2025版一輪高考總復習數(shù)學第二章　函數(shù)的概念與性質(zhì)第八節(jié)　對數(shù)函數(shù)

第八節(jié)對數(shù)函數(shù)1.通過具體實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念；能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.2.知道對數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)（a＞0，且a≠1）.1.對數(shù)函數(shù)（1）定義：函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是（0，＋∞）.提醒對數(shù)函數(shù)y＝logax的3個特征：①底數(shù)a＞0，且a≠1；②自變量x＞0；③系數(shù)為1.（2）圖象與性質(zhì)底數(shù)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域：（0，＋∞）值域：R圖象過定點（1，0），即恒有l(wèi)oga1＝0當x＞1時，恒有y＞0；當0＜x＜1時，恒有y＜0當x＞1時，恒有y＜0；當0＜x＜1時，恒有y＞0在（0，＋∞）上是增函數(shù)在（0，＋∞）上是減函數(shù)提醒當對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時，需分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論.442.反函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）與對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換；（2）y＝ax與y＝logax的函數(shù)圖象關于y＝x對稱.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝log2（x＋1）是對數(shù)函數(shù).（×）（2）函數(shù)y＝ln1+x1－x與y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定義域相同.（（3）函數(shù)y＝log2x與y＝log121x的圖象重合.（2.已知實數(shù)a＝log32，b＝log2π，c＝log210，則有（）A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜a＜b D.c＜b＜a解析：Aa＝log32＜log33＝1＜b＝log2π＜c＝log210，故選A.3.函數(shù)y＝log2（x＋1）的圖象大致是（）解析：C函數(shù)y＝log2（x＋1）的圖象是由函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個單位長度得到的，圖象過定點（0，0），函數(shù)定義域為（－1，＋∞），且在（－1，＋∞）上是增函數(shù)，故選C.4.（2024·信陽模擬）函數(shù)f（x）＝ln（x－1）的定義域為[2解析：要使函數(shù)f（x）＝ln（x－1）有意義，只需ln（x－1）≥0，x－1>0，即x－1.函數(shù)y＝logax與y＝log1ax（a＞0，且a≠1）的圖象關于x2.對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象過定點（1，0），且過點（a，1），（1a，－1），函數(shù)圖象只在第一、四象限3.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較：如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù).故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.1.如圖所示，關于三個對數(shù)函數(shù)的圖象，下列選項正確的是（）A.0＜c＜b＜1＜a B.0＜b＜c＜1＜aC.1＜b＜c＜a D.1＜c＜b＜a解析：A作直線y＝1（圖略），由結(jié)論3可得0＜c＜b＜1＜a.2.函數(shù)y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點（2，2）.解析：當x＝2時，函數(shù)y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的值為2，所以圖象恒過定點（2，2）.對數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例1】（1）函數(shù)y＝logax與y＝－x＋a在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（A）（2）已知函數(shù)f（x）＝｜log2x｜，實數(shù)a，b滿足0＜a＜b，且f（a）＝f（b），若f（x）在[a2，b]上的最大值為2，則1a＋b＝4解析：（1）當a＞1時，函數(shù)y＝logax的圖象為選項B，D中的曲線，此時函數(shù)y＝－x＋a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足a＞1，B、D錯誤；當0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax的圖象為選項A，C中的曲線，此時函數(shù)y＝－x＋a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足0＜a＜1，A正確.（2）∵f（x）＝｜log2x｜，∴f（x）的圖象如圖所示，又f（a）＝f（b）且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，當a2≤x≤b時，由圖知，f（x）max＝f（a2）＝｜log2a2｜＝－2log2a＝2，∴a＝12，∴b＝2.