2024屆湖南省衡陽市祁東縣高三下學(xué)期考前仿真聯(lián)考三數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3湖南省衡陽市祁東縣2024屆高三下學(xué)期考前仿真聯(lián)考三數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.0 C. D.2〖答案〗D〖解析〗由題意，，，故選：D.2.若數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閿?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故選：D.3.對任意的實(shí)數(shù)，若，則的值為（）A.15 B.6 C.1 D.20〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，令，可?故選：C.4.已知點(diǎn)，動圓過點(diǎn)，且與相切，記動圓圓心點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，所以的方程為，故C正確.故選：C.5.已知圓錐（O是底面圓的圓心，是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長為，高為.P、Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，由題意，圓錐的底面半徑為，則，要使三棱錐體積最大，須使底面上的高最大，故須使平面，因平面底面圓，且交線為,故只須使即可，此時.故選:A.6.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，為AC的中點(diǎn)，，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，在中，由正弦定理得，所以，又，故.故選：A.7.在三角形中，點(diǎn)在平面內(nèi)，且滿足，條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，由向量的線性運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，所以，，所以，所以是的充分條件；若，令得，代入，得，由三點(diǎn)共線充要條件可知點(diǎn)，此時不成立，所以不是的必要條件.故選：A.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，交的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取AB的中點(diǎn)，因?yàn)?，故得?設(shè)，由雙曲線的定義得①，，所以，在中，，，，所以，，代入①式可得，.所以，在中，，解得，則雙曲線的離心率為.故選：B.二、選擇題9.設(shè)，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗AD〖解析〗對于選項(xiàng)A，若，，則，所以A正確；對于選項(xiàng)B，若，，，則與平行或異面，所以B不正確；對于選項(xiàng)C，若，，則可能與平行，相交或在平面內(nèi)，所以C不正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，因?yàn)?，，則是平面的一個法向量，是平面的一個法向量，因?yàn)?，所以，所以，所以D正確.故選:AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.方程的解為，〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，由，所以，因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，則，所以，故B正確；對于C，，由，得，而，即時，沒有意義，故C錯誤；對于D，，則，方程，得，即，即，所以或，因?yàn)椋?，所以或，解得或，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱B.函數(shù)為偶函數(shù)C.4是函數(shù)的一個周期D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，代入，得，所以.由，得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).故選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋?，由，得，所以，得，所以，所?是函數(shù)的周期.故選項(xiàng)C正確；由，得，所以，所以，由，得，，所以，，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)A錯誤；由，得即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選:BCD三、填空題12.已知是關(guān)于的方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個根，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗方法一：由已知可得，即，所以，解得，所以.方法二：因?yàn)槭顷P(guān)于方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個根，所以也是該方程的一個根，由韋達(dá)定理得，解得，所以.故〖答案〗為：.13.已知圓，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，且，則圓和圓的公共弦所在的直線方程為___________.〖答案〗〖解析〗由圓與軸相切于點(diǎn)，可設(shè)圓的方程為，由，則，所以圓方程為，圓與圓的方程相減得，即為兩圓的相交弦所在直線方程.故〖答案〗為：14.我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時可以將函數(shù)“指數(shù)化”再求導(dǎo).例如，對于冪指函數(shù)，.若，，函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，，若，令，則，又，則，因?yàn)?，故，故，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.若，則，而，故，故在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，得，故?shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖所示，在三棱柱中,已知平面平面，，，.（1）證明：平面；（2）已知E是棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，且，所以平面，而平面，所以，在中，因?yàn)?，，所以，所以，又，、平面，所以平?