北師大版高中數(shù)學必修第二冊第六章測試題及答案

北師大版高中數(shù)學必修第二冊第六章測試題及答案

（時間:120分鐘滿分:150分）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分）

1.下列幾何體是旋轉體的是（）

頌1柱;念木棱錐;③正方體;班體;領面體.

A.?@C.（D@D.（g?

2.已知在邊長為1的菱形ABC。中4告,則用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為（）

DT

3.設正方體的表面積為24,那么其外接球的體積是（)

A48n

A鏟BDT

C.4V3TID.32V37t

4.已知直線/_L平面見直線mu平面人有以下四個命題：

@〃夕=/_!_機;②z_1_/=/〃m;?〃機=a_1_夕;④LL/〃=a〃夕.

其中正確的命題是（）

A.??B.③?C.?@D.0@

5.如圖，在四邊形ABC。中,NOA8=9（T,NADC=135°4B=5,C￡>=2&4O=2,則四邊形A8CZ）繞A。

所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積為（）

43-----------

A.（60+4V2）nB.（60+8V2）TT

C.(56+8或)兀D.(56+4V2)7t

6.《算數(shù)書》竹簡于20世紀80年代在湖北省張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍,

其中記載有求“禾蓋”的術:置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的

底面周長L與高山計算其體積V的近以公式嗎它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率幾近似

取為3.那么，近似公式相當于將圓錐體積公式中的圓周率加近似取為（）

157252322

A而BTCT口.亍

7.若將一個真命題中的“平面”換成“直線”,“直線”換成“平面”后仍是真命題廁該命題稱為“可換命題二

下列四個命題：

皈直于同一平面的兩直線平行;奧直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線的兩直線平行;

④平行于同一平面的兩直線平行.

其中是“可換命題，，的是（）

A.（D?C.（D?D.?@

8.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M為AC的中點，沿8M把它折成二面角，折后4與C的距離

為1,則二面角C-BM-A的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.12O0

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

9.下列四個命題中，是真命題的有（）

A.若直線a,b互相平行，則直線a,b確定一個平面

B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行

C.若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線

D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面

是空間三條不同的直線，則下列命題不正確的是（）

AU2_L/3=/l〃，3

B./山2,，2〃/3=/山3

C/〃/2〃/3=/l,/2,，3共面

D/i1213共點n/1,/2,/3共面

11.如圖，在棱長均相等的四棱錐尸-ABC。中,。為底面正方形的中心,M,N分別為側棱的中點,

下列結論正確的是（）

A.PO〃平面OMN

B.平面PCO〃平面OMN

C.直線PO與直線MN所成角的大小為90°

DON工PB

12.正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,E,F,G分別為BC,CCi,BBi的中點，則（）

A.直線GO與直線A尸垂直

B.直線4G與平面AEQ平行

C.平面AM截正方體所得的截面面積為《

O

D.點C與點G到平面AEr的距離相等

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.圓柱的高是8cm,表面積是130兀cm?,則它的底面圓的半徑等于cm,圓柱的體積是

cm'.

14.如圖，已知平面好》平面/?=/,EA_La,垂足為垂足為&直線au4〃_LAB,則直線a與直線/

的位置關系是.

15.如圖，在四面體P-ABC中,PA=P8=VT5,平面PAB_L平面A8C,NABC=9004C=8,8C=6,則

PC=

16.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A由IGQI挖去四棱

錐O-EFG”后所得的幾何體，其中。為長方體的中心,EEG,“分別為所在棱的中點,A6=3C=6

cmAA產(chǎn)4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm，.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為

g-

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）在三棱錐A-BCD中C〃分別是線段ABAD的中點,EG分別是線段CB,CD_L的點,R族

t5r

CC1

而二5?求證:

（1）四邊形EFG”是梯形;

（2）AC,M,G”三條直線相交于同一點.

18.（12分）如圖，矩形AMNO所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直"8〃NC,MN_LMB.

A

⑴求證:平面AMB〃平面DNC-M

(2)若MC_LCB,求證:BCJ_AC.

19.(12分)《九章算術》是我國古代極為豐宓的數(shù)學名著,書中將底面為直角三角形且側棱垂直于底

面的棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵ABM-DCP與芻童4BCD-

ABGQi的組合體中,NMA8=90°AB=ADA\Bi=A\D\.

(1)證明:直線8。，平面M4C;4

⑵已知48=14。=2,知4=75,且三棱維4出田。的體積丫二手，求該組合體的體積.

