用數(shù)形結(jié)合法構(gòu)建高中數(shù)學知識體系

摘要數(shù)和形是數(shù)學中的兩大基本概念，數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形

式和數(shù)量關(guān)系的科學，數(shù)與形是數(shù)學的兩大基石。數(shù)學大體上是由這兩個基本概

念提煉，演變，發(fā)展，而展開的?！皵?shù)形結(jié)合”作為一種數(shù)學中特有的和基本的

方法，值得深入探討。數(shù)學中的函數(shù)是反映客觀世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種

重要模型，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)函數(shù)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，是數(shù)量關(guān)系

的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙，和諧的結(jié)合在一起。它的學習一直是中

小學階段數(shù)學學習的一個重要內(nèi)容和思想，同時在高等數(shù)學教學中它也有很大益

處。

高中數(shù)學知識體系結(jié)構(gòu)圖

第一章：集合與簡易邏輯

集合的有關(guān)凝念］裹邏輯聯(lián)結(jié)詞

a簡

集與

易

集合的關(guān)系簡四種命題

4覆邏

情輯

集合的運算充要條件

第二章：函數(shù)

第三章：數(shù)列

判定

函數(shù)*

通項公式>等差數(shù)列>性質(zhì)

遞推公式等比數(shù)列*通項公式

倒序相加法前n項和公M

裂項法

第四章：三角函數(shù)

L正弦型跚什

定義域角的推r?同角基本關(guān)系式

誘導公式一/

值域*—正弦的故卜一孤度制

同

、

求

正切跚|

單調(diào)性三角函射和角公式值

、

菌

奇偶性差角公式

周期性然玄型函數(shù)反三角困野信角公式

第五章：平面向量

第六章：不等式

比較法均值不等式絕對值不等式指數(shù)不等式

不

分析法等高次不等式

高一二次不等式

費-

綜合法

放給法k-對贊不等式

第七章：直線與圓的方程

圖的一般方程假斜角T斜率兩點式|

直

線

囊

與點斜式

的?野

圖的標準方程￡

方程

方散距式

程程

圖的參數(shù)方程交點

直線與圓位貫關(guān)系平行］—|夬角到角—>垂A

［平行距離

相禽1相切相交點線距禽

第八章：圓錐曲線

良

線

ir

na

wi

sl

曲

線

*拋物段標準方程H幾何性質(zhì)

第九章：直線、平面、幾何體

線線平行線面平行［面面平行

線面角

距

-角

高

問線線角

題

題

垂直問題

面面角

線線垂直卜——“線面垂直卜——1面面垂直

第十-一十二章：排列、組合、二項式定理、概率統(tǒng)計

隨機事件

T隨機事件|~4

等可能事件

互斥事件卜（互斥事件

A

對立事件

相互獨立事件

-|相互獨立

獨立重復試瞼

第十三章：極限

1、①證”=1命題成立；②假設〃=￡命題成立，證明〃=4+1時命題同樣成立。

2.①證恒等式，②證不等式，③證整除性,④證幾何問題；⑤其它同題。

3,數(shù)列極雌論：①limC=O(c是常數(shù))②lim2=。<?>0)③limq"=0(|g|<1)

Z87”

0n<m

每：平―…+

q生

4、困數(shù)極限結(jié)論：.n=m>

b^x+b、x+,,,+b.瓦

00n>m

5、閉區(qū)間連續(xù)幽最大值最小值定理。

第十四章：導數(shù)

第十五章：復數(shù)

復數(shù)的定義a+bi復數(shù)的加法

復

復數(shù)的相等實虛等復復數(shù)的減法

備

變

共規(guī)復數(shù)a±bi數(shù)復數(shù)的乘法

復數(shù)幾何意義復數(shù)模復數(shù)的除法

?1-1—

刖a

“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學?！保ǘ鞲袼拐Z?）數(shù)形結(jié)

