備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(優(yōu)化探究新高考版基礎(chǔ)版)第一章 集合、常用邏輯用語與不等式_第1頁
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文檔簡介

第一節(jié)集合[學(xué)習(xí)要求]1.通過實(shí)例了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集.3.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義,能用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.[知識(shí)梳理]知識(shí)點(diǎn)集合1.集合的含義與表示元素與集合的含義一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)集合中元素的特征確定性、互異性、無序性集合的表示方法列舉法、描述法和圖示法特定集合的記法正整數(shù)集N*或N+,自然數(shù)集N,整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實(shí)數(shù)集R元素與集合之間的關(guān)系“屬于”或“不屬于”,記為“∈”或“?”2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號(hào)語言記法Venn圖子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集x∈A?x∈BA?B或B?A真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中A?B,且?x∈B,x?AA?B或B?A續(xù)表關(guān)系自然語言符號(hào)語言記法Venn圖集合相等集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等A?B,且B?AA=B3.集合的基本運(yùn)算運(yùn)算交集并集補(bǔ)集Venn圖符號(hào)語言A∩B={x|x∈A,且x∈B}A∪B={x|x∈A,或x∈B}?UA={x|x∈U,且x?A}4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)(A∩B)?A,(A∩B)?B,A∩B=B∩A,A∩B=A?A?B,A∩?=?.(2)A?(A∪B),B?(A∪B),A∪B=B∪A,A∪B=B?A?B,A∪?=A.(3)?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A,A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?,?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).學(xué)生用書?第2頁[小題診斷]1.(多選)已知集合A={x|x≤23,x∈R},a=14,b=22,則(??)A.a∈A B.a?A C.b∈A D.b?A 答案:BC解析:由14>12=23,可得a?A;由22<23,可得b∈A.2.(2024·北京模擬)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|0<x<2},則?UA=(??)A.0B.-3,C.-D.-3,答案:D解析:全集U={x|-3<x<3},集合A={x|0<x<2},由補(bǔ)集定義可知:?UA={x|-3<x≤0或2≤x<3},即?UA=-3,03.已知集合A={0},B={-1,0,1}.若A?C?B,則符合條件的集合C的個(gè)數(shù)為(??)A.1 B.2 C.4 D.8答案:C解析:由題意知含有元素0且是集合B的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},即符合條件的集合C共有4個(gè).4.(2021·全國乙卷)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=(??)A.? B.SC.T D.Z答案:C解析:依題知T?S,則S∩T=T.考點(diǎn)一集合的含義與表示[例1](1)(2024·海南??谀M)已知集合A=xx∈Z,A.2 B.3 C.4 D.5(2)(多選)已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,則m的可能取值為(??)A.1 B.-1 C.3 D.2[答案](1)C(2)AC[解析](1)因?yàn)閤∈Z,且32-x∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,所以x的值分別為5,3,1,-1,故集合(2)因?yàn)?∈M,所以m+2=5或m2+4=5,解得m=3,或m=1,m=-1.當(dāng)m=3時(shí),M={1,5,13},符合題意;當(dāng)m=1時(shí),M={1,3,5},符合題意;當(dāng)m=-1時(shí),M={1,1,5},不滿足集合中元素的互異性,不成立,所以m=3或m=1.┃方法總結(jié)┃確定集合的注意點(diǎn)1.研究集合問題時(shí),首先要明確構(gòu)成集合的元素是數(shù)集、點(diǎn)集,還是其他集合;然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件,從而準(zhǔn)確把握集合的含義.2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí),要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.1.(2024·江蘇泰州模擬)已知集合A={0,1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},則B中所含元素的個(gè)數(shù)為(??)A.5 B.6 C.10 D.15答案:D解析:因?yàn)閤∈A,y∈A,x-y∈A,所以分以下5種情況:①x-y=1,有四個(gè),(1,0),(2,1),(3,2),(4,3);②x-y=2,有三個(gè),(2,0),(3,1),(4,2);③x-y=3,有兩個(gè),(4,1),(3,0);④x-y=4,有一個(gè),(4,0);⑤x-y=0,有五個(gè),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).綜上,B中所含元素的個(gè)數(shù)為15.2.(2024·山東濟(jì)南模擬)已知集合A=x,x2+1,?1答案:1解析:因?yàn)閤2+1-x=x-122+34>0,所以x2+1>x,所以x2+1=2,解得x=1顯然x=-1不滿足集合元素的互異性,故舍去,經(jīng)檢驗(yàn)x=1符合題意.考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系[例2](1)已知集合A={0,1,a2},B={1,0,3a-2},若A=B,則a等于(??)A.1或2 B.-1或-2C.2 D.1(2)(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}.若A?B,則a=(??)A.2 B.1 C.23 D.-(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為????.[答案](1)C(2)B(3)(-∞,3][解析](1)∵A=B,∴3a-2=a2,解得a=1或a=2.當(dāng)a=1時(shí),集合A={0,1,1},不滿足集合中元素的互異性,故舍去;當(dāng)a=2時(shí),集合A={0,1,4},集合B={1,0,4},符合題意,所以a=2.(2)若a-2=0,則a=2,此時(shí)A={0,-2},B={1,0,2},不滿足A?B;若2a-2=0,則a=1,此時(shí)A={0,-1},B={1,-1,0},滿足A?B,所以a=1.(3)因?yàn)锽?A,所以分以下兩種情況:①若B=?,則2m-1<m+1,此時(shí)m<2;②若B≠?,則2m-1≥m+1由①②可得,符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,3].┃方法總結(jié)┃1.子集個(gè)數(shù)的求解方法窮舉法將集合的子集一一列舉出來,從而得到子|集的個(gè)數(shù),適用于集合中元素個(gè)數(shù)較少的情況公式法含有n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)是2n,真子集的個(gè)數(shù)是2n一1,非空真子集的個(gè)數(shù)是22.已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí),關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的條件,解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖或圖象幫助分析,同時(shí)還要注意空集分類討論等情況.學(xué)生用書?第3頁3.已知集合A={1,2,3,5,10},B={x|x為質(zhì)數(shù)},則A∩B的非空子集的個(gè)數(shù)為(??)A.4 B.7 C.8 D.16答案:B解析:法一:因?yàn)锳={1,2,3,5,10},B={x|x為質(zhì)數(shù)},所以A∩B={2,3,5},A∩B的非空子集為{2},{3},{5},{2,3},{2,5},{3,5},{2,3,5},共7個(gè).法二:因?yàn)锳={1,2,3,5,10},B={x|x為質(zhì)數(shù)},所以A∩B={2,3,5},共有3個(gè)元素.故非空子集的個(gè)數(shù)為23-1=7.4.已知集合A=xx=2k+1A.A?B B.A∩B=?C.A=B D.A?B答案:A解析:當(dāng)k=3n時(shí),x=6n+13,n當(dāng)k=3n+1時(shí),x=2(3n+1)+1當(dāng)k=3n+2時(shí),x=2(3n+2)+1所以B=xx因?yàn)锳=xx=6k+135.(2024·九省聯(lián)考測(cè)試)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m}.若A∩B=A,則m的最小值為????.答案:5解析:已知A∩B=A,則A?B.∵B={x||x-3|≤m},∴B={x|3-m≤x≤3+m},∴3∴m≥5,∴mmin=5.