福建省龍巖市2025屆高三數(shù)學(xué)六月份教學(xué)質(zhì)量檢查試題理含解析

PAGE26-福建省龍巖市2025屆高三數(shù)學(xué)六月份教學(xué)質(zhì)量檢查試題理（含解析）本試題卷共5頁，23題(含選考題).全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡.上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.選考題的作答：先把所選題目的題號(hào)在答題卡指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡.上的非答題區(qū)域均無效.5.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則即可化簡(jiǎn)出正確結(jié)果.【詳解】解：.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成1進(jìn)行計(jì)算.2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解肯定值不等式可得，從而可求出.【詳解】解：由知，，解得，則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)集的求解.本題的關(guān)鍵是對(duì)肯定值不等式的求解.3.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）A.4 B.3 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】設(shè)公差為，由即可求出，從而可求出.【詳解】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，則，因?yàn)?，解?所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和.本題的關(guān)鍵是由已知條件求出數(shù)列的公差.4.愛護(hù)生態(tài)環(huán)境是每個(gè)公民應(yīng)盡職責(zé)！某校隨機(jī)抽取名同學(xué)進(jìn)行“垃圾分類”的問卷測(cè)試，測(cè)試結(jié)果發(fā)覺這名同學(xué)的得分都在內(nèi)，按得分分成組：、、、、，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)這名同學(xué)的得分的眾數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點(diǎn)值為眾數(shù)可得出這名同學(xué)的得分的眾數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可知，這名同學(xué)的得分的眾數(shù)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率直方圖估計(jì)眾數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入k，n的值均是0，則輸出T的值為（）A.9B.16C.25D.36【答案】B【解析】【分析】依據(jù)程序框圖列出算法循環(huán)的每一步，再結(jié)合推斷條件輸出結(jié)果即可.【詳解】，，，，接著循環(huán)，，，，，接著循環(huán)，，，，，接著循環(huán)，，，，，接著循環(huán)，，，，，停止循環(huán)，輸出.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，正確推斷退出循環(huán)條件為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)潔題.6.用數(shù)字1，2，3組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，那么全部的三位數(shù)中是奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出用數(shù)字，，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的全部狀況，再求出三位數(shù)是奇數(shù)的狀況，利用古典概型公式計(jì)算概率即可.【詳解】用數(shù)字，，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有種，用數(shù)字，，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)奇數(shù)，首先排個(gè)位共有種，再排十位和百位共有種，所以用數(shù)字，，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)奇數(shù)共有種.故三位數(shù)中是奇數(shù)概率.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，同時(shí)考查了排列問題，屬于簡(jiǎn)潔題.7.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，平面上一點(diǎn)P滿意PA=1，PC=，則（）A.-3 B.3 C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】利用向量的加減法將轉(zhuǎn)化為，再計(jì)算數(shù)量積即可.【詳解】如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則為與的中點(diǎn)...因?yàn)?，所?，，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和數(shù)形結(jié)合實(shí)力，屬于中檔題.8.已知函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)函數(shù)在上有極值，轉(zhuǎn)化為有正有負(fù)，再依據(jù)的最值即可得到答案.【詳解】，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上有極值，所以有正有負(fù).令，由可得，即.得到.所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查依據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的范圍，同時(shí)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于中檔題.9.在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐的外接球的半徑（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求得，然后利用正弦定理求得的外接圓半徑，利用公式可求得結(jié)果.【詳解】在中，由余弦定理得，由正弦定理可知的外接圓半徑為，因此，三棱錐的外接球的半徑.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球半徑的求解，解題時(shí)要充分分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.10.設(shè)A，B為雙曲線Γ：的左，右頂點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線Γ右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓與雙曲線Γ的一條漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為M，連接AM，BM，則tan∠AMB=（）A.4 B. C.2. D.【答案】A【解析】分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，并推斷軸，這樣中，干脆求解.【詳解】，以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓的方程是，設(shè)點(diǎn)是圓與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，，解得：，即，軸，中，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓與雙曲線的方程，雙曲線的漸近線，三角函數(shù)的簡(jiǎn)潔綜合問題，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.11.已知數(shù)列滿意，又的前項(xiàng)和為Sn，若S6=52，則a5=（）A.13 B.15 C.17 D.31.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，從而求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的求和問題，屬于簡(jiǎn)潔題目.12.已知拋物線C1：和圓C2：(x-6)2+(y-1)2=1，過圓C2上一點(diǎn)P作圓的切線MN交拋物線C，于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，則切線MN的斜率k>1時(shí)的直線方程為（）A.4x-3y-22=0 B.4x-3y-16=0 C.2x-y-11+5=0 D.4x-3y-26=0【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)和直線MN的方程為：，其中，則，聯(lián)立并結(jié)合韋達(dá)定理可得，，利用直線MN與圓C2相切，則有，再依據(jù)直線C2P與直線MN垂直，則，消去n化簡(jiǎn)可得，降次整理可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性可證明在無解，故可得，代入可求n，從而可求直線MN的方程.【詳解】畫出曲線圖像如下圖：由題意知，切線MN的斜率k存在且不為0，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線MN的方程為：，其中，則，聯(lián)立，可得，則有，，，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，，又直線MN與圓C2相切，則有，即①，依題意，直線C2P與直線MN垂直，則，整理得②，將②代入①并整理得，，降次化簡(jiǎn)可得，③，令，則，因，所以，即在單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在無解，從而③式的解只有一個(gè)，，代入②式可得，，所以，直線MN的方程為：，整理得，4x-3y-26=0.