合就是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過數(shù)與形之間的對應和轉(zhuǎn)化

來解決數(shù)學問題，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面。利用它可使復

雜問題簡單化、抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀之長，是優(yōu)化解題

過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學方法。

“數(shù)形結(jié)合百般好。隔裂分家萬世體”。這說明數(shù)學是數(shù)與形的統(tǒng)一，數(shù)學

中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合

是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學在實踐中的應用更加廣泛

和深入。一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關(guān)系形象

化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲

得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題

目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學問

題開辟了一條重要的途徑田。

“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)

合簡言之就是：見到數(shù)量就應想到它的幾何意義，見到圖形就應想到它的數(shù)量關(guān)

系⑵。在數(shù)學教學中，數(shù)形結(jié)合對啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都

有著重要的作用。數(shù)形結(jié)合滲透在數(shù)學的每個部分，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的觀點，可以

通過對數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形的性質(zhì)，也可利用圖形的性質(zhì)來反映變量之間

的相互關(guān)系，因此，數(shù)形結(jié)合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種重要的

數(shù)學思想，它是將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋工而課堂中多媒體的應用更有利于體

現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，有利于突破教學難點，有利于動態(tài)地顯示給定的幾

何關(guān)系，為學生創(chuàng)設愉快的課堂教學氣氛，激發(fā)學生的學習興趣，使學生喜歡數(shù)

學，愛學數(shù)學。

1數(shù)形結(jié)合思想方法概述

1.1什么是數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學中一種重要的思想方法。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的

數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。數(shù)和形是數(shù)學知識體系中兩大基礎概念，把描述數(shù)

量關(guān)系的數(shù)和具體直觀的圖形有機結(jié)合，將抽象思維與形象思維有機結(jié)合，根據(jù)

需要，把數(shù)量關(guān)系的比較轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)或其位置關(guān)系的討論，或把圖形間的待

定關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)元素的數(shù)量計算，進而探求問題的解答就是數(shù)形結(jié)合的思想方

法。數(shù)形結(jié)合的思想方法能揚數(shù)之長、取形之優(yōu)，使得“數(shù)量關(guān)系”與“空間形

式”珠聯(lián)璧合，相映生輝。為研究和探求數(shù)學問題開辟了一條重要的途徑。華羅

庚教授曾精辟概述：“數(shù)與形，本是相依附，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，

形無數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，

永遠聯(lián)系，切莫分離⑶」

1.2聯(lián)想為媒—一催化數(shù)形之結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學教學中一種非常重要的數(shù)學思想，在解題中運用之常

常可以優(yōu)化解題思路，簡化解題過程。但問題在解題過程中如何進行數(shù)形結(jié)合呢？

即怎樣催化數(shù)與形的結(jié)合呢？最好的方法就是運用數(shù)形結(jié)合的催化劑一一聯(lián)想

叫運用聯(lián)想不但可以催化數(shù)與形的結(jié)合，而且可以培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新

能力。本小節(jié)將就如何以聯(lián)想為媒，介紹一些常用的聯(lián)想策略。

(1)聯(lián)想圖形的交點

例(04湖南高考)設函數(shù)/(x)=[f+”"+c”<0,若

2x>0

/(T)=/(O)J(—2)=-2則關(guān)于x的方程/(x)=x的解的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

分析：判定方程有幾個實根，直接求解難且繁！如能聯(lián)想圖形的交點進行數(shù)形結(jié)

合，以數(shù)助形來解決，則簡潔明了。

/(-4)=/(O),y=x2+hx+c的對稱軸為x=-2

即J=_2nb=4又/(—2)=(-2尸_20+c=_2nc=2

從而作出y=/(x)及y=%的圖象，可知方程有3個解。

(2)聯(lián)想絕對值的幾何意義

例1-2(03高考)已知c〉()，設P：函數(shù)y=c?在R上單調(diào)遞減，Q：不等式

同+卜+2d>1的解集為H,如果P與。有且僅有一個正確，試求。的范圍⑸。

分析：由N+|x+2d的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想絕對值的幾何意義，進行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形