考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算?角度(一)集合的基本運(yùn)算[例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},則M∩N=(??)A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2} D.{2}(2)(2023·全國甲卷)設(shè)全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},則?U(M∪N)=(??)A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z}C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.?[答案](1)C(2)A[解析](1)由x2-x-6≥0,得x≥3或x≤-2,∴N={x|x≥3,或x≤-2},因此M∩N={-2}.(2)∵M(jìn)={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},∴M∪N={x|x=3k+1,或x=3k+2,k∈Z}.又U為整數(shù)集,∴?U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.?角度(二)利用集合運(yùn)算求參數(shù)或參數(shù)的范圍[例4](1)(2020·全國Ⅰ卷)設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=(??)A.-4 B.-2C.2 D.4(2)設(shè)A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.已知A∩B={9},則a=?????,A∪B=?????.[答案](1)B(2)-3{-7,-4,-8,4,9}[解析](1)A={x|-2≤x≤2},B=xx由A∩B={x|-2≤x≤1},知-a2=1,所以a=-(2)因?yàn)锳∩B={9},所以9∈A,所以a2=9或2a-1=9,解得a=±3或a=5.當(dāng)a=3時(shí),A={-4,5,9},B={-2,-2,9},B中元素不滿足集合元素的互異性,舍去.當(dāng)a=-3時(shí),A={-4,-7,9},B={-8,4,9},A∩B={9}滿足題意,故A∪B={-4,-7,-8,4,9}.當(dāng)a=5時(shí),A={-4,9,25},B={0,-4,9},此時(shí)A∩B={-4,9},與A∩B={9}矛盾,故舍去.綜上所述,a=-3,A∪B={-7,-4,-8,4,9}.┃方法總結(jié)┃利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法1.與不等式有關(guān)的集合,一般利用數(shù)軸解決,要注意端點(diǎn)值的取舍.2.若集合中的元素能一一列舉,則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系,再列方程(組)求解.注意:在求出參數(shù)后,注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足集合中元素的互異性6.(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},則A∩B=(??)A.{-1,2} B.{1,2}C.{1,4} D.{-1,4}答案:B解析:由|x-1|≤1得0≤x≤2,則B={x|0≤x≤2},∴A∩B={1,2}.7.(2024·河南焦作模擬)若集合A={x|2x2-9x>0},B={x|x≥2},則(?RA)∪B=(??)A.2,9C.[0,+∞) D.(0,+∞)答案:C解析:因?yàn)锳={x|2x2-9x>0}=xx所以?RA=x0≤x≤92.又B={x|x≥2},所以(?RA)∪B=8.(多選)已知集合A={x|x+1≤0},B={x|x≥a}.若A∪B=R,則實(shí)數(shù)a的值可以為(??)A.2 B.-1C.0 D.-2答案:BD解析:∵A={x|x≤-1},B={x|x≥a},且A∪B=R,∴a≤-1,∴實(shí)數(shù)a的值可以為-1,-2.考點(diǎn)四與集合有關(guān)的新定義問題[例5](1)(2024·云南保山模擬)定義集合運(yùn)算:A+B=zz=x+y,x∈A,y∈BA.14 B.15C.16 D.18(2)(多選)(2024·湖南邵陽模擬)若對(duì)任意x∈A,1x∈A,則稱AA.-1,1C.xx2>[答案](1)A(2)ABD[解析](1)由題設(shè)知A+B=2,∴所有元素之和為2+3+4+5=14.(2)根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義,可知-1,1,12,2,由xx2>1,得xx<-1或x>1,當(dāng)x=2學(xué)生用書?第4頁┃方法總結(jié)┃解“新定義”題的方法“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問題,有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是,透過現(xiàn)象看本質(zhì),它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí),所以說“新題”不一定是“難題”,掌握好基礎(chǔ),以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.對(duì)于新定義問題,可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法,并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.9.(2024·湖南長沙模擬)定義集合A÷B=zz=xy,x∈A,y∈B.已知集合A.3 B.4C.5 D.6答案:B解析:因?yàn)锳=4,8,B=所以A÷B=1,2,4,810.(2024·安徽蚌埠模擬)對(duì)于數(shù)集A,B,定義A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B,A÷B={xx=ab,A.102 C.212 D.答案:D解析:根據(jù)新定義,數(shù)集A,B,定義A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B,A÷B={xx=ab,a∈A,b∈B},集合A用Venn圖解決有關(guān)集合問題[例](1)(多選)圖中陰影部分所表示的集合是(??)A.M∩?UNB.N∩?UMC.M∩?UND.?UM(2)(2024·湖北黃岡模擬)已知全集為U,集合M,N滿足M?N?U,則下列運(yùn)算結(jié)果為U的是(??)A.M∪N B.?UNC.M∪?UN D.N[答案](1)AC(2)D[解析](1)如圖,對(duì)于A,?UN=①+④,則M∩?UN=④,故A正確;對(duì)于B,?UM=①+②,則N∩?UM=②,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,M∩N=③,?UM?N=①+②+④,故M∩?UN?M對(duì)于D,?UM∩?UN=①(2)全集U,集合M,N滿足M?N?U,繪制Venn圖,如圖所示.對(duì)于A:M∪N=N,A錯(cuò)誤;對(duì)于B:?UN∪?UM=?U對(duì)于C:M∪?UN?U,對(duì)于D:N∪?UM=U,D┃方法總結(jié)┃利用Venn圖可以迅速地解決多個(gè)集合之間的關(guān)系及運(yùn)算問題,需要引起重視.1.(2024·江西南昌模擬)已知全集U=R,集合A=1,2,3,集合A.2,3 C.4 D.0答案:D解析:根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義,圖中的陰影部分表示的集合為B∩?UA,即B∩?UA=0,2.調(diào)查了100名攜帶藥品出國的旅游者,其中75人帶有感冒藥,80人帶有胃藥,那么對(duì)于既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計(jì)中,下列說法正確的是(??)A.最多人數(shù)是55 B.最少人數(shù)是55C.最少人數(shù)是75 D.最多人數(shù)是80答案:B解析:設(shè)100名攜帶藥品出國的旅游者組成全集I,其中帶感冒藥的人組成集合A,帶胃藥的人組成集合B.又設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x,則x∈[0,20],以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.根據(jù)題意畫出Venn圖,如圖所示,由圖可知,x+75+80-y=100,∴y=55+x.∵0≤x≤20,∴55≤y≤75,故最少人數(shù)是55.學(xué)生用書?第269頁[A組基礎(chǔ)保分練]1.設(shè)集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},則實(shí)數(shù)m=(??)A.-1 B.1C.0 D.2答案:A解析:∵A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},∴-1∈B,∴m=-1.2.(2022·全國甲卷)設(shè)集合A={-2,-1,0,1,2},B=x|0≤x<5A.{0,1,2} B.{-2,-1,0}C.{0,1} D.{1,2}答案:A解析:集合A中的元素只有0,1,2屬于集合B,所以A∩B={0,1,2}.3.(2022·北京卷)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},則?UA=(??)A.(-2,1] B.(-3,-2)∪[1,3)C.[-2,1) D.(-3,-2]∪(1,3)答案:D解析:法一:因?yàn)槿疷=(-3,3),A=(-2,1],所以?UA=(-3,-2]∪(1,3).法二:因?yàn)?∈A,所以1??UA,可排除A選項(xiàng)和B選項(xiàng);0∈A,所以0??UA,可排除C選項(xiàng).4.(2023·北京卷)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},則M∩N=(??)A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2<x≤1}C.