以．（2）所以17.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面的所成角的余弦值．解：（1）如圖1，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，因?yàn)?，所以四邊形是正方形，故，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面，，所以平面．（2）如圖2，取中點(diǎn)的，易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則法向量．設(shè)直線與平面的所成角的線面角為，則，得，故直線與平面的所成角的線面角的余弦值為．18.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?，，（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（?。┤?，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，即.又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.19.已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)與垂直的直線交于，兩點(diǎn)，其中，在軸上方，，分別為，的中點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．解：（1）由題意可得，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2），在軸上方，直線斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓，消去得：，由韋達(dá)定理得：，則中點(diǎn)，由，所以以代替可得，所以，，化簡得，則過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，取，則過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，取，則過定點(diǎn)；綜上直線過定點(diǎn)．（3），分別為，的中點(diǎn)，，由（2）知，以代替可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，．浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗或，，所以，即.故選：A2.截至目前，聯(lián)合國共設(shè)5個(gè)常任理事國，10個(gè)非常任理事國，現(xiàn)從這15個(gè)國家中選取3個(gè)國家，且至少包含一個(gè)常任理事國，則共有的選法種數(shù)為（）A.120 B.410 C.335 D.455〖答案〗C〖解析〗15個(gè)國家中選取3個(gè)國家，有種選法，其中沒有常任理事國的選法有種，所以從這15個(gè)國家中選取3個(gè)國家，至少包含一個(gè)常任理事國，共有種選法.故選：C.3.已知直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即，，即，此時(shí)；故“”是“”的充要條件，即“”是“”的充分不必要條件.故選：B4.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，從而時(shí)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以選項(xiàng)A和C錯(cuò)誤，又時(shí)，，，所以時(shí)，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.5.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A.－225 B.－252 C.252 D.225〖答案〗B〖解析〗二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為：，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：B6.某學(xué)校有，兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計(jì)算王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率（）A0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52〖答案〗C〖解析〗設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為0.5.故選：C.7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因，故得，即在上為減函數(shù).對(duì)于A項(xiàng)，因，則，即，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因，則，即，即得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因，則，即，即得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因，則，即，即得，故D正確.故選：D.8.函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出與的圖象，的圖象為恒過定點(diǎn)的直線，如圖：當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切于點(diǎn)，則，解得，即，所以，所以，由圖象可知，此時(shí)的圖象與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，綜上，，的圖象與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，即方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.已知隨機(jī)變量分布列為，則C.用表示次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，若，則D.已知隨機(jī)變量的分布列為，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，依題意，，因此，A正確；對(duì)于BD，，，解得，B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于C，依題意，，，解得，C正確.故選：ACD10.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn)．若線段的長是20，中點(diǎn)到軸的距離是8，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.拋物線的焦點(diǎn)是 B.拋物線的離心率為C.直線的斜率為 D.的面積為〖答案〗ABD〖解析〗記拋物線焦點(diǎn)為F，MN中點(diǎn)A，過M，N，A分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P，Q，T，則，又，所以，拋物線方程為，故選項(xiàng)A，B正確；顯然直線斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，設(shè)，則,而，所以，解得：，故選項(xiàng)C不正確；直線方程為，可得原點(diǎn)O到直線距離為，所以的面積為，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)定義域均為，且為偶函數(shù)，若，則下面一定成立是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)闈M足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；又函數(shù)定義域?yàn)椋杂譃榕己瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱，兩者結(jié)合即，用代替得：，所以，所以為周期函數(shù)，且.因，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)知，故A正確；因?yàn)?，，所以，故D正確；若滿足題設(shè)，則，則，故B錯(cuò)誤；由上易知周期也為4，又，，，所以，故C錯(cuò)誤.故選：AD非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓心為，且與直線相切的圓的方程為_____〖答案〗〖解析〗圓心到直線的距離，由于直線和圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓的方程為.故〖答案〗為：13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)取最小值時(shí)，______．〖答案〗5〖解析〗數(shù)列的前項(xiàng)和，，則當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故〖答案〗為：514.已知中，是邊上的動(dòng)點(diǎn)．若平面ABC，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，又的最大值是，所以，解得，即PQ的最小值為，的最小值是，即A到BC的距離為，如下圖，直角三角形△ABQ中，所以，又，所以重合，則，則的外接圓圓心M為AB的中點(diǎn)，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點(diǎn)，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.浙江省教育廳等五部門印發(fā)《浙江省山區(qū)26縣和海島縣“縣中崛起”行動(dòng)計(jì)劃》，從招生管理、縣中對(duì)口幫扶、教科研指導(dǎo)等九方面提升共同富裕背景下教育公共服務(wù)的質(zhì)量和水平.某校為增強(qiáng)實(shí)力，大力招攬名師、建設(shè)校園設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號(hào)12345招生人數(shù)/千人1.31.72.22.83.5（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．解：（1）由，，，所以，因?yàn)榕c1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，由此預(yù)測當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)為4.5千人16.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：．解：（1），