可巧妙地確定c,的范圍。避免繁瑣的運算。

Q：不等式|乂+卜+2d>1的幾何意義為：在數(shù)軸上求一點P(x),使P到

A(0),B(2c')的距離之和的最小值大于1,而P到A3二點的最短距離為

|A0=2c>l,即C>；

而尸：函數(shù)y="在R上單調(diào)遞減，即c<l

由題意可得：0<c<-sKc>1

2

(3)聯(lián)想一次函數(shù)

例1-3已知<1,忖<l/d<1,求證：(l)abc+2>a+b+c,(2)ab+bc+ca>—1

分析：①本題如直接證明較難，聯(lián)想一次函數(shù)進行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形。把?？?/p>

成變元，"C看成常數(shù)，構(gòu)造一次函數(shù)/(x)=(Z?c—l)x-。-c+2

而/(—1)--(he-l')—b—c+2-4—(b+l)(c+1)

???網(wǎng)<l,|d<l，0<"l<2,()<c+l<2=0<S+l)(c+l)<4=/(—l)>0

又/(I)=bc—\—b—c+2-(h-1')(c-l)>0

f(x)在上恒大于0

又時<1,二f(a)>0即-l)a—6一c+2>0

ahc+2>a+h+c

②令g(x)=(8+c)x+Z?c+l同理可得g(-D>0,g6>0

從而g(x)在上恒大于0,/時<1,g(a)>0即(Z?+c)a+Ac+1>0

BPab+bc+ca>-1

(4)聯(lián)想二次函數(shù)、

例1-4已知關(guān)于x的方程一一4同+5=加有四個不相等的實根，則實\j

數(shù)機的取值范圍為———尹

分析：直接求解，繁難！。由方程聯(lián)想二次函數(shù)進行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)

助形，則簡潔明了。

設％=/一4|可+5,、=加。又M為偶函數(shù)，由圖1.1可知1<加<5圖1.1

例1-4圖示

(5)聯(lián)想斜率公式

例1-5實系數(shù)方程/+6+28=0的一根在0和1之間，另一根在1和2之間,

求yh-7的取值范圍。

a-l

分析:這個問題表面上看是方程、不等式問題，但直接求解麻煩!數(shù)形結(jié)合由N

(7-1

的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想二次函數(shù)性質(zhì)及yb-2的幾何意義來求解，以形助數(shù)，則簡潔

明了。(如圖1.2)

7(o)>0

令f(x)=x2+ax+2b,則由已知有/(1)<0得到

/(2)>01

<1+。+2。<0WK-X

Ki。

這個二元一次不等式組的解為MBC內(nèi)的點(a,b)的集合]

h-7

由一-的幾何意義為過點(w。)和點0(12)的直線的斜率圖1.2

a-l

例1-5圖不

由此可以看出：：1=kAD<hT-2<kBD=l即Jb-2的取值范圍是(14，1)o

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用

在現(xiàn)實世界中，形與數(shù)是不可分離地結(jié)合在一起的。這是直觀與抽象的結(jié)

合.感知與思維相結(jié)合的體現(xiàn)。形和數(shù)這兩個基本概念，是數(shù)學的兩塊基石，高

中數(shù)學教學大體上都圍繞著這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的，在數(shù)學教

學發(fā)展的過程中，形和數(shù)常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，

在一定條件下.互相轉(zhuǎn)化。形與數(shù)相結(jié)合不僅是數(shù)學自身發(fā)展的需要.也是加深

對數(shù)學知識理解、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力的需要。數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的一個

有力工具，也是高中數(shù)學中極為重要的基本方法之一，通過數(shù)形結(jié)合可將抽象的

數(shù)學語言與直觀圖形相結(jié)合，使抽象思維與形象思維相結(jié)合，縮短了思維鏈，簡

化了思維過程。

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的地位

現(xiàn)代數(shù)學教學的主要目的和任務早已不再是簡單的知識和方法傳授，而是通

過數(shù)學教學在傳授知識與方法的同時培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì)。而數(shù)學思想方法又是

