2024屆河北省邢臺市部分高中高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3河北省邢臺市部分高中2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、選擇題1.下列集合關(guān)系不成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A：因?yàn)椋蔄正確；B：由空集的定義可知，故B正確；C：由圖可知C正確；D：因?yàn)榭占胁话魏卧?，故D錯誤；故選：D.2.若，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以的虛部為，故選：D.3.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則的第5項(xiàng)為（）A B. C.或1 D.或1〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，又，所以，解得或（舍），所以.故選：B4.已知平面內(nèi)的向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，又，所?所以：，所以.故選：A.5.已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?所以，由因?yàn)樵?，兩個不同點(diǎn)處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯誤；因?yàn)榍?，所以，故A不成立；當(dāng)時，.故B成立.故選：B6.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗對于A，函數(shù)的最小正周期，A錯誤；對于B，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，B錯誤；對于C，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.故選：D.7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值與最大值之和為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由題意知點(diǎn)在曲線上，曲線C關(guān)于原點(diǎn)以及坐標(biāo)軸均對稱；由于時，曲線的方程為，即，故結(jié)合曲線對稱性，作出曲線C如圖：而表示曲線C上的點(diǎn)到直線的距離，可知取最小值和最大值時，位于曲線在第一、三象限內(nèi)的圓弧上，當(dāng)時，曲線的方程為，即，此時d的最小值為，當(dāng)時，曲線的方程為，即，此時d的最大值為，故的最小值與最大值之和為，所以的最小值與最大值之和為，故選：C．8.設(shè)，，，為拋物線上不同的四點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點(diǎn)處的切線，設(shè)點(diǎn)到直線和直線的距離分別為，，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，過作，設(shè)，則，所以，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，由，消得到，由，得到，所以由題有，即，所以，又，所以，得到為的角平分線，又，所以，又均為直角三角形，所以，得到，所以，故〖答案〗B.二、選擇題9.下列命題為真命題的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為17B.一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5C.用決定系數(shù)比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2〖答案〗BCD〖解析〗對A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A錯誤；對B：，則其第80百分位數(shù)是，故B正確；對C，根據(jù)決定系數(shù)的含義知越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故C正確；對D，以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和2，故D正確.故選：BCD.10.若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A. B. C. D.2〖答案〗AB〖解析〗依題意，在上恒成立，當(dāng)時，，令，則，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，故，則不等式成立；當(dāng)時，令，因?yàn)椋?，故在?nèi)必有零點(diǎn)，設(shè)為，則，則，故，不合題意，舍去；綜上所述，.故選：AB.11.把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，，P為線段上的動點(diǎn)，E為線段上的動點(diǎn)，MN為過點(diǎn)的下底面的一條動弦(不與AB重合)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)平面時，為的中點(diǎn)B.三棱錐外接球的表面積為C.若點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，則的最大值為D.三棱錐體積的最大值為8〖答案〗ACD〖解析〗由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，得分別是中點(diǎn)，而柱體中為矩形，連接，由，，∴四邊形為平行四邊形，，當(dāng)平面時，平面，平面平面，則，有，中，是中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；，，，則中，，，外接圓半徑為，，則平面，三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，B選項(xiàng)錯誤；點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，令，則，又，則，，，，由橢圓性質(zhì)知，則當(dāng)或時，的最大值為，C選項(xiàng)正確；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，，令，且，則，，當(dāng)時，有最大值，在下底面內(nèi)以為原點(diǎn)，構(gòu)建如上圖的直角坐標(biāo)系，且，則橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，，，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題12.已知，則______.〖答案〗3〖解析〗的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，所以.故〖答案〗為：3.13.如圖，四邊形和是兩個相同的矩形，面積均為300，圖中陰影部分也是四個相同的矩形，現(xiàn)將陰影部分分別沿，，，折起，得到一個無蓋長方體，則該長方體體積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)，因?yàn)槊娣e為，所以，根據(jù)題意有：，所以，則長方體的體積為，，令，有，所以時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為.故〖答案〗為：14.在中，，，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別在直線AC的兩側(cè)，且，，則BD的長度的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗如圖，在中，由正弦定理：可得：，因，則，即.設(shè)，則，在中，設(shè)，由正弦定理，，則得：，由余弦定理可得：，即.在中，由余弦定理，,因，則，則當(dāng)時，即時，，此時.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖，已知四邊形為等腰梯形，為以為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉橹睆剑?，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則所以令，則，，所以．設(shè)平面的法向量為，則，取．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求證：．（1）解：由，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，兩式相減得，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）證明：由（1）知．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以，所以當(dāng)時，．綜上，．17.“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動.（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.解：（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）因?yàn)榧住⒁覂扇嗣看未痤}相互獨(dú)立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則，設(shè)“甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”,則由，又，所以，則，又，所以，設(shè)，所以，由二次函數(shù)可知當(dāng)時取最大值，所以甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值為.18.將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），所得曲線為E．記，，過點(diǎn)p的直線與E交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線QA，QB與E分別交于點(diǎn)C，D．（1）求E的方程：（2）設(shè)直線AB，CD的傾斜角分別為，．當(dāng)今時，（i）求值：（ii）若有最大值，求的取值范圍．