高中數(shù)學(xué)解析幾何

PAGEPAGE1319．（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．（Ⅰ）由題意，得，解得，∴，∴所求雙曲線的方程為.（Ⅱ）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得，∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，∴，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，∵，且，.∴的大小為.【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得①②∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，∴，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，∴，∴的大小為.（∵且，∴，從而當(dāng)時(shí)，方程①和方程②的判別式均大于零）.（20）（本題15分）已知曲線C是到點(diǎn)P（）和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡。是過點(diǎn)Q（-1，0）的直線，M是C上（不在上）的動(dòng)點(diǎn)；A、B在上，軸（如圖）。（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）求出直線的方程，使得為常數(shù)。本題主要考查求曲線的軌跡方程、兩條直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分15分．（Ⅰ）解：設(shè)為上的點(diǎn)，則，到直線的距離為．由題設(shè)得．化簡(jiǎn)，得曲線的方程為．（Ⅱ）解法一：ABOQyxABOQyxlM，從而．在中，因?yàn)?，．所?，．當(dāng)時(shí)，，從而所求直線方程為．解法二：設(shè)，直線，則，從而．過垂直于的直線．ABOQyxABOQyxlMHl1．當(dāng)時(shí)，，從而所求直線方程為．（22）．（本小題滿分13分）設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解(1)由題意：，解得，所求橢圓方程為(2)方法一設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是，，從而，（1），（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點(diǎn)總在定直線上方法二設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且又四點(diǎn)共線，可設(shè),于是（1）（2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得（3）(4)(4)－(3)得即點(diǎn)總在定直線上19設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．證明一：因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(，0)，所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線的方程可設(shè)為；……4分代入拋物線方程得y2－2pmy－p2=0，若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2=－p2．……8分因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)c在準(zhǔn)線x=－上，所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為（－，y2），故直線CO的斜率為．即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．……12分證明二：如圖，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過A作AD⊥l，D是垂足．則AD∥FE∥BC．……2分連結(jié)AC，與EF相交于點(diǎn)N，則，……6分根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，，，……8分∴，即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．……12分（20）（本小題滿分12分）已知，橢圓C過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0）。求橢圓C的方程E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。解：（Ⅰ）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為?！?分（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：，代入得設(shè),,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以………8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以—K代K，可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。……12分19．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點(diǎn)。（Ⅰ）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是＝＝.（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則＝.=＝=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得＝又由點(diǎn)到直線的距離公式得.從而，（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。19．（本小題滿分12分）如圖，曲線G的方程為y2=2x（y≥0）。以原點(diǎn)為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B。直線AB與x軸相交于點(diǎn)C。（Ⅰ）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式；（Ⅱ）設(shè)曲線G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a＋2，求證：直線CD的斜率為定值。本小題綜合考查平面解析幾何知識(shí)，主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力與思維能力，綜合分析問題的能力.本小題滿分12分.解：（Ⅰ）由題意知，A（）因?yàn)橛捎谟牲c(diǎn)B（0，t）C（c,0）的坐標(biāo)知，直線BC的方程為又因點(diǎn)A在直線BC上，故有將（1）代入上式，得解得（Ⅱ）因?yàn)樗灾本€CD的斜率為定值.（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以,,①當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.當(dāng)時(shí),.當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上,|AB|的取值范圍為即:18．（本小題滿分14分）設(shè)a≥0，f（x）=x－1－ln2x＋2alnx（x（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0，＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x－2alnx本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算