{x|x≥-2} D.{x|x<1}答案:A解析:由題意,M={x|x+2≥0}={x|x≥-2},N={x|x-1<0}={x|x<1},根據(jù)交集的運(yùn)算可知,M∩N={x|-2≤x<1}.5.已知集合A={x∈N*|x2-3x-4<0},則集合A的真子集有(??)A.7個(gè) B.8個(gè)C.15個(gè) D.16個(gè)答案:A解析:∵集合A={x∈N*|x2-3x-4<0}={x∈N*|-1<x<4}={1,2,3},∴集合A中共有3個(gè)元素,∴真子集有23-1=7(個(gè)).6.(2023·天津卷)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},則(?UB)∪A=(??)A.{1,3,5} B.{1,3}C.{1,2,4} D.{1,2,4,5}答案:A解析:由題意知?UB={3,5},∴A∪(?UB)={1,3,5}.7.(多選)滿足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是(??)A.{5} B.{1,5}C.{3} D.{1,3}答案:AB解析:由{1,3}∪A={1,3,5}知,A?{1,3,5},且A中至少有1個(gè)元素5.8.(多選)已知集合A={x|x>-1,x∈R},B={x|x2-x-2≥0,x∈R},則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是(??)A.A?B B.?RA??RBC.A∩B=? D.A∪B=R答案:ABC解析:∵A=(-1,+∞),B=(-∞,-1]∪[2,+∞),∴A∪B=R,D正確,其余選項(xiàng)均錯(cuò)誤.9.(2024·浙江臺(tái)州模擬)若全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},則?U(M∪N)=????.答案:{4}解析:∵全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},∴M∪N={1,2,3},∴?U(M∪N)={4}.10.已知集合1,a,ba={0,a2,a+b},則a2023+答案:-1解析:易知a≠0,ba=0,即b=0所以a2=1,即a=±1.又由集合中元素的互異性,知a≠1,所以a=-1,故a2023+b2024=(-1)2023+02024=-1.11.已知集合A={x|x2+2ax+2a≤0},若A中只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為????.答案:0或2解析:∵集合A={x|x2+2ax+2a≤0},A中只有一個(gè)元素,∴Δ=4a2-8a=0,解得a=0或a=2,∴實(shí)數(shù)a的值為0或2.12.已知集合A={x|x-a≤0},B={1,2,3}.若A∩B≠?,則a的取值范圍為????.答案:[1,+∞)解析:集合A={x|x≤a},集合B={1,2,3},若A∩B≠?,則1,2,3這三個(gè)元素至少有一個(gè)在集合A中,若2或3在集合A中,則1一定在集合A中,因此只要保證1∈A即可,所以a≥1.13.(2024·河南鄭州模擬)已知集合A=x∈N*

x=m答案:6(或8,或10,填其中一個(gè)即可)解析:由集合A=x有15個(gè)真子集,得集合A中含有4個(gè)元素,則m有4個(gè)因數(shù),則除1和它本身m外,還有2個(gè)因數(shù),所以m的值可以為6,8,10,故m的一個(gè)值為6(或8,或10).14.已知集合A={x|x2=4,x∈R},B={x|kx=4,x∈R}.若B?A,則實(shí)數(shù)k=????.答案:0,2,-2解析:A={x|x2=4,x∈R}={-2,2}.因?yàn)锽?A,所以B=?,或B={2},或B={-2},或B={-2,2}.因?yàn)榉匠蘫x=4最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根,因此分類討論如下:當(dāng)B=?時(shí),方程kx=4無實(shí)根,所以k=0;當(dāng)B={2}時(shí),2是方程kx=4的實(shí)根,故2k=4?k=2;當(dāng)B={-2}時(shí),-2是方程kx=4的實(shí)根,故-2k=4?k=-2.綜上可知,實(shí)數(shù)k=0,2,-2.[B組能力提升練]15.已知集合M={(x,y)|y=3x2},N={(x,y)|y=5x},則M∩N中的元素個(gè)數(shù)為(??)A.0 B.1C.2 D.3答案:C解析:由y=3x2,y=5x,解得16.已知集合A=13,12,1,2,3,則具有性質(zhì)“若A.3 B.7C.15 D.31答案:B解析:滿足“x∈A,且1x∈A”的A的非空子集為{1}12,2,13,3,12,1,17.已知全集U=A∪B中有m個(gè)元素,(?UA)∪(?UB)中有n個(gè)元素.若A∩B是非空集合,則A∩B的元素個(gè)數(shù)為(??)A.mn B.m+nC.n-m D.m-n答案:D解析:因?yàn)椋?UA)∪(?UB)中有n個(gè)元素,如圖中陰影部分所示,又U=A∪B中有m個(gè)元素,故A∩B中有(m-n)個(gè)元素.18.(多選)某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14,10,8.若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)可能是(??)A.5 B.6C.7 D.8答案:AB解析:如圖所示,(a+b+c+x)表示周一開車上班的職工人數(shù),(b+d+e+x)表示周二開車上班的職工人數(shù),(c+e+f+x)表示周三開車上班的職工人數(shù),x表示這三天都開車上班的職工人數(shù).則a得a+2b+2c+d+2e+f+3x=32,a+b+c+19.設(shè)集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m≥0},B={(x,y)|x+y-n>0}.若點(diǎn)P(2,3)∈A∩(?UB),則m+n的最小值為?????.答案:4解析:A={(x,y)|2x-y+m≥0},?UB={(x,y)|x+y-n≤0},由于P(2,3)∈A∩(?UB),所以2×2所以m+n≥4,即m+n的最小值為4.20.定義P☉Q=zz=y(tǒng)x+xy,x∈P,y∈Q,已知P={0答案:1解析:x,y取不同值時(shí)z的值如下表所示.yzx12010+01=20+02=-21-2+-212-2+-22所以P☉Q=1,學(xué)生用書?第5頁第二節(jié)常用邏輯用語[學(xué)習(xí)要求]1.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充分條件、必要條件、充要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件、判定定理與充分條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確使用全稱量詞命題、存在量詞命題進(jìn)行否定.[知識(shí)梳理]知識(shí)點(diǎn)一充分條件、必要條件與充要條件記p:x∈A,q:x∈B,則p是q的充分條件p?qA?Bp是q的必要條件q?pA?Bp是q的充要條件p?q且q?pA=Bp是q的充分不必要條件p?q且q?/pA?Bp是q的必要不充分條件p?/q且q?pA?Bp是q的既不充分也不必要條件p?/q且q?/pA不包含于B且A不包含B知識(shí)點(diǎn)二全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見量詞表示符號(hào)全稱量詞所有、一切、任給、全部、每一個(gè)等?存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、對(duì)某些、有的等?2.全稱量詞命題、存在量詞命題及含一個(gè)量詞的命題的否定命題名稱語言表示符號(hào)表示命題的否定全稱量詞命題對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)續(xù)表命題名稱語言表示符號(hào)表示命題的否定存在量詞命題存在M中的某個(gè)元素x,p(x)成立?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)[小題診斷]1.命題“?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有實(shí)根”的否定是(??)A.?a?R,一元二次方程x2-ax-1=0沒有實(shí)根B.?a?R,一元二次方程x2-ax-1=0沒有實(shí)根C.?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0沒有實(shí)根D.?a∈R,一元二次方程x2-ax-1≠0沒有實(shí)根答案:C解析:根據(jù)全稱量詞命題的否定形式可知,命題“?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有實(shí)根”的否定是“?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0沒有實(shí)根”.2.已知條件p:x>1,條件q:x≥2,則p是q的(??)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:B解析:∵{x|x≥2}?{x|x>1},∴p是q的必要不充分條件.3.(2024·天津模擬)命題p:x<-1,則命題p的一個(gè)充分不必要條件為(??)A.x<-1B.x<2C.-8<x<2D.-10<x<-3答案:D解析:由于-10<x<-3?x<-1,反之不成立,所以命題p的一個(gè)充分不必要條件為-10<x<-3,其他選項(xiàng)均不符合.學(xué)生用書?第6頁考點(diǎn)一充分條件、必要條件及充要條件的判斷?角度(一)定義法判斷充分、必要條件[例1](1)(2023·天津卷)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(??)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件(2)(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲:q>0,乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則(??)