20.(12分)如圖仍示的等邊AABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E,尸分別是AC,BC邊的中點.現(xiàn)

將AABC沿CO折疊,使平面4。。_1_平面BOC,如圖②所示.

⑴試判斷折疊后直線A8與平面OE尸的位置關系，并說明理由;

(2)求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比.

21.（12分）如圖,三棱柱A8C-AHG的底面48c是等腰直角三角形48=4C=1,側棱A4i_L底面ABC,

且A4i=2,E是8c的中點.產(chǎn)—E

（1）求異面直線AE與4c所成角的余弦值；

⑵求直線AC與平面8CG辦所成角的正切值.

22.（12分）加圖，在三棱錐P-ANC中,PA_L平面分別為BCAB的中點.

BM

⑴求證:MN〃平面PAC.

⑵求證:平面PBCJL平面PAM.

⑶在AC上是否存在點及使得ME_L平面PAC?若存在，求出ME的長;若不存在,請說明理由.

第六章測評

（時間:120分鐘滿分:150分）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分）

1.下列幾何體是旋轉體的是（

⑦圓柱;②六棱錐;③正方體;希體;融面體.

A.0@B.贅C.0@D.領

答案A

2.已知在邊長為1的菱形4BCD中4寺,則用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為（

麗在菱形ABCD中AB=1,A4則菱形的面積為S支同ABCD=2S^ABD=2xlxlxlxsin^=當

所以用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖面積為s條及壽48。。二噂?

4o

答案D

3.設正方體的表面積為24,那么其外接球的體積是（）

C.4島D.32V3TI

斷設正方體的棱長為《由題意可知,6/=24,所以。:2.

設正方體外接球的半徑為凡則6a=2已

所以R=V5,所以v堂=，R3=4>/5兀

4.已知直線LL平面a,直線機u平面人有以下四個命題：

（l）a//_!_/?=/〃m;@〃機=，4_LQ;g_Lm=a〃p.

其中正確的命題是（）

B.③?C.(g@D.0@

若a〃4LLa,則/_LW，

又加u￡,所以/_!_犯故①正確;

則/與小可能異面,所以納正確；

若a，則〃?_La,

又用u￡,則aJL￡,所以③正確；

若/_La」_L〃“〃u4則a與少可能相交，故正確.

綜上可知，選D.

5.如圖，在四邊形A8CD中,ND48=9(T,NADC=135°工8=5(。=2或4)=2,則四邊形488繞4)

所在直線旋轉一周所成幾何體的表面現(xiàn)為()

A.(60+4V2)TIB.(60+8V2)K

C.(56+8&)兀D.(56+4A②K

麗四邊形ABCD繞A。所在直線旋轉一周所成的幾何體，如圖.

故選A.

Uh

6.《算數(shù)書》竹簡于20世紀80年代在湖北省張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，

其中記載有求“禾蓋”的術:置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了由圓錐的

底面周長L與高力，計算其體積V的近以公式嗎〃比它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率幾近似

取為3.那么，近似公式內(nèi)擊從相當于將圓錐體積公式中的圓周率兀近似取為

)

A15725D號

A,市BRT謂

畫設圓錐的底面半徑為r,則圓錐的底面周長L=2w,

所以「啥所以丫=宗辦二巖?

令官=￡卻得兀有故選D.

答案D

7.若將一個真命題中的“平面”換成“直線”,“直線”換成“平面”后仍是真命題則該命題稱為“可換命題二

下列四個命題：

礴直于同一平面的兩直線平行;遜直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線的兩直線平行;

@平行于同一平面的兩直線平行.

其中是“可換命題”的是（）

\.(D?B.③?z.(D@D.0@

園明由“垂直于同一直線的兩個平面平行''知，①<“可換命題由“垂直于同一平面的兩平面未必平

行''知，②^是“可換命題”；由“平行于同一平面的兩個平面平行”知，③是“可換命題”；由“平行于同一平

面的兩直線未必平行”知,④不是“可換命題”.綜上所述，故選A.

答案A

8.仁等腰直角二角形ABC中力B=3C=1,M為AC的中點，沿3M把它折成二面角，折后A與。的距離

為1,則二面角C-BM-A的大小為（）

A.30°B.600C.90°D.120°

麗如

B

A

圖，由A5=3C=1,N45C=9O°知

因為M為AC的中點，所以耳且CM_L8M,AM_LBM,

所以NCM4為二面角C-BM-A的平面角.