∴1a＋解題技法利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧（1）對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）、值域（最值）、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想；（2）對一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.1.已知f（x）＝a－x，g（x）＝logax，且f（2）·g（2）＞0，則函數(shù)f（x）與g（x）的圖象是（）解析：D因為f（2）·g（2）＞0，所以a＞1，所以f（x）＝a－x與g（x）＝logax在其定義域上分別是減函數(shù)與增函數(shù).故選D.2.已知函數(shù)f（x）＝log2x，x>0，3x，x≤0，關于x的方程f（x）＋x－a解析：問題等價于函數(shù)y＝f（x）與y＝－x＋a的圖象有且只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可知a＞1.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用考向1比較對數(shù)式的大小【例2】（1）已知實數(shù)a＝log23，b＝log1312，c＝log312，則A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.b＞c＞a D.c＞b＞a（2）已知0＜1b＜a＜1，則logba，logab，loga1b，－1，1，0的大小關系是logab＜－1＜logba＜0＜1＜loga1b.（用解析：（1）因為a＝log23＞1，b＝log1312＝log32∈（0，1），c＝log312＝－log32＜0，所以a（2）∵0＜1b＜a＜1，∴0＜a＜1，b＞1，∴l(xiāng)oga1b＞logaa＝1，－1＝logb1b＜logba＜logb1＝0，即loga1b＞1，－1＜logba＜0，∴l(xiāng)ogab＜－1，∴l(xiāng)ogab＜－1＜logba＜0＜1＜解題技法比較對數(shù)式大小的常見類型及解題方法考向2解對數(shù)方程或不等式【例3】（必修第一冊第141頁12題改編）若loga4＜1，則a的取值范圍為（0，1）∪（4，＋∞）.解析：當a＞1時，由loga4＜1?loga4＜logaa?a＞4；當0＜a＜1時，由loga4＜1?loga4＜logaa?a＜4，即0＜a＜1，綜上所述，a的取值范圍為（0，1）∪（4，＋∞）.（變條件，變設問）若loga（a2＋1）＜loga（2a）＜0，則a的取值范圍是（）A.（0，1） B.（0，12C.（12，1） D.（0，1）∪（1，＋解析：C由題意得a＞0且a≠1，又a2＋1＞2a，loga（a2＋1）＜loga（2a）＜0，所以0＜a＜1，且2a＞1，所以12＜a＜1.故a的取值范圍是1解題技法求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法（1）logax＞logab：借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論；（2）logax＞b：需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解.1.a＝log13π，b＝log3π，c＝log4π，則（A.a＜c＜b B.c＜b＜aC.a＜b＜c D.b＜c＜a解析：A由已知a＝log13π＜log131＝0，又b＝log3π＝1logπ3＞1，c＝log4π＝1logπ4，有0＜1logπ4＜1，2.設函數(shù)f（x）＝21－x，x≤1，1－logA.[－1，2] B.[0，2]C.[1，＋∞） D.[0，＋∞）解析：D當x≤1時，由21－x≤2得1－x≤1，∴0≤x≤1；當x＞1時，由1－log2x≤2得x≥12，∴x＞1.綜上，x的取值范圍為[0，＋∞）.故選對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題【例4】已知函數(shù)f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）.（1）若f（1）＝1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）的最小值為0，求a的值.解：（1）因為f（1）＝1，所以log4（a＋5）＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，所以f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）.由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函數(shù)f（x）的定義域為（－1，3）.令g（x）＝－x2＋2x＋3（－1＜x＜3），則g（x）在（－1，1]上單調(diào)遞增，在[1，3）上單調(diào)遞減.又y＝log4x在（0，＋∞）上為增函數(shù)，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－1，1]，單調(diào)遞減區(qū)間是[1，3）.（2）若f（x）的最小值為0，則h（x）＝ax2＋2x＋3應有最小值1，因此應有a解得a＝12解題技法與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個方面：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關系；三是復合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運用復合函數(shù)“同增異減”原則確定函數(shù)的單調(diào)性.1.