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件[答案](1)B(2)B[解析](1)由a2=b2,得|a|=|b|;由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,∴a=b.a=b?|a|=|b|,而由|a|=|b|不能推出a=b,∴“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件.(2)當(dāng)q=1,a1<0時(shí),等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1<0,可知{Sn}是單調(diào)遞減數(shù)列,因此甲不是乙的充分條件;若{Sn}是遞增數(shù)列,則當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1>0,即a1qn-1>0恒成立,而只有當(dāng)a1>0,q>0時(shí),a1qn-1>0恒成立,所以可得q>0,因此甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的必要條件但不是充分條件.?角度(二)集合法判斷充分、必要條件[例2]設(shè)x∈R,則“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的(??)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[答案]B[解析]由x2-5x<0可得0<x<5.由|x-1|<1可得0<x<2.由于區(qū)間(0,2)是(0,5)的真子集,故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分條件.┃方法總結(jié)┃1.充分、必要條件的判斷方法利用定義判斷直接判斷“若p,則q”“若q,則力”的真假.在時(shí),確定條件是什么、結(jié)論判斷是什么從集合的角度判斷利用集合中包含關(guān)系判定,即可解決充分、必要性的問題2.不能將“若p,則q”與“p一q”混為一談,只有“若力,則q”為真命題時(shí),才有“力一q”,即“p一q”一“若力,則q”為真命題.1.若集合A={x|x2-5x+4<0},B={x||x-a|<1},則“a∈(2,3)”是“B?A”的(??)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:A={x|1<x<4},B={x|a-1<x<a+1}.∵B?A,∴a-1≥1,a∵(2,3)?[2,3],∴“a∈(2,3)”是“B?A”的充分不必要條件.2.如果x,y是實(shí)數(shù),那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的(??)A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案:C解析:設(shè)集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|c(diǎn)osx≠cosy},則A的補(bǔ)集C={(x,y)|x=y(tǒng)},B的補(bǔ)集D={(x,y)|c(diǎn)osx=cosy},顯然C?D,所以B?A.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件.3.(2022·浙江卷)設(shè)x∈R,則“sinx=1”是“cosx=0”的(??)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:根據(jù)sinx=1解得x=π2+2kπ,k∈Z,此時(shí)cosx=cosπ2+2kπ=cosπ2=0.根據(jù)cosx=0解得x=π2+kπ,k∈Z,此時(shí)sinx=sinπ2+kπ=±1.故“sinx考點(diǎn)二充分條件、必要條件及充要條件的應(yīng)用[例3]設(shè)命題p:|4x-3|≤1;命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若q是p的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍是????.[答案]0[解析]解|4x-3|≤1,得12≤x≤1.解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+∵q是p的必要不充分條件,即由命題p成立能推出命題q成立,但由命題q成立不能推出命題p成立,∴12,1?[a,a+∴a≤12且a+1≥1解得0≤a≤12∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,┃方法總結(jié)┃己知充分、必要條件或充要條件求參數(shù)取值范圍的策略巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)把充分、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、相等關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解,注意條件的等價(jià)變形端點(diǎn)值慎取舍在求參數(shù)范圍時(shí),要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),從而確定取舍學(xué)生用書?第7頁4.若x>0,則x+2024A.a>80 B.a<80C.a>100 D.a<100答案:B解析:當(dāng)x>0時(shí),x+2024x≥22024=4506,因?yàn)閤+2024x≥a(x>0)恒成立,所以a考點(diǎn)三全稱量詞命題與存在量詞命題[例4](1)命題“有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”的否定是(??)A.?x∈R,|x|>0B.?x∈R,|x|>0C.?x∈R,|x|≤0D.?x∈R,|x|≤0(2)已知命題p:?x>0,x2+1≥1,則?p為(??)A.?x≤0,x2+1<1B.?x≤0,x2+1≥1C.?x>0,x2+1<1D.?x>0,x2+1≤1(3)已知命題p:?x>0,x+a-1=0,若p為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(??)A.{a|a<1} B.{a|a≤1}C.{a|a>1} D.{a|a≥1}[答案](1)C(2)C(3)D[解析](1)由詞語“有些”知原命題為存在量詞命題,故其否定為全稱量詞命題.(2)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.若命題p:?x>0,x2+1≥1,則p:?x>0,x2+1<1.(3)∵p為假命題,∴?p為真命題,即?x>0,x+a-1≠0,即?x>0,x≠1-a,∴1-a≤0,則a≥1,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}.┃方法總結(jié)┃含量詞命題的解題策略1.判定全稱量詞命題是真命題,需證明都成立;要判定存在量詞命題是真命題,只要找到一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí),可以先判斷其否定的真假.2.由命題真假求參數(shù)的范圍,一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍;二是可利用等價(jià)命題求參數(shù)的范圍.5.若命題“?x∈R,使得x2-(a+1)x+4≤0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為????.答案:(-5,3)解析:命題“?x∈R,使得x2-(a+1)x+4≤0”為假命題,即命題“?x∈R,使得x2-(a+1)x+4>0”為真命題,則判別式Δ=(a+1)2-4×4<0,即Δ=(a+1)2<16,則-4<a+1<4,即-5<a<3.學(xué)生用書?第270頁[A組基礎(chǔ)保分練]1.命題p:?m∈R,方程x2+mx+1=0有實(shí)根,則?p是(??)A.?m∈R,方程x2+mx+1=0無實(shí)根B.?m∈R,方程x2+mx+1=0無實(shí)根C.?m∈R,方程x2+mx+1=0有實(shí)根D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實(shí)根答案:B解析:命題“?m∈R,方程x2+mx+1=0有實(shí)根”的否定是“?m∈R,方程x2+mx+1=0無實(shí)根”.2.若命題p:對(duì)任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,則?p為(??)A.不存在x∈R,使得x3-x2+1<0B.存在x∈R,使得x3-x2+1<0C.對(duì)任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0D.存在x∈R,使得x3-x2+1≥0答案:D3.(2021·天津卷)已知a∈R,則“a>6”是“a2>36”的(??)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:①由a>6,得a2>36,所以“a>6”是“a2>36”的充分條件,②由a2>36,得a>6或a<-6,所以“a>6”是“a2>36”的不必要條件,故a>6是a2>36的充分不必要條件.4.“?x∈[-2,1],x2-2a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(??)A.a≥0 B.a≥1C.a≥2 D.a≥3答案:D解析:“?x∈[-2,1],x2-2a≤0”為真命題,即2a≥x2在x∈[-2,1]時(shí)恒成立,所以2a≥4,所以a≥2,即“?x∈[-2,1],x2-2a≤0”為真命題的充要條件是a≥2,所以可轉(zhuǎn)化為求“a≥2”的充分不必要條件,即找集合A={a|a≥2}的非空真子集,結(jié)合選項(xiàng),所以a≥3.5.下列命題中的真命題是(??)A.?x∈R,使得sinx+cosx=3B.?x∈(0,+∞),ex>x+1C.?x∈(-∞,0),2x<3xD.?x∈(0,π),sinx>cosx答案:B解析:∵sinx+cosx=2sinx+π4≤2<32,故A錯(cuò)誤;設(shè)f(x)=ex-x-1,則f'(x)=∵當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).又f(0)=0,∴?x∈(0,+∞),f(x)>0,即ex>x+1,故B正確;當(dāng)x<0時(shí),y=2x的圖象在y=3x的圖象上方,故C錯(cuò)誤;∵當(dāng)x∈0,π4時(shí),sinx<cosx,故6.