25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案磨尖課07焦點(diǎn)三角形面積公式與內(nèi)切圓性質(zhì)

8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，AD=2．(Ⅰ)求證：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)證明：取AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為F，由側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，則FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD?FO，則CD⊥AE，又E是PD中點(diǎn)，則AE⊥PD，由線面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；5也可聯(lián)系磨尖課07焦點(diǎn)三角形面積公式與內(nèi)切圓性質(zhì)一、焦點(diǎn)三角形面積公式【結(jié)論1】橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式：如圖1，橢圓x2a2+y2b2=1a>b圖1特別地，當(dāng)∠F1P【結(jié)論2】雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式：如圖2，雙曲線x2a2?y2b2=1a>0圖2特別地，當(dāng)∠F1P二、焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓1.橢圓焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)如圖3，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，F(xiàn)1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上不與左、右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，△圖3【性質(zhì)1】PD=【性質(zhì)2】xI=ex02.雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)如圖4，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2?y2b2=1a>0,b>0，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P圖4【性質(zhì)1】△PF1F2的內(nèi)切圓與x【性質(zhì)2】F1C=磨尖點(diǎn)一焦點(diǎn)三角形面積問題典例1（1）[2024·眉山開學(xué)考試]已知橢圓C：x212+y26=1的兩焦點(diǎn)分別為F1A.6 B.23 C.43 [解析]由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式,得S△F1（2）已知雙曲線x29?y27=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,FA.733 B.1433 C.[解析]由雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式有S△F1在求圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的定義、余弦定理、基本不等式等知識(shí)解題.1.[2024·江蘇期中]（多選題）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2m+y24=A.2 B.3 C.92 [解析]①若F1,F2分別是橢圓C：x2m+y2②若F1,F2分別是橢圓C：x2m+綜上，m的取值范圍為1,3∪(194,+∞)，由選項(xiàng)可知，A2.已知雙曲線C：x2k?y25=1k>0的左、右焦點(diǎn)分別為F[解析]由x2k?y25=磨尖點(diǎn)二焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓問題典例2（1）如圖，已知橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F[解析]由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a=5,b=4,c=3，離心率e=35.不妨設(shè)Px0,y0在第一象限，點(diǎn)I的坐標(biāo)為xI,yI，由橢圓焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓性質(zhì)得，（2）已知P22,5在雙曲線x24?y2b2=1上，其左、右焦點(diǎn)分別為F[解析]由P22,5在雙曲線所以F1?3由雙曲線的焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓性質(zhì)得xM=2所以MP?在圓錐曲線中，焦點(diǎn)三角形是考查橢圓與雙曲線第一定義的良好載體.焦點(diǎn)三角形結(jié)合圓，這樣的試題難度一定不會(huì)小，而且常涉及中位線、角平分線、中垂線、相似等平面幾何的知識(shí).1.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,[解析]不妨設(shè)Px0,y0在第一象限，點(diǎn)I的坐標(biāo)為xI,yI，點(diǎn)G的坐標(biāo)為xG,yG，則由橢圓焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得，x2.已知P是雙曲線x2a2?y2b2=1右支上