（1）解：設(shè)所求軌跡上的任意點(diǎn)為，與對應(yīng)的點(diǎn)為，根據(jù)題意，可得，即，代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）解：（i）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，可得，所以，可得，所以，同理可得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，即，所以，所以.（ii）設(shè)直線的方程為，其中，由（i）知，直線的斜率為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得，若有最大值，則，又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為，19.在函數(shù)極限的運(yùn)算過程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：①且（或，）；②在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；③（可為實(shí)數(shù)，也可為），則．（1）用洛必達(dá)法則求；（2）函數(shù)（，），判斷并說明的零點(diǎn)個數(shù)；（3）已知，，，求的〖解析〗式．參考公式：，．解：（1）（2），，所以，．當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時，，所以僅在時存在1個零點(diǎn)．（3），所以，，…，將各式相乘得，兩側(cè)同時運(yùn)算極限，所以，即，令，原式可化為，又，由（1）得，故，由題意函數(shù)定義域?yàn)椋C上，河北省邢臺市部分高中2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、選擇題1.下列集合關(guān)系不成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A：因?yàn)?，故A正確；B：由空集的定義可知，故B正確；C：由圖可知C正確；D：因?yàn)榭占胁话魏卧兀蔇錯誤；故選：D.2.若，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以的虛部為，故選：D.3.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則的第5項(xiàng)為（）A B. C.或1 D.或1〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，又，所以，解得或（舍），所以.故選：B4.已知平面內(nèi)的向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所?所以：，所以.故選：A.5.已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?所以，由因?yàn)樵?，兩個不同點(diǎn)處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯誤；因?yàn)榍遥?，故A不成立；當(dāng)時，.故B成立.故選：B6.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗對于A，函數(shù)的最小正周期，A錯誤；對于B，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，B錯誤；對于C，由，得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.故選：D.7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值與最大值之和為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由題意知點(diǎn)在曲線上，曲線C關(guān)于原點(diǎn)以及坐標(biāo)軸均對稱；由于時，曲線的方程為，即，故結(jié)合曲線對稱性，作出曲線C如圖：而表示曲線C上的點(diǎn)到直線的距離，可知取最小值和最大值時，位于曲線在第一、三象限內(nèi)的圓弧上，當(dāng)時，曲線的方程為，即，此時d的最小值為，當(dāng)時，曲線的方程為，即，此時d的最大值為，故的最小值與最大值之和為，所以的最小值與最大值之和為，故選：C．8.設(shè)，，，為拋物線上不同的四點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點(diǎn)處的切線，設(shè)點(diǎn)到直線和直線的距離分別為，，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，過作，設(shè)，則，所以，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，由，消得到，由，得到，所以由題有，即，所以，又，所以，得到為的角平分線，又，所以，又均為直角三角形，所以，得到，所以，故〖答案〗B.二、選擇題9.下列命題為真命題的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為17B.一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5C.用決定系數(shù)比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2〖答案〗BCD〖解析〗對A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A錯誤；對B：，則其第80百分位數(shù)是，故B正確；對C，根據(jù)決定系數(shù)的含義知越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故C正確；對D，以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和2，故D正確.故選：BCD.10.若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A. B. C. D.2〖答案〗AB〖解析〗依題意，在上恒成立，當(dāng)時，，令，則，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，故，則不等式成立；當(dāng)時，令，因?yàn)?，，故在?nèi)必有零點(diǎn)，設(shè)為，則，則，故，不合題意，舍去；綜上所述，.故選：AB.11.把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，，P為線段上的動點(diǎn)，E為線段上的動點(diǎn)，MN為過點(diǎn)的下底面的一條動弦(不與AB重合)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)平面時，為的中點(diǎn)B.三棱錐外接球的表面積為C.若點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，則的最大值為D.三棱錐體積的最大值為8〖答案〗ACD〖解析〗由題設(shè)，長軸長，短軸長，則，得分別是中點(diǎn)，而柱體中為矩形，連接，由，，∴四邊形為平行四邊形，，當(dāng)平面時，平面，平面平面，則，有，中，是中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；，，，則中，，，外接圓半徑為，，則平面，三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，B選項(xiàng)錯誤；點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，令，則，又，則，，，，由橢圓性質(zhì)知，則當(dāng)或時，的最大值為，C選項(xiàng)正確；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，，令，且，則，，當(dāng)時，有最大值，在下底面內(nèi)以為原點(diǎn)，構(gòu)建如上圖的直角坐標(biāo)系，且，則橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，，，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題12.已知，則______.〖答案〗3〖解析〗的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，所以.故〖答案〗為：3.13.如圖，四邊形和是兩個相同的矩形，面積均為300，圖中陰影部分也是四個相同的矩形，現(xiàn)將陰影部分分別沿，，，折起，得到一個無蓋長方體，則該長方體體積的最大值為________．〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)，因?yàn)槊娣e為，所以，根據(jù)題意有：，所以，則長方體的體積為，，令，有，所以時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為.故〖答案〗為：14.在中，，，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別在直線AC的兩側(cè)，且，，則BD的長度的最大值是__________．〖答案〗〖解析〗如圖，在中，由正弦定理：可得：，因，則，即.設(shè)，則，在中，設(shè)，由正弦定理，，則得：，由余弦定理可得：，即.在中，由余弦定理，,因，則，則當(dāng)時，即時，，此時.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖，已知四邊形為等腰梯形，為以為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉橹睆?，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則所以令，則，，所以．設(shè)平面的法向量為，則，取．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求證：．（1）解：由，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，兩式相減得，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）證明：由（1）知．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以，所以當(dāng)時，．綜上，．17.“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動.（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組