(多選)-112<5x-3<12A.-12<x<2 B.-12<xC.-3<x<12 D.-1<x<答案:BD解析:解-112<5x-3<12,得-12<x<3,當(dāng)x滿足-12<x<3時(shí),滿足-12<x<4和-17.(2024·河南鄭州模擬)若命題“?x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是????.答案:[-3,3]解析:命題“?x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命題,即“?x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命題,故Δ=4a2-12≤0,解得-3≤a≤3.8.已知“x2-x-2>0”是“2x+p>0”的必要條件,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是????.答案:(-∞,-4]解析:由2x+p>0,得x>-p2,令A(yù)=x由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1,令B={x|x>2,或x<-1},由題意知A?B時(shí),即-p2≥2解得p≤-4,∴實(shí)數(shù)p的取值范圍是(-∞,-4].9.使得“2x>4x”成立的一個(gè)充分條件是?????.答案:x<-1(答案不唯一)解析:由于4x=22x,故2x>22x等價(jià)于x解得x<0,使得“2x>4x”成立的一個(gè)充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可.[B組能力提升練]10.(2024·河北邢臺(tái)模擬)“不等式ax2+2ax-1<0恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是(??)A.-1≤a<0 B.a≤0C.-1<a≤0 D.-1<a<0答案:D解析:當(dāng)a=0時(shí),-1<0恒成立,當(dāng)a≠0時(shí),則a<0,4a2+4綜上所述,不等式ax2+2ax-1<0恒成立時(shí),-1<a≤0,所以選項(xiàng)中“不等式ax2+2ax-1<0恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是-1<a<0.11.(2024·貴州貴陽模擬)設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(??)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:C解析:因?yàn)椋黙-3b|=|3a+b|,所以(a-3b)2=(3a+b)2,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.又因?yàn)椋黙|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b;反之也成立.12.(2024·湖北武漢模擬)閱讀下段文字:“已知2為無理數(shù),若(2)2為有理數(shù),則存在無理數(shù)a=b=2,使得ab為有理數(shù);若(2)2為無理數(shù),則存在無理數(shù)a=(2)2,b=2,此時(shí)ab=(2)22=(A.(2)B.(2)C.存在無理數(shù)a,b,使得ab為有理數(shù)D.對(duì)任意無理數(shù)a,b,都有ab為無理數(shù)答案:C解析:這段文字中,沒有證明(2)2是有理數(shù)的條件,也沒有證明(2)2是無理數(shù)的條件,A,B錯(cuò)誤;這段文字的兩句話中,都說明了結(jié)論“存在無理數(shù)a,b,使得ab為有理數(shù)”,因此這段文字可以證明此結(jié)論,C正確;這段文字中只提及存在無理數(shù)a,b,不涉及對(duì)任意無理數(shù)a,b13.(多選)下列四個(gè)關(guān)于命題的判斷,其中正確的是(??)A.命題“?x∈(0,+∞),3x+cosx<1”是假命題B.在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的充要條件C.命題“?x∈N,lg(x+1)>0”的否定是“?x?N,lg(x+1)>0”D.命題“在△ABC中,若AB·BC<0,則△ABC是鈍角三角形”是真命題答案:AB解析:對(duì)于A,設(shè)f(x)=3x+cosx(x>0),則f'(x)=3-sinx,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)>0+cos0=1,從而命題“?x∈(0,+∞),3x+cosx<1”是假命題,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于B,在△ABC中,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,由全稱命題的否定可得,命題“?x∈N,lg(x+1)>0”的否定是“?x∈N,lg(x+1)≤0”,故選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的;對(duì)于D,在△ABC中,若AB·BC<0,則BA·BC>0,則B為銳角,不能判定△ABC是鈍角三角形,所以選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的.14.(2024·河北唐山模擬)若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分條件,則m的最大值為????.答案:-2解析:由x2-2x-8>0,解得x>4,或x<-2,所以記A={x|x>4,或x<-2},B={x|x<m};若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分條件,則B是A的真子集.故m≤-2,所以m的最大值為-2.15.集合A=xx-1x+1<0,B={x||x-b|<a}.若“a=1”是“A∩B答案:(-2,2)解析:由“a=1”是“A∩B≠?”的充分條件,知當(dāng)a=1時(shí),A∩B≠?.當(dāng)a=1時(shí),由題意得A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠?得b-1<1且b+1>-1,即-2<b<2,所以b的取值范圍是(-2,2).學(xué)生用書?第7頁第三節(jié)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)[學(xué)習(xí)要求]1.理解不等式的概念,掌握不等式性質(zhì),會(huì)利用不等式性質(zhì)判斷相關(guān)命題的真假.2.會(huì)比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小.3.理解不等式的性質(zhì),并會(huì)解簡單應(yīng)用.[知識(shí)梳理]知識(shí)點(diǎn)一不等關(guān)系兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法關(guān)系方法作差法作商法a>ba-b>0ab>1(a,b>0)或ab<1(a,b<a=ba-b=0ab=1(b≠0a<ba-b<0ab<1(a,b>0)或ab>1(a,b<知識(shí)點(diǎn)二不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?b<a;a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b,b>c?a>c;a<b,b<c?a<c同向可加性a>b?a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bcc的符號(hào)續(xù)表性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意同向可加性a>b,c>d?a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?ac>bd同向,同正可乘方性a>b>0,n∈N,n≥2?an>bn同正可開方性a>b>0,n∈N,n≥2?na>同正學(xué)生用書?第8頁[小題診斷]1.下列說法正確的是(??)A.若ab>1,則a>B.一個(gè)不等式的兩邊加上或乘同一個(gè)實(shí)數(shù),不等號(hào)方向不變C.一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越大D.a>b>0,c>d>0?ad>答案:D解析:對(duì)于選項(xiàng)A,只有b>0時(shí)才正確,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)不等式兩邊同時(shí)乘的數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)方向發(fā)生變化,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,一個(gè)正實(shí)數(shù)越大,則其倒數(shù)就越小,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,由c>d>0得1d>1c.因?yàn)閍>b>0,所以ad>bc2.已知a,b,c∈R,那么下列命題中正確的是(??)A.若a<b,則ac2<bc2B.若ac>bc,則aC.若a3>b3,且ab<0,則1a>D.若a2>b2,且ab>0,則1a<答案:C解析:A中,當(dāng)c=0時(shí),ac2<bc2不成立,故A錯(cuò)誤;B中,當(dāng)c<0時(shí),a<b,故B錯(cuò)誤;C中,若a3>b3,ab<0,則a>0>b,∴1a>1b,故C正確;D中,當(dāng)a<0,b<0時(shí),1a<1b3.已知-1<a<0,那么-a,-a3,a2的大小關(guān)系是(??)A.a2>-a3>-a B.-a>a2>-a3C.-a3>-a>a2 D.a2>-a>-a3答案:B解析:∵-1<a<0,∴1+a>0,0<-a<1,∴-a-a2=-a(1+a)>0,a2-(-a3)=a2(1+a)>0,∴-a>a2>-a3.4.(2024·福建晉江模擬)已知實(shí)數(shù)m,n滿足-4≤m≤-1,-1≤n≤5,則8n-5m的取值范圍是(??)A.-3≤8n-5m≤60 B.