5.5.1　第2課時(shí)　兩角和與差的正弦、余弦公式

第2課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦公式第五章

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1.掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式以及兩角和

與差的正弦公式.2.會利用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡單的求值、化簡、

計(jì)算等.3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運(yùn)用，以及公式的

正用、逆用以及角的變換的常用方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，大家知道川劇中的“變臉”表演嗎？相傳“變臉”是古代人類面對兇猛的野獸，為了生存把自己臉部用不同的方式勾畫出不同的形態(tài)，人們用絕妙的技巧使它成為一門獨(dú)特的藝術(shù)，神奇的表演讓觀眾嘆為觀止，在三角函數(shù)中也有這樣的“表演者”，上一節(jié)我們學(xué)習(xí)的兩角差的余弦公式就是這樣的“表演者”之一，利用它的變換可以解決許多三角變換問題，但僅僅這一個公式還很難滿足我們的需要，比如遇到兩角差的正弦、正切，兩角和的正弦、余弦、正切的時(shí)候，該公式無法直接運(yùn)用，今天我們就利用兩角差的余弦公式的“變臉”，對公式進(jìn)一步拓展.導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練一、兩角和的余弦公式和兩角和與差的正弦公式二、給值求值三、給值求角內(nèi)容索引一、兩角和的余弦公式和兩角和與差的正弦公式問題1請同學(xué)們寫出兩角差的余弦公式.提示cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.問題2試比較cos(α－β)和cos(α＋β)，觀察兩者之間的聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？提示我們注意到α－β與α＋β有聯(lián)系，α＋β＝α－(－β)，于是我們可以根據(jù)已知的兩角差的余弦公式進(jìn)行展開.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，于是我們得到了兩角和的余弦公式.②公式五或六實(shí)現(xiàn)了正弦、余弦的相互轉(zhuǎn)化，你能想到如何表示兩角和與差的正弦嗎？知識梳理1.兩角和的余弦公式cos(α＋β)＝

，其中α，β∈R，簡記作C(α＋β).2.兩角和與差的正弦公式sin(α＋β)＝

，其中α，β∈R，簡記作S(α＋β)；sin(α－β)＝

，其中α，β∈R，簡記作S(α－β).注意點(diǎn)：(1)注意公式的展開形式，兩角和與差的余弦展開可簡記為“余余正正，符號相反”，兩角和與差的正弦展開可簡記為“正余余正，符號相同”；(2)公式的逆用，一定要注意名稱的順序和角的順序.cos

αcos

β－sin

αsin

βsin

αcos

β＋cos

αsin

βsin

αcos

β－cos

αsin

β√√解析方法一原式＝sin20°sin40°－cos20°cos40°＝－(cos20°cos40°－sin20°sin40°)＝－cos60°＝方法二原式＝cos70°sin40°－cos20°cos40°＝sin40°cos70°－sin70°cos40°＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝反思感悟

探究解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形.(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時(shí)要逆用或變形使用公式.二、給值求值所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ延伸探究1.若本例條件不變，求sin(α－β)的值.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ2.若本例條件不變，求cos(α＋β)的值.解由以上可知cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ反思感悟

給值求值的解題策略(1)在解決此類題目時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧，同時(shí)分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角，具體做法是：①當(dāng)條件中有兩角時(shí)，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差；②當(dāng)條件中只有一個已知角時(shí)，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.(2)此類問題中，角的范圍不容忽視，解題時(shí)往往需要根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍.所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)三、給值求角∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ又因?yàn)棣?，β均為銳角，反思感悟解決給值(式)求角問題的方法解決此類題目的關(guān)鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值，而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所求角的范圍來確定，當(dāng)所求角范圍是(0，π)或(π，2π)時(shí)，解因?yàn)棣梁挺戮鶠殁g角，由α和β均為鈍角，得π<α＋β<2π所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，1.知識清單：(1)公式的推導(dǎo).(2)給式求值、給值求值、給值求角.(3)公式的正用、逆用、變形用.2.方法歸納：構(gòu)造法.3.常見誤區(qū)：求值或求角時(shí)忽視角的范圍.課堂小結(jié)隨堂演練1.sin105°的值為√12341234√2.sin20°cos10°－cos160°sin10°等于解析sin20°cos10°－cos160°sin10°√12341234課時(shí)對點(diǎn)練1.化簡sin21°cos81°－cos21°sin81°等于基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√12345678910111213141516A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)√∴f(x)為奇函數(shù).√12345678910111213141516123456789101112131415√16√12345678910111213141516兩式相加可得2cosαcosβ＝0，即cosαcosβ＝0.√√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝

.解析∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1，

①cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0，

②①②兩式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，12345678910111213141516－1＝2sin(15°－45°)＝2sin(－30°)＝－1.12345678910111213141516解∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα1234567891011121314151612345678910111213141516求：(1)cos(2α－β)的值；所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)1234567891011121314151612345678910111213141516(2)β的值.解cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)綜合運(yùn)用√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151613.在△ABC中，sinA·sinB<cosA·cosB，則這個三角形的形狀為A.銳角三角形

B.鈍角三角形C.直角三角形

D.等腰三角形√12345678910111213141516解析∵在△ABC中，sinA·sinB<cosA·cosB，∴cos(A＋B)>0，∴cosC<0，則C為鈍角，故△ABC是鈍角三角形.12345678910111213141516[－1,3]∴－2≤m－1≤2，即－1≤m≤3.拓廣探究1234567891011121314151615.“在△ABC中，cosAcosB＝

＋sinAsinB”，已知橫線處是一個實(shí)數(shù).甲同學(xué)在橫線處填上一個實(shí)數(shù)a，這時(shí)C是直角；乙同學(xué)在橫線處填上一個實(shí)數(shù)b，這時(shí)C是銳角；丙同學(xué)在橫線處填上一個實(shí)數(shù)c，這時(shí)C是鈍角，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是

.b<a<c解析由題意，得橫線處的實(shí)數(shù)等于cos(A＋B)，即cos(π－C)，12345678910111213141516當(dāng)C是銳角時(shí)，－1<b＝cos(A＋B)<0；當(dāng)C是鈍角時(shí)，0<c＝cos(A＋B)<1，故b<a<c.12345678910111213141516(1)求sin