（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，所以兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得；又，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.16.生涯規(guī)劃是對職業(yè)生涯乃至人生進(jìn)行持續(xù)的系統(tǒng)的計劃過程.高中選科分類是生涯規(guī)劃的重要組成部分，生涯規(guī)劃專業(yè)團(tuán)隊(duì)為某“鄉(xiāng)村振興縣”的高中學(xué)生指導(dǎo)學(xué)生選科分類，生涯規(guī)劃團(tuán)隊(duì)在該縣的高一學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，進(jìn)行選科類別與學(xué)生性別的關(guān)系研究，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：（單位：名）男生女生合計歷史類152540物理類352560合計5050100（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生的性別是否對選科分類有影響；（2）生涯規(guī)劃團(tuán)隊(duì)遠(yuǎn)過對隨機(jī)抽取的100名學(xué)生中的男生的樣本數(shù)據(jù)分析得到：首選物理，再選化學(xué)和地理的頻率為；首選歷史，再選化學(xué)和地理的頻率為.以樣本估計總體，頻率估計概率，為進(jìn)一步了解學(xué)生選科的情況，再從全校男生中用隨機(jī)抽樣的方法選取4名學(xué)生，記選取的4名男生中選化學(xué)和地理人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假設(shè)為：學(xué)生的性別對選科分類沒有影響.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為學(xué)生的性別對選科分類有影響.（2）設(shè)表示事件：男生選化學(xué)和地理，表示事件：男生選物理，表示事件：男生選歷史.由題意，，，且，，.則，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234（另解：因?yàn)?，所以?7已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題設(shè)當(dāng)時，，所以，得，又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）若，不等式恒成立，則，，當(dāng)時，對于，，所以在上單調(diào)遞增，所以時，，即滿足題意；當(dāng)時，若，則，在上單調(diào)遞減，所以，與矛盾，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍為.18.已知橢圓.（1）已知的頂點(diǎn)均在橢圓上，若坐標(biāo)原點(diǎn)為的重心，求點(diǎn)到直線PQ距離的最小值；（2）已知定在橢圓上，直線（與軸不重合）與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若直線AB，AN，BN斜率均存在，且，證明：直線AB過定點(diǎn)（坐標(biāo)用，表示）.（1）解：設(shè)，記線段PQ中點(diǎn)為，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則，此時直線PQ與軸垂直，故原點(diǎn)到直線PQ的距離為；若，此時直線PQ的斜率存在，設(shè)，，則，又兩式相減得，可得.故直線PQ的方程為，即，則點(diǎn)到直線PQ的距離為，將代入得，因?yàn)椋?，故原點(diǎn)到直線PQ距離的最小值為.（2）證明：設(shè)，，，因?yàn)?，所以，所以，即①，設(shè)直線，代入橢圓的方程，得，則，，，，，將以上4個式子代入①，得，得，即②，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，，代入②得，得，即，因?yàn)?，所以不在直線AB上，則，則，得，所以直線過定點(diǎn).19.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng).（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)，正項(xiàng)數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.（1）解：正項(xiàng)數(shù)列中，，，，當(dāng)時，，兩式相減得，即，而，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）證明：（i）令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，于是，即，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，因此，所以（ii）由已知，所以，得，當(dāng)時，，于是，當(dāng)時，，又，所以，恒有，當(dāng)時，，由，得當(dāng)時，，則當(dāng)時，，從而，于是，所以.湖南省衡陽市祁東縣2024屆高三下學(xué)期考前仿真聯(lián)考三數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.0 C. D.2〖答案〗D〖解析〗由題意，，，故選：D.2.若數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閿?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為，故選：D.3.對任意的實(shí)數(shù)，若，則的值為（）A.15 B.6 C.1 D.20〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，可?故選：C.4.已知點(diǎn)，動圓過點(diǎn)，且與相切，記動圓圓心點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，所以的方程為，故C正確.故選：C.5.已知圓錐（O是底面圓的圓心，是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長為，高為.P、Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，由題意，圓錐的底面半徑為，則，要使三棱錐體積最大，須使底面上的高最大，故須使平面，因平面底面圓，且交線為,故只須使即可，此時.故選:A.6.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，為AC的中點(diǎn)，，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由已知，在中，由正弦定理得，所以，又，故.故選：A.7.在三角形中，點(diǎn)在平面內(nèi)，且滿足，條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，由向量的線性運(yùn)算法則，可得，因?yàn)椋?