設函數(shù)f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，則f（x）（）A.是偶函數(shù)，且在（－∞，－3）上單調(diào)遞減B.是奇函數(shù)，且在（－3，3）上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù)，且在（3，＋∞）上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在（－3，3）上單調(diào)遞增解析：A函數(shù)f（x）的定義域為{x｜x≠±3}，f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜＝ln｜x2－9｜，令g（x）＝｜x2－9｜，則f（x）＝lng（x），由函數(shù)g（x）的圖象（圖略）可知，當x∈（－∞，－3），x∈（0，3）時，g（x）單調(diào)遞減，當x∈（－3，0），x∈（3，＋∞）時，g（x）單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性得f（x）的單調(diào)區(qū)間；由f（－x）＝ln｜（－x）2－9｜＝ln｜x2－9｜＝f（x）得f（x）為偶函數(shù).故選A.2.已知函數(shù)f（x）＝loga（2x－a）在區(qū)間［23，34］上恒有f（x）＞0，則實數(shù)a的取值范圍是（12，解析：由題意得a>1，2×23－a認知幾類特殊的函數(shù)高考數(shù)學與高等數(shù)學知識（如高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、歐拉函數(shù)、黎曼函數(shù)等）的接軌，常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).一、高斯函數(shù)1.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f（x）＝2x+11+2x，則函數(shù)y＝[f（xA.{0，1} B.（0，2）C.（0，1） D.{－1，0，1}解析：A法一因為f（x）＝2x+11+2x＝2x+1+2－21+2x＝2－21+2x∈（0，2），所以當f（x）∈（0，1）時，y＝[f（x）]＝0；當f（x）∈[1，2）時，y＝[f（x）]＝1.所以函數(shù)法二因為y＝[f（x）]不可能為小數(shù)，所以排除B、C；又2x＞0，所以f（x）＝2x+11+2x＞0，所以y＝[f（x）]≠－12.高斯函數(shù)y＝[x]，也稱為取整函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù).例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.則下列結(jié)論：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，則x的取值范圍是2≤x≤3；④當－1≤x＜1時，[x＋1]＋[－x＋1]的值為1，2.其中正確的結(jié)論有①④.（寫出所有正確結(jié)論的序號）解析：①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正確；②[x]＋[－x]＝0，錯誤，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3，2＋（－3）≠0；③若[x＋1]＝3，則x的取值范圍是2≤x＜3，故錯誤；④當－1≤x＜1時，0≤x＋1＜2，0＜－x＋1≤2，∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2，當[x＋1]＝0時，[－x＋1]＝1或2；當[x＋1]＝1時，[－x＋1]＝1或0；所以[x＋1]＋[－x＋1]的值為1，2，故正確.二、狄利克雷函數(shù)3.（2024·長安質(zhì)檢）已知著名的狄利克雷函數(shù)f（x）＝1，x∈Q，0，x∈?

RQ，其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集，若m∈R，A.0 B.1C.0或1 D.無法求解析：B若m∈Q，則f（m）＝1，所以f（f（f（m）））＝f（f（1））＝f（1）＝1.若m∈?RQ，則f（m）＝0，所以f（f（f（m）））＝f（f（0））＝f（1）＝1.故選B.4.（多選）（2024·濟寧一模）德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，函數(shù)f（x）＝1，x∈Q，0，x∈?

RQA.f（f（x））＝0B.函數(shù)f（x）是偶函數(shù)C.任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x＋T）＝f（x）對任意的x∈R恒成立D.存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形解析：BCD對于A，當x為有理數(shù)時，f（x）＝1，f（f（x））＝f（1）＝1，A錯誤.對于B，若x∈Q，則－x∈Q；若x∈?RQ，則－x∈?RQ，所以無論x是有理數(shù)還是無理數(shù)，都有f（－x）＝f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，B正確.對于C，當x為有理數(shù)時，x＋T為有理數(shù)，滿足f（x＋T）＝f（x）＝1；當x為無理數(shù)時，x＋T為無理數(shù)，滿足f（x＋T）＝f（x）＝0，C正確.對于D，當A，B，C三點滿足A（33，0），B（0，1），C（－33，0）時，△ABC為等邊三角形，D三、黎曼函數(shù)5.黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用，其定義為：R（x）＝1若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意x都有f（2＋x）＋f（x）＝0，當x∈[0，1]時，f（x）＝R（x），則f（lg2024）＋f（30＋20245）＝A.15 B.C.－25 D.－解析：D由f（2＋x）＋f（x）＝0?f（2＋x）＝－f（x）?f（x＋4）＝f（x），可得f（x）的周期為4，又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（lg2024）＝f（－lg2024）＝f（4－lg2024）＝f（lg100002024）＝R（lg100002024）＝0，f（30＋20245）＝f（2＋45）＝－f（45）＝－R（45）＝－16.黎曼函數(shù)是定義在[0，1]上，解析式為R（x）＝1p，x＝qp（p，q都是正整數(shù)，qp是既約真分數(shù)），0，x=0，1或[0，1]上的無理數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的x，都有f（2＋x）＋f（2－x）＝0，當x∈[0，1]時，f解析：因為f（2＋x）＋f（2－x）＝0，所以f（2＋x）＝－f（2－x）.因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（2＋x）＝f（x－2），所以f（4＋x）＝f（x），所以f（x）的周期為4.因為f（2＋x）＋f（2－x）＝0，所以令x＝0，可得f（2）＝0，所以f（2022）＝f（2）＝0.因為f（20232）＝f（－12）＝－f（12）＝－12，f（20245）＝f（45）＝15，所以f（2022）＋四、歐拉函數(shù)7.（2024·鄭州一模）歐拉函數(shù)φ（n）（n∈N*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素（也稱互質(zhì)）的正整數(shù)的個數(shù)，例如φ（1）＝1，φ（4）＝2，φ（9）＝6.則（）A.數(shù)列{φ（n）}單調(diào)B.φ（5）＜φ（6）C.數(shù)列{φ（2n）}是等比數(shù)列D.φ（6）＝φ（2）＋φ（3）解析：C由題意知，φ（1）＝1，φ（2）＝1，所以A錯誤；由題意知，φ（5）＝4，φ（6）＝2，所以B錯誤；由題意，易知2n與比它小的正奇數(shù)都互素，所以不超過2n且與2n互素的正整數(shù)有2n－1個，所以φ（2n）＝2n－1，數(shù)列{φ（2n）}是等比數(shù)列，C正確；由題意知，φ（6）＝2，φ（2）＝1，φ（3）＝2，所以D錯誤.故選C.五、雙曲函數(shù)8.（多選）濟南大明湖的湖邊設有如圖所示的護欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學中把這種兩端固定的一條（粗細與質(zhì)量分布）均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.如果建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担敲磻益溇€可以表示為函數(shù)f（x）＝a2（exa＋e－xa），其中a＞0，則下列關于懸鏈線函數(shù)f（A.f（x）為偶函數(shù)B.f（x）為奇函數(shù)C.f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，0）D.f（x）的最大值是a解析：AC∵f（－x）＝a2（e－xa＋exa）＝f（x），則f（x）為偶函數(shù)，A正確，B錯誤；又∵f'（x）＝12（exa－e－xa）在R上是增函數(shù)，且f'（0）＝0，則當x＞0時，則f'（x）＞0，當x＜0時，則f'（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，＋∞），C正確；則f（x）≥f（0）＝a，即f（六、不動點函數(shù)9.（多選）在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學（一個數(shù)學分支）里一個非常重要的定理，簡單來講就是對于滿足一定條件的圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f（x），如果存在一個點x0，使得f（x0）＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點函數(shù)”.下列為“不動點函數(shù)”的是（）A.f（x）＝x＋1 B.f（x）＝1x－x，x＞C.f（x）＝x2－x＋3 D.f（x）＝log1解析：BD四個選項中的函數(shù)的圖象顯然都是連續(xù)不斷的.對于A，令x0＋1＝x0，該方程無解，故A不是“不動點函數(shù)”.對于B，令1x0－x0＝x0，x0＞0，解得x0＝22，故B是“不動點函數(shù)”.對于C，令x02－x0＋3＝x0，即（x0－1）2＋2＝0，該方程無實數(shù)根，故C不是“不動點函數(shù)”.對于D，畫出y＝log12x與y＝x的圖象，如圖所示，顯然兩圖象有交點，即存在一個點x0，使得f（x0）＝x0，故D是“不動點函數(shù)”點評無論是何種特殊函數(shù)，大致可分為兩類進行解決：①以某些特殊函數(shù)為背景考查函數(shù)的基本概念及性質(zhì)：破解關鍵是理解函數(shù)的實質(zhì)，與熟悉的函數(shù)類比，通過賦特殊值或數(shù)形結(jié)合解決；②通過特殊函數(shù)定義某些“新性質(zhì)、新運算”：破解關鍵是認真閱讀題意，分析“新性質(zhì)、新運算”的特點，并與熟知的知識、方法相聯(lián)系，剝?nèi)ァ靶滦再|(zhì)、新運算”的外衣，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、方法來解決.1.