備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(世紀(jì)金榜高中全程復(fù)習(xí)方略數(shù)學(xué)人教A版基礎(chǔ)版)課時(shí)作業(yè)五十七　雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。五十七雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2024·青島模擬)若點(diǎn)M在雙曲線x216-y24=1上,雙曲線的焦點(diǎn)為F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,則|MFA.2 B.4 C.8 D.12【解析】選B.雙曲線中a2=16,得a=4,則2a=8,由雙曲線的定義可得|MF1|-|MF2|=2a=8,因?yàn)閨MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.2.(5分)已知雙曲線C:x2a2-yA.2 B.3 C.2 D.5【解析】選D.易知雙曲線的漸近線方程為y=±bax由漸近線經(jīng)過點(diǎn)(1,2),可得ba故離心率為e=ca=c2a2=【加練備選】(2024·寧波模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,PF1⊥PF2,P到左焦點(diǎn)F1的距離是PA.2 B.102 C.2 D.【解析】選B.設(shè)雙曲線C的半焦距為c>0,由題意可知:|PF1|=3|PF2|,則|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,可得|PF1|=3|PF2|=3a,因?yàn)镻F1⊥PF2,則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2所以雙曲線的離心率是e=ca=c2a3.(5分)(2024·門頭溝模擬)雙曲線y2a2-x2b為()A.y=±2x B.y=±3xC.y=±33x D.y=±2【解析】選C.由已知可得ca=2,則c=2a,故b=c2-a所以,雙曲線的漸近線方程為y=±abx=±34.(5分)“m>1”是“方程x2m-y2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因?yàn)榉匠蘹2m-所以m(m-1)>0,解得m<0或m>1,因?yàn)橛蒻>1可推出m<0或m>1,但是由m<0或m>1,不能推出m>1,所以“m>1”是“方程x2m-y5.(5分)(多選題)(2024·深圳模擬)若方程x23-t+y2A.若1<t<3,則C為橢圓B.若C為橢圓,且焦點(diǎn)在y軸上,則2<t<3C.曲線C可能是圓D.若C為雙曲線,則t<1【解析】選BC.方程x23-tA.當(dāng)1<t<3,取t=2時(shí),方程為x2+y2=1,表示圓,A錯(cuò)誤;B.若C為橢圓,且焦點(diǎn)在y軸上,則t-1>3-t>0,即2<t<3,所以B正確;C.t=2時(shí),方程為x2+y2=1,表示圓,所以C正確;D.若C為雙曲線,可得(3-t)(t-1)<0,解得t>3或t<1,所以D錯(cuò)誤.6.(5分)(多選題)(2024·泉州模擬)已知F1,F2分別是雙曲線C:x24-y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn),并且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M,則(A.△MF1F2的面積為5B.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或-2C.C的漸近線方程為y=±14D.以線段F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=3【解析】選AB.由雙曲線方程知a=2,b=1,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±12x又c=a2+b2=5,所以以F1F2為直徑的圓方程為x2由y=±12xx所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或-2,故B正確;又|yM|=1,所以S△MF1F2=12·|F1F27.(5分)(2024·齊齊哈爾模擬)與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn),且離心率為【解析】由橢圓方程x212+y23=1,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0),(-3,0),設(shè)雙曲線的半焦距為因?yàn)殡p曲線的離心率為32,則e=ca=3a故a=2,所以b=c2-a所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x24-y答案:x24-8.(5分)(2024·長(zhǎng)春模擬)若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,【解析】右頂點(diǎn)為(a,0),一條漸近線方程為y=bax,即bx-ay由題意|ab|b即ac=12,所以e=c答案:29.(10分)(2024·昆明模擬)求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)虛軸長(zhǎng)為12,離心率為54【解析】(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1或y2a由題知2b=12,ca=54,c2=a2+b所以b=6,c=10,a=8,所以標(biāo)準(zhǔn)方程為x264-y236=1或y(2)頂點(diǎn)間距離為6,漸近線方程為y=±32x【解析】(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),由ba=32且a=3,所以b=所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x29-當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),由ab=32且a=3,所以b所以所求雙曲線方程為y29-x所以標(biāo)準(zhǔn)方程為x29-y2814=1或(3)求與雙曲線x2-2y2=2有公共漸近線,且過點(diǎn)M(2,-2)的雙曲線方程.