專題05用配方法求解一元二次方程（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)7種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)4種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專題05用配方法求解一元二次方程（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)7種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)4種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：用直接配平方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2：用配方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3：利用一元二次方程求解簡單的實(shí)際問題（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程題型2：用配方法解一元二次方程題型3：用配方法求字母的值題型4：用用配方法求代數(shù)式的最大（最?。┲殿}型5：直接開平方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用題型6：用配方法判斷三角形的形狀題型7：利用配方法解決有關(guān)新定義問題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方易錯(cuò)點(diǎn)2配方時(shí)，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯(cuò)誤【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：解一元二次方程-直接開平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：換元法解一元二次方程考法4：配方法的應(yīng)用【方法五】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：用直接配平方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．【例1】（2022秋?江都區(qū)校級(jí)期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4知識(shí)點(diǎn)2：用配方法求解一元二次方程（重點(diǎn)）（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．【例2】用配方法解一元二次方程.【例3】如何用配方法解方程知識(shí)點(diǎn)3：利用一元二次方程求解簡單的實(shí)際問題（難點(diǎn)）一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效數(shù)學(xué)模型，有些通過列一元二次方程來解決的實(shí)際問題都可以利用配方法或直接開平方法來解決。注意：一定要檢驗(yàn)所得的根是否符合實(shí)際意義【例4】（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)三模）閱讀下面的材料：我們可以用配方法求一個(gè)二次三項(xiàng)式的最大值或最小值，例如：求代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代數(shù)式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）①仿照上述方法求代數(shù)式m2﹣4m﹣3的最小值為．②代數(shù)式﹣x2﹣4x+7的最大值為．（2）延伸與應(yīng)用：如圖示，小紅父親想用長60m的柵欄．再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的羊圈，已知房屋外墻長40m，設(shè)矩形ABCD的邊面積為Sm2．當(dāng)AB，BC分別為多少米時(shí)，羊圈的面積最大？最大值是多少？【方法二】實(shí)例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程解方程(x-3)2=49．

2.解關(guān)于的方程：．3.解關(guān)于的方程：．4.解關(guān)于的方程：．5.解關(guān)于的方程：．6.解關(guān)于的方程：．7.解關(guān)于的方程：．題型2：用配方法解一元二次方程8.用配方法解方程：．9.用配方法解方程：．10.用配方法解方程：．11.用配方法解方程：．12.用配方法解方程：．13.用配方法解方程：．14.用配方法解關(guān)于x的方程：．題型3：用配方法求字母的值15.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．16.已知，求的值．題型4：用配方法求代數(shù)式的最大（最小）值17．（2023春?蘇州月考）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題．例題：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0且n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3問題：（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．（2）求代數(shù)式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值．18．（2022秋?淮安區(qū)校級(jí)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因?yàn)閙2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長，且a，b滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長．19．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}，（1）嘗試：①當(dāng)x＝﹣2，y＝1時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③當(dāng)x＝2，y＝2.5時(shí)，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y22xy．（2）歸納：x2+y2與2xy有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．（3）運(yùn)用：求代數(shù)式的最小值．題型5：直接開平方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用20．（2022秋?高州市期末）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱為配方法，利用配方法請(qǐng)解以下各題：（1）探究：當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)，求代數(shù)式a2﹣4a的最小值．（2）應(yīng)用：如圖．已知線段AB＝6，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長方形MBCN．問：當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；否則請(qǐng)說明理由．21．（2022秋?洛陽期末）【閱讀材料】若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3．【解決問題】（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；【拓展應(yīng)用】（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且b，c滿足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最長的邊，求a的取值范圍．22．（2022秋?廣水市期末）【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因?yàn)椋╝+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，當(dāng)a＝﹣3時(shí)，代數(shù)式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【問題解決】利用配方法解決下列問題：（1））當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值為．（2）當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）當(dāng)x，y何值時(shí)，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值為多少？（4）如圖所示的第一個(gè)長方形邊長分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個(gè)長方形邊長分別是5a、a+5，面積為S2．試比較S1與S2的大小，并說明理由．題型6：用配方法判斷三角形的形狀23.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關(guān)于x的方程的兩根，當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？24．（2023春?莊浪縣期中）若三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判斷此三角形的形狀，并求此三角形面積．題型7：利用配方法解決有關(guān)新定義問題25．（2022秋?通川區(qū)期末）配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個(gè)式子或?qū)⒁粋€(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決問題．定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?＝12+22，所以5是“完美數(shù)”．解決問題：（1）已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數(shù)），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出k值．26．（2023春?江都區(qū)月考）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問題】（1）數(shù)11“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；數(shù)53“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，則x+y＝；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說明理由．27．（2023春?東陽市期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12.所以5是“完美數(shù)”．解決問題：（1）已知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），則mn＝；探究問題：（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，則x+y＝；（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由．拓展結(jié)論：（5）已知實(shí)數(shù)x、y滿足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1混淆方程配方與代數(shù)式配方28.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則 ．易錯(cuò)點(diǎn)2配方時(shí)，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯(cuò)誤29.如何用配方法解方程【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1．解一元二次方程-直接開平方法30．（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2＝9的根是．考法2：解一元二次方程-配方法31．（2019?南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25考法3：換元法解一元二次方程32．（2002?南京）用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果設(shè)x2﹣x＝y(tǒng)，那么原方程變?yōu)椋挤?：配方法的應(yīng)用33．（2018?泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，則實(shí)數(shù)a的值為．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）下列配方有錯(cuò)誤的是（）A．，化為B．，化為C．，化為D．，化為2．（2023秋·山西長治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，變形正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·山西太原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在解方程時(shí)，對(duì)方程進(jìn)行配方，圖1是小思做的，圖2是小博做的，對(duì)于兩人的做法，說法正確的是（

）A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確5．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用配方法解方程時(shí)、配方正確的是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·天津津南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的解為（）A． B．C． D．7．（2021秋·廣東東莞·九年級(jí)東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？计谀┬露x：關(guān)于的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．20168．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、填空題9．（2023春·廣東河源·九年級(jí)校考開學(xué)考試）方程的根是．10．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將配方成形式，則．11．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）把方程用配方法化為的形式，則的值是．12．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）已知一元二次方程的兩根為、，且，則的值為．13．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知方程，則此方程的解為．14．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州六中?？茧A段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為．15．（2022秋·山東東營·九年級(jí)東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谥校┮辉畏匠痰母牵?6．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若（為實(shí)數(shù)），則的最小值為．三、解答題17．（2022秋·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：18．（2022秋·天津津南·九年級(jí)?？计谥校┻x取最恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)19．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．．解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，第一步

移項(xiàng)，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是______；(2)上述解題過程，從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過程．20．（2022秋·河南南陽·九年級(jí)南陽市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程．解：原方程可變形，得：．，．直接開平方并整理，得．，．我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法”(1)下面是小明用“平均數(shù)法”解方程時(shí)寫的解題過程．解：原方程可變形，得：．，∴．直接開平方并整理，得．，．上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為______，______，______，______．(2)請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：．21．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為______．22．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)課上,老師展示了這樣一段內(nèi)容．問題求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小麗和小明想,二次多項(xiàng)式都能用類似的方法求出最值（最小值或最大值）嗎？（1）小麗寫出了一些二次三項(xiàng)式