數(shù)學素質(zhì)的精髓與靈魂，是數(shù)學學習的核心。因此，掌握數(shù)學最重要的思想方法

——“數(shù)形結(jié)合”思想方法是學好數(shù)學的必要條件。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想方法是學好數(shù)學的一把鑰匙。它可將一些看似復雜

的問題變得非常簡單，也常使一些難于下手的問題迎刃而解。利用圖形的直觀性

解題，巧妙地簡化了大量繁雜的計算和邏輯推理過程，構(gòu)思新穎，解題簡潔。其

方法的豐富內(nèi)涵對培養(yǎng)與發(fā)展學生的思維能力、解題能力極為有用，也有助于增

強學生的數(shù)學素養(yǎng)，因而這種方法在高中數(shù)學教學中應給予足夠重視。

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用舉例

2.3.2.1構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)與三角問題

(1)證明恒等式：

例2-4已知x、y、z、r均為正數(shù)，且x+y?=z，z?7x2—產(chǎn)=x2

求證：YZ—xy.

圖2.5例2-4圖示

222[222

分析：由X+y=z，自然聯(lián)想到勾股定理。由-r=x?可以

聯(lián)想到射影定理。從而可以作出符合題設條件的圖形(如圖14)。對照圖形，由

直角三角形面積的兩種算法，結(jié)論的正確性一目了然。

證明：(略)

小結(jié)：涉及到與平方有關(guān)的恒等式證明問題，可構(gòu)造出與之對應的直角三角形或

圓，然后利用圖形的幾何性質(zhì)去解決恒等式的證明問題。

(2)證明不等式：

例2-5已知：0<b<1.求證：

d+b"+《Q-a，+廳+Jq-+(1-?10+-^(1—6z)-4-(1—Z?)222^2.

證明：如圖2.6,作邊長為1的正方形ABCD,在AB上取點E,使AE=〃；在AD

上取點G,使AG=匕，過E、G分別作EF〃AD交CD于F；作GH〃AB交BC于H。

設EF與GH交于點0,連接AO、BO、CO,DO,AC、BD.

由題設及作圖知△AOG、XBOE、△CO/、ZxOOG均為直角三角形，因

此

OA=yla2+b2

OB=y](l-a)2+b2

OC=^[-a)2+(l-b)2

22

OD=yJa+(l-b)

且AC=BD=6

由于OA+OC>AC,OB+OD>BD.所以:圖2.6

例2-5圖示

da2+{(1-a)"++"Q-+(1-+J(]—Q)-+(]—》丫>2-^/2.

當且僅當。=。=5時，等號成立。

小結(jié)：在求證條件不等式時，可根據(jù)題設條件作出對應的圖形，然后運用圖形的

幾何性質(zhì)或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結(jié)論獲證。

（3）求參數(shù)的值或參數(shù)的取值范圍：

例2-6若方程以2-2%+1=0（a>0）的兩根滿足：*VI,IV%2V

3,求。的取值范圍【劃。

解析：畫出與方程對應的二次函數(shù)丁=ax,-2工+1（a>o）的草圖

2.7：

由圖2.7可知：當x=l時，y<0；當x=3時，y>0.

5

-

即ax]2-2xl+l<o；4x3?—2x3+1>0.解得:9<a<i.

小結(jié)：對于含參方程（不等式），可將其與對應的函數(shù)（圖像）聯(lián)系起來，運用

數(shù)形結(jié)合思想，去揭示問題中所蘊含的幾何背景，往往能為解題提供清晰的思路。

（4）求最值問題:

例2-7已知。、匕均為正數(shù)，且1+〃=2.求［a1+4+揚+1

的最小值口①。

解：如圖2.8,作線段AB=2,在AB上截取AE=。，EB=力，過A作AC

_LAB,且AC=2,過B作BD_LAB,且BD=1。由勾股定理：CE=J。？+4,

BD="2+1,原題即求CE+ED的最小值。

又如圖，延長CA至G,使AG=AC,連接GE,由三角形兩邊之和圖2.8

例2-7圖示

大于第三邊，則G、E、D三點共線時，GE+ED=DG最短。作出圖形，延長DB至F

使BF//AG且BF=AG,連接GF.則在Rt△DGF中，DF=1+2=3,GF=AB=2

DG=VDF2+GF2=A/32+22=V13

，CE+DE的最小值是JR。

即J”?+4+揚+1的最小值是V13.