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及求解四次方程的問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算難度大，屬較難的題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為_________________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得，將代入求出導(dǎo)數(shù)值，從而依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的點(diǎn)斜式方程得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．14.若實(shí)數(shù)x、y滿意約束條件，則z=2x-y的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】作出約束條件的可行域，利用數(shù)形結(jié)合思想即可確定目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出約束條件的可行域，如圖（陰影部分）：由，可得，作出直線，平移直線可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，由，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.一條河的兩岸平行，河的寬度d=4km，一艘船從岸邊A處動(dòng)身到河的正對(duì)岸，已知船的速度=10km/h，水流速度=2km/h，.那么行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是_____(h).(附：≈2.449，精確到0.01h)【答案】0.41【解析】【分析】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必需垂直于對(duì)岸，利用勾股定理求出合速度，從而可求出航行時(shí)間.【詳解】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度必需垂直于對(duì)岸，如圖指：，所以.故答案為：0.41【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的三角形法則以及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，滿意不等式在R上恒成立，在上恰好只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由函數(shù)在上恰好只有一個(gè)極值點(diǎn)，則區(qū)間長(zhǎng)度，即，即，解得，又函數(shù)滿意不等式在R上恒成立，則區(qū)間長(zhǎng)度，所以，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的周期應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟記三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a+c=，cosA=，simC=.（1）求sinB；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，再利用三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式即可求解.（2）利用正弦定理可得，從而可求出，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：（1）在中，由，知：.所以，（2）由正弦定理可知：，即，因此.由，由正弦定理得，所以的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四邊形ABCD中，∠ABC=，AB=4，BC=3，CD=，AD=2，PA=4.（1）證明：CD⊥平面PAD；（2）求二面角B-PC-D的余弦值..【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）連接，證出，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得，再利用線面垂直的判定定理即可證出.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為，為軸，過點(diǎn)與平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）連接，由∠ABC=，AB=4，BC=3，則，又因?yàn)镃D=，AD=2，所以，即，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因?yàn)椋訡D⊥平面PAD；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為，為軸，過點(diǎn)與平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：作交與點(diǎn)，，即，所以，，所以，所以，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，即，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，即，由，所以二面角B-PC-D的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、空間向量法求二面角，考查了學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.19.已知橢圓Γ：的左，右焦點(diǎn)分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，已知橢圓Γ上一異于A，B的點(diǎn)P，PA，PB的斜率分別為k1，k2，滿意.（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過橢圓Γ左頂點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線AM和AN，分別交橢圓Γ于M，N兩點(diǎn)，問x軸上是否存在肯定點(diǎn)Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，則求出該定點(diǎn)Q，否則說明理由.【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)，依據(jù)題意可得，結(jié)合橢圓的方程化簡(jiǎn)可得，再由即可求解.（2）依據(jù)設(shè)直線和的方程分別為和，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立求出、，設(shè)軸上存在肯定點(diǎn)，使得成立，則，利用兩點(diǎn)求斜率化簡(jiǎn)即可求得.【詳解】解：（1）設(shè)，，，則.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知左頂點(diǎn)，且過點(diǎn)的直線和的斜率存在，設(shè)直線和的方程分別為和，設(shè)，聯(lián)立，直線和橢圓交于兩點(diǎn)，，，同理.設(shè)軸上存在肯定點(diǎn)，使得成立，則，，則，，即，解得.因此軸上存在肯定點(diǎn)，使得成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中的定點(diǎn)問題，此題要求有較高的計(jì)算實(shí)力，屬于難題.20.由甲乙兩位同學(xué)組成一個(gè)小組參與年級(jí)組織的籃球投籃競(jìng)賽，共進(jìn)行兩輪投籃，每輪甲乙各自獨(dú)立投籃一次，并且相互不受影響，每次投中得2分，沒投中得0分.已知甲同學(xué)每次投中的概率為，乙同學(xué)每次投中的概率為（1）求第一輪投籃時(shí)，甲乙兩位同學(xué)中至少有一人投中的概率；（2）甲乙兩位同學(xué)在兩輪投籃中，記總得分為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）（2）詳見解析【解析】【分析】（1）利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式求出都沒有投中的概率，從而可求出至少有一人投中的概率.（2）依據(jù)題意可得隨機(jī)變量ξ，首先利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率乘法公式求出甲乙各得分的概率，從而可得總得分為隨機(jī)變量ξ分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）第一輪投籃時(shí)，甲乙兩位同學(xué)中都沒有投中的概率為甲乙兩位同學(xué)中至少有一人投中的概率為.（2）對(duì)甲：，，對(duì)乙：，，，Y=0Y=2Y=4P(X=j)X=0X=2X=4P(Y=i)記：則有，，，，，所以，【點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.21.（1）已知實(shí)數(shù)a>0，若關(guān)于x的不等式在0≤x≤上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求證：【答案】（1）（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）設(shè)，對(duì)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求出，分類探討或，推斷出在0≤x≤上的單調(diào)性，驗(yàn)證是否恒成馬上可求解.（2）設(shè)，對(duì)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出在上為增函數(shù)，從而可得，即證.【詳解】證明：（1）設(shè)，對(duì)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得：，，而①在時(shí)，有，則在為增函數(shù)，而，，因此在為增函數(shù)，有，從而，所以符合要求.②在時(shí)，由可知：，令，，而在恒成立，因此在為減函數(shù)，則，于是有在恒成立，從而沖突，因此不符合.綜合探討可知：.（2）設(shè)，對(duì)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得：由（1）可知：，在上為增函數(shù)，則.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸、分類探討的