第二講分式根式及其運(yùn)算講義高一上學(xué)期數(shù)學(xué)暑假初高中銜接

第二講分式、根式及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)講解：1．知識(shí)鞏固（1）二次根式的定義一般地，形如的式子叫做二次根式．（2）二次根式性質(zhì)：①②③④（3）分式形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式．（4）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為的整式，分式的值不變．用式子表示為：．（5）無(wú)理式：根號(hào)下含有字母的式子并且開(kāi)不盡方的根式叫做無(wú)理式．例如：，是無(wú)理式，而不是無(wú)理式．（6）分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化．其方法是分子、分母同時(shí)乘分母的有理化因式．例如：．（7）有理化因式：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做互為有理化因式．常用的有理化因式有：①與．②與．（8）繁分式：當(dāng)一個(gè)分式的分子或分母中仍含有分式時(shí)，該分式就稱為繁分式．如：或等．繁分式的化簡(jiǎn)，通常將其化成分式的除法進(jìn)行運(yùn)算．2．運(yùn)算法則1．根式的運(yùn)算一個(gè)代數(shù)式的運(yùn)算結(jié)果若含有根式，就必須把它化為最簡(jiǎn)根式．最簡(jiǎn)根式滿足以下3個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；（2）被開(kāi)方數(shù)的每一個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)；（3）被開(kāi)方數(shù)不含分母．把分母中的根號(hào)化去，叫分母有理化．例如，．在根式運(yùn)算中，一般最后結(jié)果要進(jìn)行分母有理化，使分母不含根號(hào)．2．n次根式實(shí)際上，數(shù)的平方根的概念可以推廣．一般地，如果，那么x叫做a的n次方根．例如，由于和，我們把2或叫做16的4次方根．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)表示，也可以把兩個(gè)方根合起來(lái)寫(xiě)作．例如，，，合起來(lái)寫(xiě)作．類比平方根與立方根的性質(zhì)，我們不難發(fā)現(xiàn)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)有兩個(gè)相反的偶次方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，但任意實(shí)數(shù)都只有一個(gè)與它同號(hào)的奇次方根．本節(jié)所討論的n次方根運(yùn)算都限在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)．3．分式的運(yùn)算分式運(yùn)算與因式分解關(guān)系密切，掌握了各種乘法公式和因式分解方法，可以使我們的分式運(yùn)算能力得到提高．分式乘除運(yùn)算與約分相關(guān)，應(yīng)考慮先將各分式的分子分母分解因式．分式混合運(yùn)算時(shí)需合理安排運(yùn)算順序，小心完成每一步．4．繁分式像，，…這樣分母中含有字母的代數(shù)式叫做分式．而像，，…這樣分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．繁分式可以通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變換轉(zhuǎn)化成普通的分式．例如，

例題講解：例1.分式化簡(jiǎn)：．例2.化簡(jiǎn)：．例3.化簡(jiǎn)：．例4.化簡(jiǎn)：．例5.閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：。以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．參照上面的方法化簡(jiǎn)：．例6.“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故，由解得，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)．例7.觀察下列等式第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式；第3個(gè)等式；第4個(gè)等式．按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題（1）請(qǐng)寫(xiě)出第5個(gè)等式；（2）寫(xiě)出你猜想的第為正整數(shù)）個(gè)等式（用含的等式表示），并利用上述規(guī)律計(jì)算．（3）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，求的值．例8.閱讀下列解題過(guò)程：；．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）歸納：觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出下列各式的結(jié)果．①；②；（2）應(yīng)用：求的值；（3）拓廣：．例9.觀察下列一組等式，然后解答后面的問(wèn)題，，（1）觀察上面規(guī)律，計(jì)算下面的式子（2）利用上面的規(guī)律比較與的大?。?0.化簡(jiǎn)：．變式練習(xí)：1．某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：有時(shí)候兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，，，．通過(guò)查閱相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，這樣的兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．小組成員利用有理化因式，分別得到了一個(gè)結(jié)論：甲：；乙：設(shè)有理數(shù)，滿足：，則；丙：；?。阂阎?，則；戊：．以上結(jié)論正確的有A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁2．3．一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣可以把部分．的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照上述的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）化簡(jiǎn)．4．閱讀材料：我們來(lái)看看完全平方公式在無(wú)理數(shù)化簡(jiǎn)中的作用．問(wèn)題提出：該如何化簡(jiǎn)？建立模型：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)，，使，，這樣，．那么便有：，問(wèn)題解決：化簡(jiǎn)：，解：首先把化為，這里，，由于，，即，．，模型應(yīng)用1：利用上述解決問(wèn)題的方法化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）．模型應(yīng)用（3）在中，，，，那么邊的長(zhǎng)為多少？（直接寫(xiě)出結(jié)果，結(jié)果化成最簡(jiǎn)）．5．小明在解決問(wèn)題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)．（2）若．求：①求的值．②直接寫(xiě)出代數(shù)式的值；．6．先化簡(jiǎn)，再求的值；其中滿足，且為偶數(shù)．7．閱讀下列材料：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”．而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式）．如：；再如：．解決下列問(wèn)題：（1）分式是分式（填“真分式”或“假分式”；（2）假分式可化為帶分式的形式；（3）如果分式的值為整數(shù)，那么的整數(shù)值為．8．化簡(jiǎn)：．9．化簡(jiǎn)：．10．計(jì)算（1）；（2）；（3）．11．化簡(jiǎn)：．