小結(jié)：此題由式子特點聯(lián)想勾股定理，構(gòu)造圖形解決問題。

2.3.2.2用代數(shù)與三角方法解決幾何問題

例2-8如圖2.9,在4ABC中，AB>AC,CF、BE分別是AB、AC邊上的高。試證:

AB+CF>AC+BE

證法一：（三角法）因為。<sinA?l,

AB-AC>（AB-AC）-sinA

/.AB+ACsinA>AC+ABsinA

AB+CF>AC+BE（當/A=90時取等號）

證法二：（代數(shù)法）由AB>AC>CF,AB>BE圖2.9例2-8

圖示

及=-ABCF=-ACBE

SAABC22

AB有變形得:喏AC-CF

1SEAC

:.AB-BE>AC-CF

AJB+CF>AC+BE

當ZA=90°時，AB+CF=AC+BE.

綜上：AB+CF>AC+BE.

小結(jié)：以上兩種證明方法，分別采用了三角法與代數(shù)法，較之純幾何證法來，易

于想到。

2.4數(shù)形結(jié)合思想在高考中的妙用

“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學中的一種重要思想，在高中數(shù)學中占有極其重要的地

位。關(guān)于這一點，查查近年高考試卷，就可見一斑。在多年來的高考題中，數(shù)形

結(jié)合應用廣泛，大多是“以形助數(shù)”，比較常見的是在解方程和不等式、求函數(shù)

的最值問題、求復數(shù)和三角函數(shù)等問題中，巧妙運用''數(shù)形結(jié)合”思想解題，可

以化抽象為具體，效果事半功倍?？荚囍行膶荚嚧缶V的說明中強調(diào)：“在高考

中，充分利用選擇題和填空題的題型特點，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，

能突出考查考生將復雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識，而

在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，對數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方

法而不提倡使用幾何的方法，解答題中對數(shù)形結(jié)合思想的考查以由'形'至1J'數(shù)'

的轉(zhuǎn)化為主.”下面我就高考出現(xiàn)有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想方法的題進行分析：

例2-9(04湖南高考)設函數(shù)/(x)=~，若

2x>0

/(-4)=/(0),/(-2)=-2,則關(guān)于x的方程/(x)=x的解的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

分析：判定方程有幾個實根，直接求解難且繁！如能聯(lián)想圖形的交點進行數(shù)形結(jié)

合，以數(shù)助形來解決，則簡潔明了。

/(-4)=/(()),y=*2+8x+c的對稱軸為x=

即一/=_2nb=4又/(一2)=(—2)2-2/?+c=-2nc=2

從而做出y=/(x)及y=x的圖像，可知方程有3個解。

例2-10(05上海高考題)設定義域為R函數(shù)

/出=忡一”"I則關(guān)于》的方程

0x=l

/2(x)+V(x)+c=0有7個不同實數(shù)解的充要條件是()

A.h<0,c>06力>(),c<0C.Z?<O,c=ODJ)>O,c=O圖2.10

例2-10圖示

分析：同上題方法，聯(lián)想圖像的交點，由/(x)的圖像2.10可知要使方程有7個

解，應有/(x)=O有3個解，/(幻工0有4個解。/<0故選(C)

例2-11(03高考)已知c>0,設P：函數(shù)y=c、在A上單調(diào)遞減，。：不等式

W+k+2d>1的解集為R,如果P與。有且僅有一個正確，試求c的范圍【劃。

分析：由W+|x+2d的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想絕對值的幾何意義，進行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形

可巧妙地確定c,的范圍。避免繁瑣的運算。

Q：不等式N+k+2d>1的幾何意義為：在數(shù)軸上求一點P(X),使「到

40),5(2c)的距離之和的最小值大于1,而P到二點的最短距離為

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