【解析】(3)設(shè)與雙曲線x22-y2=1有公共漸近線的雙曲線方程為x22-y2=k(k≠0),將點(diǎn)(2,-2)代入得k=222-(-2)2=-2,所以雙曲線方程為:x22-【能力提升練】10.(5分)(2024·南昌模擬)已知圓C:x2+y2-6x+8=0,若雙曲線y2-x2m2=1(m>0)的一條漸近線與圓C相切,則mA.18 B.24 C.22 D【解析】選C.C:x2+y2-6x+8=0變形為(x-3)2+y2=1,故圓心為(3,0),半徑為1,y2-x2m2=1(m>0)的漸近線方程為y=±xm,不妨取y=xm,由點(diǎn)到直線距離公式可得3m【加練備選】(2024·成都模擬)已知F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),且|F1F2|=2b2a,點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn),I為△PF1F2內(nèi)心,若S△A.52 B.12 C.5-12 【解題策略】作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,可得IA=IB=IC=r,可以將S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,轉(zhuǎn)換為PF1=PF2【解析】選C.如圖所示:由題意知I為△PF1F2的內(nèi)心,作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r,所以IA=IB=IC=r,又因?yàn)镾△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,即12r·PF1=12r·PF2+λ·12r由雙曲線定義可知PF1-PF2=2a=λ·(2c),因此有λ=ac又因?yàn)閨F1F2|=2b2a,且|F1F2|=2c以及c2=a2+聯(lián)立并化簡(jiǎn)得a2+ac-c2=0,即ac2+解得λ=ac=-1+52或λ=-1-11.(5分)過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線,垂足為A.若∠AFO=2∠A.52 B.233 C.2 D【解析】選B.在Rt△AFO中,因?yàn)椤螦FO=2∠AOF,所以∠AOF=30°,則tan30°=ba=3所以e=ca=1+(ba)

12.(5分)(多選題)(2024·福州模擬)已知曲線C:x24+y2A.若m>2,則C是橢圓B.若-2<m<2,則C是雙曲線C.當(dāng)C是橢圓時(shí),若|m|越大,則C越接近于圓D.當(dāng)C是雙曲線時(shí),若|m|越小,則C的張口越大【解析】選BD.對(duì)于A,m=2滿足m>2,代入曲線C中,得x24+y24=1,即x2對(duì)于B,當(dāng)-2<m<2時(shí),-4≤2m2-4<0,所以4(2m2-4)<0,故C是雙曲線,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)|m|=3時(shí),方程為x24+y22=1,為焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為22,焦距為22的橢圓,離心率為22,當(dāng)|m|=6時(shí),方程為x24+y28=1,為焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為42,短軸長(zhǎng)為4,焦距為4的橢圓,離心率為2對(duì)于D,當(dāng)曲線C:x24+y22整理成x24-y24-2m2=1,則a=2,若|m|越小,則c=8-213.(5分)雙曲線具有光學(xué)性質(zhì),從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射,其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A,B兩點(diǎn)反射后,分別經(jīng)過點(diǎn)C和D,且cos∠BAC=-513,ABA.173 B.375 C.102 【解析】選B.由題意知延長(zhǎng)CA,DB,則必過點(diǎn)F1,如圖:由雙曲線的定義知|A又因?yàn)閏os∠BAC=-513,所以cos∠F1AB=5因?yàn)锳B·BD=0,所以AB⊥BD,設(shè)|AF1|=13m,m>0,則|AB|=5m,|BF1|=12m,因此|A從而由|AF2|+|BF2|=|AB|得13m-2a+12m-2a=5m,所以a=5m,則|BF1|=125a,|BF2|=25a,|F1F2|=2又因?yàn)閨BF1|2+|BF2|2=即37a2=25c2,即e=37514.(5分)(2024·郴州模擬)已知雙曲線x2m-y2n=1(m>0,n>0)和橢圓x24+y2【解析】x24+y23=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0),故m+故4m+1n=(4m+1n)(m+n)=4+4n當(dāng)且僅當(dāng)4nm=mn,即m=23,n=13時(shí),等號(hào)成立,故答案:915.(10分)(2024·合肥模擬)已知雙曲線C:x24-y(1)求與雙曲線C有共同的漸近線,且實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)由題可設(shè)所求雙曲線的方程為x24-y23=λ(λ