因為AC=1,MC=M4=：，所以NCM4=90°,故選C.

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

9.下列四個命題中，是真命題的有（）

A.若直線a,b互相平行,則直線a,b確定一個平面

B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行

C.若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線

D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面

噩]C項中，若兩直線無公共點，這兩直線平行或異面.其他選項正確.

■]ABD

10.兒/213是空間三條不同的直線，則下列命題不正確的是（）

A./|±/2J2±/3=>/|^/3

B./山212〃/3=也3

CJ|〃，2〃/3a注13共面

D./i,/2,/3共點=/1,，2,，3共面

園明通過常見的圖形正方體，從同一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直,A錯；

因為/」，2,所以/1,/2所成的角是90°,又因為/2〃/3,所以九/3所成的角是90°,所以/["LAB對;

例如三棱柱中的三側棱平行，但不共面，故C錯；

例如三棱錐的三側棱共點，但不共面，故D錯.故選ACD.

^"ACD

11.如圖，在棱長均相等的四棱錐尸-A8C力中，。為底面正方形的中心,MW分別為側棱P4.尸B的中點,

下列結論正確的是（）

A.PO〃平面OMN

B.平面PCD〃平面OMN

C.直線PD與直線MN所成角的大小為90°

DON工PB

廨機連接80（圖略），顯然。為8Q的中點，又N為尸8的中點，所以P?！ā?nèi)，由線面平行的判定定理

可得,PD〃平面0MN,A正確;

由M,N分別為側棱PA,PB的中點，所以又底面為正方形，所以A8〃CD所以MN〃CO,

由線面平行的判定定理可得,CO〃平面0MN,又由選項A得PD〃平面0MN,由面面平行的判定定理

可得，平面PC。〃平面0MNB正確；

因為MN〃CD,所以/PDC為虻紋PO與直線MN所成的角，又因為所有棱長都相等，所以N

PDC=60°,故直線尸。與直線MN所成角的大小為60°,C錯誤；

因為底面為正方形，所以A"+AQ'BD2,又所有棱長都相等，所以PB2+PD2MBD2,故PBA.PD,

又PO〃OM所以。/\^1_尸80正確.故選ABD.

答案ABD

12.正方體ABCD-A^CiDi的棱長為1,E,F,G分別為BC,CG,BBi的中點，則（）

A直線DiD與直線A尸垂直

B.直線AiG與平面AE尸平行

C.平面4M截正方體所得的截面面積為:

O

D.點C與點G到平面AEr的距離相等

僮責因為4。1〃七尸,平面AE尸即平面4E/力所以AZ)i〃平面AEFG,故DD\與4尸不垂直，故A錯誤.

因為AiG〃。/AGC平面AEFOQFu平面4￡7訕,所以4G〃平面NEFOi,故B正確.平面AEF

裁正方體所得截面為等腰梯形AEF。,易知梯形面積為當故C正確.點G到平面AEFM的距離即點4

O

到面AO尸的距離，顯然D錯誤.故選BC.

霰IBC

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.圓柱的高是8cm,表面積是130兀cn?,則它的底面圓的半徑等于cm,圓柱的體積是

cm3.

朝設圓柱的底面圓的半徑為rem,

則S田柱表二2廿8+2兀戶=130兀解得r=5,即圓柱的底面圓半徑為5cm.圓柱的體積

3

V=52JCx8=2OO7c(cm).

200n

14.如圖，已知平面㈤平面尸，E4_La,垂足為A,EB，仇垂足為8,直線加:夕I_1/1艮則直線a與直線/

的位置關系是

|解桐因為EA_La，平面aD平面夕=/，即仁火

所以LLEA.同理ILEB.又EACiEB=E,

所以/J_平面EAB.

因為平面人所以EBLa.

又a±AB,EBC\AB=B.

所以a_L平面EAB,所以a〃L

齷平行

15.如圖，在四面體P-A8C中，尸A=PB=VI5,平面H4BJ_平面48C,NABC=90°工。=8,8C=6,則

PC=.

麗取

AB的中點E,連接PE,EC.

因為PA=PB,

所以PELAB.

又平面PAB_L平面ABC,平面PA6C平面A8C=A8,尸Eu平面P4%所以尸￡_L平面ABC.

連接CE,所以PE1CE.

因為NA5C=90°AC=^BC=6,

所以A3=2夕,PE=」PA2.AE2=餐,

CE=>JBE2+BC2=V43,PC=VPF2+CE2=7.