-21≤8n-5m≤78C.12≤8n-5m≤45 D.3≤8n-5m≤45答案:A解析:由-1≤n≤5可知-8≤8n≤40,由-4≤m≤-1可知1≤-m≤4,則5≤-5m≤20,所以-3≤8n-5m≤60.考點(diǎn)一比較數(shù)(式)的大小[例1](1)(2024·吉林長春模擬)已知a>0,b>0,M=a+b,N=a+b,則M與A.M>NB.M<NC.M≤ND.M,N大小關(guān)系不確定(2)若a>0,b>0,則p=(ab)a+b2與q=abA.p≥q B.p≤qC.p>q D.p<q(3)若a=ln33,b=ln44,A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c[答案](1)B(2)A(3)B[解析](1)M2-N2=(a+b)-(a+b+2ab)=-2ab<0,∴M<N.(2)由題意知p>0,q>0,則pq=(ab)a+b2ab·ba=aa-b2·bb-a2=aba-b2.若a>b>0,則ab>1,a-b>0,則pq>1;若0<a<b,則0(3)法一:易知a,b,c都是正數(shù),ba==log8164<1,所以a>b;bc==log6251024>1,所以b>c,即c<b<a.法二:構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx則f'(x)=1-ln由f'(x)>0,得0<x<e;由f'(x)<0,得x>e.∴f(x)在(0,e)上為增函數(shù),在(e,+∞)上為減函數(shù),∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.┃方法總結(jié)┃比較大小常用的方法1.作差(商)法:作差(商)一變形一判斷.2.構(gòu)造函數(shù)法:利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.3.中間量法:利用中間量法比較兩式大小,一般選取“O”或“1”作為中間量.4.賦值法:當(dāng)兩個(gè)式子比較大小時(shí),可直接賦值.1.若0<x<1,p,q∈N*,則M=1+xp+q與N=xp+xq的大小關(guān)系為(??)A.M>N B.M<NC.M=N D.不確定答案:A解析:(1+xp+q)-(xp+xq)=(1-xp)+xq(xp-1)=(1-xp)(1-xq).∵0<x<1,p,q∈N*,∴1-xp>0,1-xq>0,∴(1-xp)(1-xq)>0,∴1+xp+q>xp+xq,即M>N.2.若a=ln22,b=ln33,則a答案:<解析:法一:(作商法)易知a>0,b>0,ba=2ln33ln2=ln9ln8=log法二:(作差法)b-a=ln33-ln22=16(2ln3-3ln2)=16(所以b>a.考點(diǎn)二不等式的基本性質(zhì)[例2](1)(多選)(2024·海南海口模擬)已知a>b>1,a-b=1,則(??)A.2-a>2-b B.a2b-ab2>a-bC.a-b>3 D.a2-b2>6(2)(多選)對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,下列命題中正確的是(??)A.若a>b,則ac<bcB.若a<b<0,則a2>ab>b2C.若c>a>b>0,則ac-D.若a>b,1a>1b,則a>0,b[答案](1)BCD(2)BCD[解析](1)因?yàn)閍>b,所以2a>2b,故2-a<2-b,故A錯(cuò)誤;a2b-ab2=aba-b>a-b,故a-b=a-ba+b=a+b=2b+1a2-b2=a-ba+b>3×2=(2)若c>0,則由a>b得ac>bc,A錯(cuò)誤;若a<b<0,則a2>ab,ab>b2,a2>ab>b2,B正確;若c>a>b>0,則c-b>c-a>0,∴1c-a>1c-b>0,∴ac-a>bc-b,C正確;若a>b,且a,b同號(hào),則有1a<1b,因此由a>b,1學(xué)生用書?第9頁┃方法總結(jié)┃解決此類題目常用的4種方法1.直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.2.利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案,利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件.3.作差法.4.利用函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí),可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.3.(2024·上海模擬)已知實(shí)數(shù)a,b滿足a>b,則下列不等式中恒成立的是(??)A.a2>b2 B.1a<C.|a|>|b| D.2a>2b答案:D解析:當(dāng)a=1,b=-2時(shí),a2<b2,1a>1b,|a|<|b|,排除A,B,C選項(xiàng);因?yàn)閥=2x在(-∞,+∞)上是增函數(shù),所以當(dāng)a>b時(shí)一定有2a>2b,所以D4.(多選)已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則下列說法正確的是(??)A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若ab>0,bc-ad>0,則ca-dbC.若a>b,c>d,則a-d>b-cD.若a>b,c>d>0,則ad>答案:BC解析:若a>0>b,0>c>d,則ac<0<bd,故A錯(cuò)誤;若ab>0,bc-ad>0,則bc-adab>0,化簡得ca-db>0,故B正確;若c>d,則-d>-c.又a>b,所以a-d>b-c,故C正確;取a=-1,b=-2,c=2,d=1,則ad=-1,bc=-1,考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用[例3]已知-1<x+y<4,2<x-y<3,則z=2x-3y的取值范圍是????.[答案](3,8)[解析]設(shè)2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y),則2x-3y=(λ+μ)x+(λ-μ)y,∴λ+μ∴2x-3y=-12(x+y)+52(x-y由-1<x+y<4得-2<-12(x+y)<1由2<x-y<3得5<52(x-y)<15∴3<2x-3y<8.┃方法總結(jié)┃利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式取值范圍的注意點(diǎn)一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì);二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,再通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解取值范圍.5.(2024·湖北武漢模擬)已知實(shí)數(shù)a∈(1,3),b∈18,14,則答案:(4,24)解析:由1<a<3,18<b<1∴4<1b<8,故4<ab6.若1<α<3,-4<β<2,則2α+|β|的取值范圍是????.答案:(2,10)解析:∵-4<β<2,∴0≤|β|<4.又1<α<3,∴2<2α<6,∴2<2α+|β|<10.學(xué)生用書?第271頁[A組基礎(chǔ)保分練]1.已知0<a1<1,0<a2<1,記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是(??)A.M<N B.M>NC.M=N D.不確定答案:B解析:法一:∵M(jìn)-N=a1a2-a1-a2+1=(1-a1)·(1-a2)>0,∴M>N.法二(特殊值法):取a1=a2=12,∴M=14,N=0,∴M>2.(2024·北京模擬)設(shè)a,b,c為非零實(shí)數(shù),且a>c,b>c,則(??)A.a+b>c B.ab>c2C.a+b2>c D.1a答案:C解析:當(dāng)a=b=-1,c=-2時(shí),a+b=c,ab<c2,a+b2>c,1a+1b<2c,故A,B3.(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特模擬)有外表一樣,質(zhì)量不同的四個(gè)小球,它們的質(zhì)量分別是a,b,c,d.已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,則這四個(gè)小球的質(zhì)量由大到小的排列順序是(??)A.d>b>a>c B.b>c>d>aC.d>b>c>a D.c>a>d>b答案:A解析:因?yàn)閍+b=c+d,a+d>b+c,所以2a>2c,即a>c,因此b<d.因?yàn)閍+c<b,所以a<b.綜上可得d>b>a>c.4.若a>b,則下列結(jié)論正確的為(??)A.ln(a-b)>0 B.3a<3bC.a3-b3>0 D.|a|>|b|答案:C解析:由函數(shù)y=lnx的圖象(圖略)知,當(dāng)0<a-b<1時(shí),ln(a-b)<0,故A錯(cuò)誤;因?yàn)楹瘮?shù)y=3x在R上單調(diào)遞增,所以當(dāng)a>b時(shí),3a>3b,故B錯(cuò)誤;因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在R上單調(diào)遞增,所以當(dāng)a>b時(shí),a3>b3,即a3-b3>0,故C正確;當(dāng)b<a<0時(shí),|a|<|b|,故D錯(cuò)誤.5.(多選)下列命題為真命題的是(??)A.若ac2>bc2,則a>bB.若a>b>0,則a2>b2C.若a<b<0,則a2<ab<b2D.若a<b<0,則1a>答案:ABD解析:C中,若a=-2,b=-1,則a2>ab>b2,故C錯(cuò)誤.6.(多選)若1a<1b<A.a2<b2 B.ab<b2C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b|答案:ABC解析:因?yàn)?a<1b<0,所以b<a<0,所以b2>a2,ab<b2,a+b<0,所以A,B,C均正確.因?yàn)閎<a<0,所以|a|+|b|=|a+b|,故D7.(多選)已知6<a<60,15<b<18,則下列選項(xiàng)中正確的是(??)A.ab∈13,4 B.a+2b∈(C.a-b∈(-12,45) D.a+b答案:AC解析:A中,因?yàn)?5<b<18,所以118<1b<115.