若函數(shù)y＝f（x）是函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函數(shù)，且f（2）＝1，則f（x）＝（）A.log2x B.1C.log12x D.2x解析：A由題意得，f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因為f（2）＝1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f（x）＝log2x.2.函數(shù)f（x）＝lgx＋lg（5－3x）的定義域是（A.0，53C.1，53解析：C函數(shù)f（x）＝lgx＋lg（5－3x）的定義域滿足x>0，3.已知函數(shù)f（x）＝｜lgx｜，若a＝f14，b＝f12，c＝f（3），則a，b，c的大小關系為（A.a＞b＞c B.b＞c＞aC.a＞c＞b D.c＞a＞b解析：C∵a＝lg14＝｜－lg4｜＝lg4，b＝lg12＝｜－lg2｜＝lg2，c＝｜lg3｜＝lg3，且f（x）＝lgx在（0，＋∞）上是增函數(shù)，∴l(xiāng)g4＞lg3＞lg2，即a＞c＞4.函數(shù)f（x）＝log2x4·log4（4x2）的最小值為（A.－94 B.－C.－32 D.解析：A由題意知f（x）的定義域為（0，＋∞），所以f（x）＝（－2＋log2x）（1＋log2x）＝（log2x）2－log2x－2＝log2x－122－94≥－94.當5.（多選）函數(shù)y＝loga（x＋c）（a，c為常數(shù)，其中a＞0，且a≠1）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A.a＞1 B.0＜c＜1C.0＜a＜1 D.c＞1解析：BC由圖象可知0＜a＜1，令y＝0得loga（x＋c）＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由圖象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.6.（多選）已知函數(shù)f（x）＝log2（1－｜x｜），則關于函數(shù)f（x）有下列說法，其中正確的為（）A.f（x）的圖象關于原點對稱B.f（x）的圖象關于y軸對稱C.f（x）的最大值為0D.f（x）在區(qū)間（－1，1）上單調(diào)遞增解析：BC函數(shù)f（x）的定義域為（－1，1），關于原點對稱，由f（－x）＝log2（1－｜－x｜）＝log2（1－｜x｜）＝f（x），得f（x）＝log2（1－｜x｜）為偶函數(shù)，所以A錯誤，B正確；根據(jù)f（x）的圖象（圖略）可知D錯誤；因為1－｜x｜≤1，所以f（x）≤log21＝0，故C正確.7.若函數(shù)y＝4＋loga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的圖象恒過點A，則點A的坐標為（1，4）.解析：令2x－1＝1，可得x＝1，當x＝1時，y＝4，所以函數(shù)圖象恒過點（1，4）.8.寫出一個具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f（x）＝log12x（答案不唯一）①f（x）的定義域為（0，＋∞）；②f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；③當x∈（0，＋∞）時，f（x）單調(diào)遞減.解析：由①②知，對數(shù)函數(shù)形式的函數(shù)滿足要求，又由③知，f（x）在定義域（0，＋∞）上為減函數(shù)，故f（x）可以為log129.設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝lg（3x＋1）－1，則不等式f（x）＞0的解集為（－∞，－3）∪（3，＋∞）.解析：當x≥0時，由f（x）＝lg（3x＋1）－1＞0，得x＞3.又因為函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以不等式f（x）＞0的解集為（－∞，－3）∪（3，＋∞）.10.設f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2.（1）求實數(shù)a的值及f（x）的定義域；（2）求f（x）在區(qū)間［0，32］上的最大值解：（1）∵f（1）＝2，∴l(xiāng)oga4＝2.又a＞0，且a≠1，∴a＝2.由1+x>0，3－x>0，∴函數(shù)f（x）的定義域為（－1，3）.（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）＝log2[（1＋x）·（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]，∴當x∈[0，1]時，f（x）單調(diào)遞增；當x∈（1，32］時，f（x）單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）在［0，32］上的最大值是f（1）＝log11.若函數(shù)f（x）＝loga（x2＋32x）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間12，＋∞內(nèi)恒有f（x）＞0，則f（xA.（0，＋∞） B.（2，＋∞）C.（1，＋∞） D.（12，＋∞解析：A令M＝x2＋32x，當x∈（12，＋∞）時，M∈（1，＋∞），恒有f（x）＞0，所以a＞1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)，又M＝（x＋34）2－916，所以M的單調(diào)遞增區(qū)間為（－34，＋∞）.又x2＋32x＞0，所以x＞0或x＜－32，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為12.（多選）已知函數(shù)f（x）＝lnx＋ln（2－x），則（）A.f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增B.f（x）在（0，2）上的最大值為0C.f（x）的圖象關于直線