答案與解析例題講解：例1.分式化簡(jiǎn)：．【答案】．【分析】先把除法變成乘法然后約分，再計(jì)算分式減法即可．【解答】解：．例2.化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】先通分括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法即可．【解答】解：．例3.化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】先通分括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法即可．【解答】解：．例4.化簡(jiǎn)：．【答案】．【分析】先通分括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法即可．【解答】解：．例5.閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．參照上面的方法化簡(jiǎn)：．【分析】分子、分母同時(shí)乘以即可．【解答】解：．故答案為：．例6.“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故，由解得，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)．【答案】．【分析】設(shè)，計(jì)算，利用平方根的意義求得，再利用分母有理化的法則化簡(jiǎn)即可．【解答】解：設(shè)，，．．．原式．例7.觀察下列等式第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式；第3個(gè)等式；第4個(gè)等式．按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題（1）請(qǐng)寫(xiě)出第5個(gè)等式；（2）寫(xiě)出你猜想的第為正整數(shù)）個(gè)等式（用含的等式表示），并利用上述規(guī)律計(jì)算．（3）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）0．【分析】（1）根據(jù)題中等式得出結(jié)論；（2）根據(jù)題中等式猜想得出結(jié)論，再根據(jù)結(jié)論求值；（3）先根據(jù)題中方法變形劃去分母，再利用等式的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：（1），故答案為：；（2）；；（3），①，②，①②得：，．例8.閱讀下列解題過(guò)程：；．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）歸納：觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出下列各式的結(jié)果．①；②；（2）應(yīng)用：求的值；（3）拓廣：．【分析】（1）①直接利用找出分母有理化因式進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案；②直接利用找出分母有理化因式進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案；（2）直接利用找出分母有理化因式進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案；（3）直接利用找出分母有理化因式進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案．【解答】解：（1）①；②；故答案為：；；（2）；（3）．故答案為：．例9.觀察下列一組等式，然后解答后面的問(wèn)題，，（1）觀察上面規(guī)律，計(jì)算下面的式子（2）利用上面的規(guī)律比較與的大小．【分析】（1）根據(jù)題目中材料，可以先將所求式子分母有理化，再化簡(jiǎn)即可解答本題；（2）根據(jù)上面的規(guī)律可以比較與的大?。窘獯稹拷猓海?）；（2），，又，，即．例10.化簡(jiǎn)：．【解答】解：變式練習(xí)：1．【答案】【分析】讀懂題意，利用分母有理化計(jì)算并判斷即可．【解答】解：，甲正確；，，，解得，，乙錯(cuò)誤；，，，丙正確；已知，，，，則，丁錯(cuò)誤；，戊正確，正確的有甲丙戊，故選：．2．【分析】本題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分式的通分、約分，做除法時(shí)要注意先把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，而做乘法運(yùn)算時(shí)要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后約分．【解答】解：．故答案為．3．【答案】（1），；（2）21，4，1，2；（3）．【分析】（1）將用完全平方公式展開(kāi)，與原等式左邊比較，即可得答案；（2）設(shè)，則，比較完全平方式右邊的值與，可將和用和表示出來(lái)，再給和取特殊值，即可得答案；（3）利用題中描述的方法，將要化簡(jiǎn)的雙重根號(hào)，先化為一重根號(hào)，再利用分母有理化化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式和同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1），，，，故答案為：，．（2）設(shè)．則．，，若令，，則，．故答案為：21，4，1，2．（3）．4．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)模型，得，，進(jìn)而求得和分別為1和，代入求解即可；（2）將原式化為．根據(jù)模型，得，，進(jìn)而求得和分別為和，代入求解即可；（3）根據(jù)勾股定理，求得邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)模型化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（1），．，，，，．（2）．，，，，，，．（3）．，，，，，，，．5．【答案】（1）5；（2）①4；②0，2．【分析】（1）將原式分母有理化后，得到規(guī)律，利用規(guī)律求解；（2）將分母有理化得，移項(xiàng)并平方得到，對(duì)①，②的式子進(jìn)行變形后代入求值．【解答】解：（1）原式；（2）①，，，，；②，，原式；，，原式．故答案為：0，2．6．【分析】由滿足，得出，為偶數(shù)得出，再進(jìn)一步化簡(jiǎn)，代入求得答案即可．【解答】解：滿足，，，，且為偶數(shù)，，原式．7．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中真分式與假分式的定義判斷即可；（2）原式變形，化為帶分式即可；（3）分式化為帶分式后，即可確定出的整數(shù)值．【解答】解：（1）分式是真分式；（2）；（