又6<a<60,所以根據(jù)不等式的性質(zhì)可得6×118<a×1b<60×115,即13B中,因?yàn)?0<2b<36,所以36<a+2b<96,故B錯(cuò)誤;C中,因?yàn)椋?8<-b<-15,所以-12<a-b<45,故C正確;D中,a+bb=ab+1∈48.若a<0,b<0,則p=b2a+a2b與q=a+答案:p≤q解析:p-q=b2a+a2b-(a+b)=b2a-a+a2b-b=1a-1b(b2-a2)=(b-a)2(b+a)ab.又a<0,b<9.eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為?????.答案:eπ·πe<ee·ππ解析:eπ·πee又0<eπ<1,0<π-e<1∴eππ-即eπ·πeee·ππ<1,即e10.已知-1<x<4,2<y<3,則x-y的取值范圍是????,3x+2y的取值范圍是????.答案:(-4,2)(1,18)解析:由-1<x<4,2<y<3知,-3<-y<-2,故-4<x-y<2.又-3<3x<12,4<2y<6,∴1<3x+2y<18.11.(2024·重慶模擬)已知三個(gè)不等式:①ab>0,②ca>db,③bc>ad.若以其中的兩個(gè)作為條件,余下的一個(gè)作為結(jié)論,則可以組成????答案:3解析:根據(jù)題意,結(jié)合不等式性質(zhì)分別判斷①,②,③作為結(jié)論的命題的真假性即可.由不等式性質(zhì),得ab>0,ca>dbab>0,bc>adca>db,bc故可組成3個(gè)真命題.12.已知12<a<60,15<b<36.求:(1)a-b的取值范圍;(2)ab的取值范圍解:(1)由15<b<36得-36<-b<-15.又因?yàn)?2<a<60,所以-24<a-b<45.即a-b的取值范圍是(-24,45).(2)由15<b<36得136<1b<115.又因?yàn)?2<a<60,所以13即ab的取值范圍是1學(xué)生用書?第272頁[B組能力提升練]13.手機(jī)屏幕面積與整機(jī)面積的比值叫做手機(jī)的“屏占比”,它是手機(jī)外觀設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要參數(shù),其值通常在0~1(不含0,1)內(nèi),設(shè)計(jì)師將某手機(jī)的屏幕面積和整機(jī)面積同時(shí)增加相同的數(shù)量,升級(jí)為一款新手機(jī),則該手機(jī)的“屏占比”和升級(jí)前相比(??)A.“屏占比”不變 B.“屏占比”變小C.“屏占比”變大 D.變化不確定答案:C解析:根據(jù)題意,不妨設(shè)升級(jí)前該手機(jī)的手機(jī)屏幕面積為a,整機(jī)面積為b,b>a,則升級(jí)前的“屏占比”為ab,升級(jí)后的“屏占比”為a+mb+m,其中m(m>0)為升級(jí)后增加的面積,由分?jǐn)?shù)性質(zhì)知a+m14.(2024·北京模擬)劉老師沿著某公園的環(huán)形道(周長大于1km)按逆時(shí)針方向跑步,他從起點(diǎn)出發(fā),并用軟件記錄了運(yùn)動(dòng)軌跡,他每跑1km,軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù).已知?jiǎng)⒗蠋煿才芰?1km,恰好回到起點(diǎn),前5km的記錄數(shù)據(jù)如圖所示,則劉老師總共跑的圈數(shù)為(??)A.7 B.8C.9 D.10答案:B解析:設(shè)公園的環(huán)形道的周長為t,劉老師總共跑的圈數(shù)為x,(x∈N*),則由題意1<t<2,2t<所以23<1t<34,因?yàn)閤t=11,所以223<x=又x∈N*,所以x=8,即劉老師總共跑的圈數(shù)為8.15.(多選)(2024·河北保定模擬)已知正數(shù)a,b滿足a≥2a+1b,b≥1aA.ab≥3 B.(a+b)2≥12C.1a+1b≥233 D.1答案:ABD解析:由a≥2a+1b,b≥1a+2b,得a+b≥3a+3b,即a+b≥3·a+bab,而a>0,b顯然a+b≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),則(a+b)2≥(2ab)2≥12,B正確;取a=2,b=2,則滿足a≥2a+1b,b≥1a+2b,此時(shí)1a+1b=由a≥2a+1b,得a>2a,即a>2,于是1a<22,同理1b<22,則1a16.(2024·江西南昌模擬)已知a=12023,b=ln2024A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<a D.a<b<c答案:A解析:因?yàn)閘n4>1,ln20242023>0所以,c=log420242023=構(gòu)造函數(shù)fx=x-lnx-1,其中x>1,則f'x=1-1x=x-1所以,函數(shù)fx在1,fx>f1=0,即lnx<x-1,所以,b=ln20242023<20242017.(多選)已知a,b為正實(shí)數(shù),則下列命題中正確的是(??)A.若a2-b2=1,則a-b<1B.若1b-1a=1,則a-bC.若ea-eb=1,則a-b<1D.若lna-lnb=1,則a-b<1答案:AC解析:對(duì)于A,當(dāng)a2-b2=1時(shí),(a-b)·(a+b)=1,又a>0,b>0,∴0<a-b<a+b,∴a-b=1a+b<1,故A正確;對(duì)于B,由1b-1a=1,不妨取a=3,b=34,則a-b=94>1,∴B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由ea-eb=1,可得ea-b+b-eb=eb(ea-b-1)=1.∵b>0,∴eb>1,∴ea-b-1<1,即ea-b<2,∴a-b<ln2<lne=1,故C正確;對(duì)于D,當(dāng)lna-lnb=1時(shí),不妨取a=e2,b=e,則a-b=e2-18.能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù).若a2>b2>c2,則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為????.答案:-3,-1,0(答案不唯一)解析:令a=-3,b=-1,c=0,則a2>b2>c2,此時(shí)a+b=-4<0,所以a+b>c是假命題.19.設(shè)f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.解:∵y=f(x)=ax2+bx,∴f(-1)=a-b,f(1)=a+b.法一:(待定系數(shù)法)設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1),又f(-2)=4a-2b,所以4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,可得m+n所以f(-2)=3f(-1)+f(1).又1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.法二:(運(yùn)用方程思想)由f得a所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又因?yàn)?≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,所以5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10,即f(-2)的取值范圍是[5,10].學(xué)生用書?第10頁第四節(jié)基本不等式[學(xué)習(xí)要求]1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a>0,b[知識(shí)梳理]知識(shí)點(diǎn)一基本不等式:a+b1.基本不等式成立的條件:a>0,b>0.2.等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).知識(shí)點(diǎn)二幾個(gè)重要的不等式1.a2+b2≥2ab(a,b∈R).2.ba+ab≥2(a,b3.ab≤a+b22(a,b4.a2+b22≥a+b2以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.知識(shí)點(diǎn)三利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,則(1)若x+y=s(和為定值),則當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),積xy取得最大值s2(2)若xy=p(積為定值),則當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),和x+y取得最小值2p.[小題診斷]1.設(shè)a>0,則9a+1a的最小值為(??)A.4 B.5C.6 D.7答案:C解析:因?yàn)閍>0,所以9a+1a≥29a×1a=6,當(dāng)且僅當(dāng)9a=1a,即a=13時(shí)等號(hào)成立,所以2.設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為(??)A.80 B.77C.81 D.82答案:C解析:xy≤x+y22=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)3.若x>0,則關(guān)于x+4xA.有最大值,且最大值為4B.有最小值,且最小值為4C.有最大值,且最大值為22D.有最小值,且最小值為22答案:B解析:因?yàn)閤>0,所以x+4x≥2x×4x=4,當(dāng)且僅當(dāng)x4.(多選)下列不等式中,不正確的是(??)A.a+4a≥4 B.a2+b2≥4C.ab≥a+b2 D.x2+3答案:ABC解析:a<0時(shí),a+4a≥4不成立,故A錯(cuò)誤;a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B錯(cuò)誤;a=4,b=16,則ab<a+b2,故C考點(diǎn)一利用配湊法求最值[例1](1)已知x>2,則函數(shù)y=x+12A.22 B.22+2C.2 D.2+2(2)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+4b=1,則ab的最大值為????.