，，所以，所以是的充分條件；若，令得，代入，得，由三點(diǎn)共線充要條件可知點(diǎn)，此時不成立，所以不是的必要條件.故選：A.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，交的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取AB的中點(diǎn)，因?yàn)?，故得?設(shè)，由雙曲線的定義得①，，所以，在中，，，，所以，，代入①式可得，.所以，在中，，解得，則雙曲線的離心率為.故選：B.二、選擇題9.設(shè)，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗AD〖解析〗對于選項(xiàng)A，若，，則，所以A正確；對于選項(xiàng)B，若，，，則與平行或異面，所以B不正確；對于選項(xiàng)C，若，，則可能與平行，相交或在平面內(nèi)，所以C不正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，因?yàn)椋?，則是平面的一個法向量，是平面的一個法向量，因?yàn)?，所以，所以，所以D正確.故選:AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.方程的解為，〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，由，所以，因?yàn)椋瑒t，則，因?yàn)椋瑒t，所以，故B正確；對于C，，由，得，而，即時，沒有意義，故C錯誤；對于D，，則，方程，得，即，即，所以或，因?yàn)椋?，所以或，解得或，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，若函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱B.函數(shù)為偶函數(shù)C.4是函數(shù)的一個周期D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，代入，得，所以.由，得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，由，得，所以，得，所以，所?是函數(shù)的周期.故選項(xiàng)C正確；由，得，所以，所以，由，得，，所以，，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯誤；由，得即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選:BCD三、填空題12.已知是關(guān)于的方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個根，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗方法一：由已知可得，即，所以，解得，所以.方法二：因?yàn)槭顷P(guān)于方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個根，所以也是該方程的一個根，由韋達(dá)定理得，解得，所以.故〖答案〗為：.13.已知圓，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，且，則圓和圓的公共弦所在的直線方程為___________.〖答案〗〖解析〗由圓與軸相切于點(diǎn)，可設(shè)圓的方程為，由，則，所以圓方程為，圓與圓的方程相減得，即為兩圓的相交弦所在直線方程.故〖答案〗為：14.我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時可以將函數(shù)“指數(shù)化”再求導(dǎo).例如，對于冪指函數(shù)，.若，，函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，，若，令，則，又，則，因?yàn)?，故，故，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.若，則，而，故，故在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，得，故?shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖所示，在三棱柱中,已知平面平面，，，.（1）證明：平面；（2）已知E是棱的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，且，所以平面，而平面，所以，在中，因?yàn)?，，所以，所以，又，、平面，所以平?（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，所以兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得；又，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.16.生涯規(guī)劃是對職業(yè)生涯乃至人生進(jìn)行持續(xù)的系統(tǒng)的計劃過程.高中選科分類是生涯規(guī)劃的重要組成部分，生涯規(guī)劃專業(yè)團(tuán)隊(duì)為某“鄉(xiāng)村振興縣”的高中學(xué)生指導(dǎo)學(xué)生選科分類，生涯規(guī)劃團(tuán)隊(duì)在該縣的高一學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，進(jìn)行選科類別與學(xué)生性別的關(guān)系研究，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：（單位：名）男生女生合計歷史類152540物理類352560合計5050100（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生的性別是否對選科分類有影響；（2）生涯規(guī)劃團(tuán)隊(duì)遠(yuǎn)過對隨機(jī)抽取的100名學(xué)生中的男生的樣本數(shù)據(jù)分析得到：首選物理，再選化學(xué)和地理的頻率為；首選歷史，再選化學(xué)和地理的頻率為.以樣本估計總體，頻率估計概率，為進(jìn)一步了解學(xué)生選科的情況，再從全校男生中用隨機(jī)抽樣的方法選取4名學(xué)生，記選取的4名男生中選化學(xué)和地理人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假設(shè)為：學(xué)生的性別對選科分類沒有影響.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為學(xué)生的性別對選科分類有影響.（2）設(shè)表示事件：男生選化學(xué)和地理，表示事件：男生選物理，表示事件：男生選歷史.由題意，，，且，，.則，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234（另解：因?yàn)?，所以?7已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程