踴7

16.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCO-AIBIG。挖去四棱

錐O/FGH后所得的幾何體淇中0為長方體的中心￡尸。冉分別為所在棱的中點,A8=BC=6

cmAA尸4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cn?.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為

g-

園明由題意得，四棱錐O-EFGH的底面積為4x6-4xgx2x3=12(cm2),點O到平面4SGC的距離為3

cm,則此四棱鎮(zhèn)的體積為Vi=1xl2x3=l2(cm3).

又長方體4BCQ-A|BiGQi的體積為L=4x6x6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=I44-

12=132(cm3).故其質量為0.9x132=118.8(g).

答案|118.8

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)在三棱錐A-BCD中,E,H分別是線段ABAD的中點,F,G分別是線段CB,CD上的點，且尢=

CC1-IX、-r

麗.求證:

⑴四邊形EFGH是梯形;

(2)ACEEG”三條直線相交于同一點.

覽畫(1)因為分別是邊48/0的中點,

K

所以EH〃BD,且EH=^BD,

又因瑞=需與哈哈=r

所以FG〃BOd戶6=扣。,因此EH〃FG且EH豐FG,故四邊開族EFGH是梯形.

（2）由（1）知相交,

設EFCHG=K、

因為KWEF,EFu平面ABC,

所以KW平面ABC,

同理K￡平面48,

又平面48CC平面ACD=AC.

所以KWAC,

故E尸和GH的交點在直線AC上.

所以AC,EF,GH三條直線相交于同一點.

18.（12分）如圖，矩形4MNQ所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直,MB〃NC,MN_LM8.

⑴求證:平面4M8〃平面DNC;

(2)若MC_LCB,求證:BC_LAC.

［證明卜1）因為平面DNCNCu平面DNC,所以MB〃平面DNC.

因為AMND是矩形，所以MA〃DN.

又MAC平面DNCJDNu平面DNC.

所以M4〃平面DNC.

又MACIM8二M,且MA,MBu平面AMB,

所以平面AMB〃平面DNC.

(2)因為AMN。是矩形，所以AM_LMN.

因為平面AMND_L平面MBCN,且平面AMNDC平面MBCN=MN,

所以AM_L平面MBCN.

因為BCu平面MBCN,所以AMLBC.

因為MCLBC,MCCAM=M,

所以8C_L平面AA/C,

因為ACu平面AMC,所以BCLAC.

19.(12分)《九章算術》是我國古代極為豐富的數(shù)學名著,書中將底面為直角三角形且側棱垂直于底

面的棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵A8M-OCP與芻童A8CD-

AiBiCiDi的組合體中,NM48=90°AB=ADA\Bi=AiDi.

(1)證明:直線BO_L平面MAC;

⑵已知"=IAQI=2,M4=V5,且三棱堆A-A向。?的體積仁竽,求該組合體的體積.

由題意可知，平面ABM與平面OCP是底面為直角三角形且側棱與底面垂直的棱柱,

所以AO_L平面MA氏則AD±MA.

又“4_1人44。043=44。,44(=平面ABCD,

所以MA_L平面ABC。,所以M418D

又A8=AO,所以四邊形ABCD為正方形，得BD±AC.

又M4CIAC二A,M44Cu平面MAC,則8。_1_平面MAC.

(2嫡設芻童ABCQABCQ的高為"，則三棱錐A-A/Q的體積V=1xgx2x2x/?二等，得h=曲.

故該組合體的體積V=ixlxV3xl+l(l2+22+Vl2x22)XV3=塔.

236

20.(12分)如圖⑦所示的等邊△ABC的邊長為2a,C。是4B邊上的高,E,F分別是AC,BC邊的中點.現(xiàn)

將△ABC沿C。折疊,使平面4OC_L平面BQC,如圖②所示.

⑴試判斷折疊后直線AB與平面OE尸的位置關系，并說明理由；

(2)求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比.

園(1)平行.理由如下：

因為E,F分別為AQBC的中點，所以AB//EF,

因為ABU平面DEF,EFu平面DEF,

所以48〃平面DEF.

(2)以￡>4,。氏。。為棱補成一個長方體，

則四面體A-O8C的外接球即為長方體的外接球.

設球的半徑為氏則a2+a2+3a2=(2R)\

所以R2=^a2,

于是球的體積Vl=*R3=竿依3

又以麗二如?小。4人,必"「揚"「四二梟之所以念=五段嬴=駕^

21.(12分)如圖,三棱柱ABC-AiBCi的底面ABC