[答案](1)D(2)1[解析](1)由題意可知,x-2>0,∴y=(x-2)+12(x-2)+2≥2(x-2)·12(∴函數(shù)y=x+12(x-2)(x>(2)正實(shí)數(shù)a,b滿足a+4b=1,則ab=14×a·4b≤14×a+4b22=116,當(dāng)且僅當(dāng)a┃方法總結(jié)┃配湊法求最值的實(shí)質(zhì)及關(guān)鍵點(diǎn)配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形,配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.學(xué)生用書?第11頁1.已知a,b是正數(shù),且4a+3b=6,則a(a+3b)的最大值是(??)A.98 B.C.3 D.9答案:C解析:∵a>0,b>0,4a+3b=6,∴a(a+3b)=13·3a(a+3b)≤133a+a+3b22=13×622=3,當(dāng)且僅當(dāng)3a=a+3b,即a=1,2.(2024·山西忻州模擬)已知a>2,則2a+8aA.6 B.8C.10 D.12答案:D解析:因?yàn)閍>2,所以a-2>0,所以2a+8a-2=2a-2+8a-2+4當(dāng)且僅當(dāng)2a-2=8a-2,即a=4時(shí),等號(hào)成立,所以2考點(diǎn)二利用常數(shù)代換法求最值[例2](2024·江西南昌模擬)已知正數(shù)a,b滿足8a+4b=ab,則8a+b的最小值為(??)A.54 B.56C.72 D.81[答案]C[解析]法一:∵8a+4b=ab,a>0,b>0,∴8b+4a=1,∴8a+b=(8a+b)8b+4a=64ab+4ba+40≥264×4+40=72,當(dāng)且僅當(dāng)64ab=法二:∵8a+4b=ab,∴b=8aa-4>0.∵a∴a>4,∴8a+b=8a+8aa-4=8(a2-3a)a-4=當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).┃方法總結(jié)┃常數(shù)代換法求解最值的基本步驟1.根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).2.把確定的定值(常數(shù))變形為1.3.把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式.4.利用基本不等式求解最值.3.已知x>0,y>0,且4x+2y-xy=0,則2x+y的最小值為(??)A.16 B.8+42C.12 D.6+42答案:A解析:由題意可知2x+4y=∴2x+y=(2x+y)2x+4y=8xy+2yx+8≥2當(dāng)且僅當(dāng)8xy=2yx,即x=4,y=則2x+y的最小值為16.4.(2024·廣東廣州模擬)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=xy,則2xy-2x-y的最小值為(??)A.2 B.4C.8 D.9答案:C解析:因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足2x+y=xy,所以1x+2y=1,則2xy-2x-y=2x+y=2x+y1x+2y=4+yx當(dāng)且僅當(dāng)y=2x且1x+2y=1,即x=2,y=4考點(diǎn)三利用消元法求最值[例3]已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為????.[答案]6[解析]法一:(換元消元法)由已知得x+3y=9-xy.因?yàn)閤>0,y>0,所以x+3y≥23xy,所以3xy≤x+3y22,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=1時(shí)取等號(hào),所以x+3y+13x+3y22≥9,即(x+3y)令x+3y=t,則t>0且t2+12t-108≥0,解得t≥6,即x+3y的最小值為6.法二:(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=9-所以x+3y=9-3y1+y+3y=9-3y+3y(1+y)1+y=9+3y21+當(dāng)且僅當(dāng)3(1+y)=121+y,即y=1,x=3時(shí)等號(hào)成立,所以x+3┃方法總結(jié)┃利用消元法求最值的技巧消元法,即先根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式,再進(jìn)行最值的求解.有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題,解決方法是消元后利用基本不等式求解,但應(yīng)注意各個(gè)元的范圍.5.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是????.答案:4解析:∵x>0,y>0,x+2y+2xy=8,∴x=8-2y1+2∴x+2y=92y+1+(2y+1)-2≥292y+1·(2y+1)-2=4(當(dāng)且僅當(dāng)y=考點(diǎn)四基本不等式的實(shí)際應(yīng)用[例4]中華人民共和國第十四屆全國運(yùn)動(dòng)會(huì)在陜西省舉辦,某公益團(tuán)隊(duì)聯(lián)系全運(yùn)會(huì)組委會(huì)舉辦一場(chǎng)紀(jì)念品展銷會(huì),并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,當(dāng)每套紀(jì)念品(一個(gè)會(huì)徽和一個(gè)吉祥物)售價(jià)定為x元時(shí),銷售量可達(dá)到(15-0.1x)萬套.為配合這個(gè)活動(dòng),生產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價(jià)格分為固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分,其中固定價(jià)格為50元,浮動(dòng)價(jià)格(單位:元)與銷售量(單位:萬套)成反比,比例系數(shù)為10.約定不計(jì)其他成本,即銷售每套紀(jì)念品的利潤=售價(jià)-供貨價(jià)格.(1)每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為100元時(shí),能獲得的總利潤是多少萬元?(2)每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為多少元時(shí),單套的利潤最大?最大值是多少元?[解](1)每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為100元時(shí),銷售量為15-0.1×100=5(萬套),供貨單價(jià)為50+105=52(元總利潤為5×(100-52)=240(萬元).(2)設(shè)售價(jià)為x元,則銷售量為(15-0.1x)萬套,供貨單價(jià)為50+單套利潤為x-50-1015-0.1x=x-50-100150-x所以單套利潤為y=x-50-100150-x=-(150-x)當(dāng)且僅當(dāng)150-x=10,即x=140時(shí)取等號(hào),所以每套會(huì)徽及吉祥物售價(jià)為140元時(shí),單套的利潤最大,最大值是80元.學(xué)生用書?第12頁┃方法總結(jié)┃利用基本不等式求解實(shí)際問題的兩個(gè)注意點(diǎn)1.利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),應(yīng)明確其中的數(shù)量關(guān)系,并引入變量,依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,然后用基本不等式求解.2.在求所列函數(shù)的最值時(shí),若用基本不等式時(shí),等號(hào)取不到,可利用函數(shù)單調(diào)性求解.6.如圖,某生態(tài)園將一個(gè)三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹,已知A為120°,AB,AC的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.(1)若圍墻AP與AQ總長度為200米,如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大?(2)已知AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高1.5米,造價(jià)均為每平方米100元.若圍圍墻用20000元,問如何圍可使竹籬笆用料最省?解:設(shè)AP=x米,AQ=y(tǒng)米.(1)x+y=200,△APQ的面積S=12xysin120°=34所以S≤34x+y當(dāng)且僅當(dāng)x即x=y(tǒng)=100時(shí)取等號(hào).即AP與AQ的長度都為100米時(shí),可使得三角形地塊APQ的面積最大.(2)由題意得100×(x+1.5y)=20000,即x+1.5y=200.要使竹籬笆用料最省,只需其長度PQ最短,所以PQ2=x2+y2-2xycos120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40000=1.75y-800當(dāng)y=8007時(shí),PQ有最小值此時(shí)x=200即AP長為2007米,AQ長為8 基本不等式鏈[例1]已知a,b為互不相等的正實(shí)數(shù),則下列四個(gè)式子中最大的是(??)A.2a+b B.C.2ab D.[答案]B[解析]∵a,b為互不相等的正實(shí)數(shù),∴1a+1b>2a+b<22ab2a2+b2<2∴最大的是1a+1學(xué)生用書?第13頁[例2]已知a,b,c都是非負(fù)實(shí)數(shù),求證:a2+b2+b2+c2+c2+[證明]∵a2+b即a2+b2≥22(同理,b2+c2≥22(b+c),c2+a相加可得a2+b2+b2+c2+c2+a2≥22(a+b)+22(b+c)+2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.┃方法總結(jié)┃基本不等式的常見變形12其中1.(多選)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則(??)A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1答案:BC解析:因?yàn)閤2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且x

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