第12講直線與圓的位置關(guān)系

第12講：直線與圓的位置關(guān)系【考點(diǎn)歸納】考點(diǎn)一：判斷直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)考點(diǎn)三：圓的弦長(zhǎng)問題考點(diǎn)四：圓的弦長(zhǎng)求參數(shù)或者切線方程考點(diǎn)五：直線與圓的應(yīng)用考點(diǎn)六：圓的切線方程考點(diǎn)七：直線與圓的位置求距離的最值問題考點(diǎn)八：直線與圓的位置定點(diǎn)定值問題綜合應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判斷方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0【例題詳解】題型一：判斷直線與圓的位置關(guān)系1．（2324高二上·陜西渭南·期末）已知直線和圓，則直線l與圓C（

）A．相切 B．相離C．相交 D．相交且過圓心【答案】A【分析】計(jì)算圓心到直線的距離，將這個(gè)距離和半徑比較即可.【詳解】由圓，可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，即，所以直線與圓相切.故選：A.2．（2324高二下·安徽宿州·期中）已知圓C：，直線：，則直線與圓C的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】求出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而可得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由直線，可得，所以直線過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交.故選：A.3．（2324高二下·浙江·期中）已知直線，圓.則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a有關(guān)【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的比較即可判斷位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交.故選：A題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)4．（2324高二下·四川達(dá)州·期中）“”是直線和圓相交的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求出直線與圓相交時(shí)的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】圓的圓心，半徑為，若直線和圓相交，則，解得，所以“”是直線和圓相交的必要不充分條件.故選：B.5．（2324高二上·福建福州·期末）已知橢圓與直線相切，則的值不可能是（

）A． B．2 C．3 D．3.9【答案】A【分析】由橢圓與直線相切，得，解不等式組對(duì)比選項(xiàng)即可得解.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線方程得，化簡(jiǎn)并整理得，依題意，，整理得，因?yàn)?，所以，解得，?duì)比選項(xiàng)可知的值不可能是.故選：A.6．（2324高二上·福建三明·期末）已知，，若直線上存在點(diǎn)P使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得直線與圓有公共點(diǎn)（公共點(diǎn)不能是、），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)使得，所以點(diǎn)在以，為直徑的圓上，但點(diǎn)不能是、，由，為直徑的圓，可得圓心為,半徑為，即圓,要使得，只需直線與圓有公共點(diǎn)，但公共點(diǎn)不能是,，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，解得，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)為,時(shí)，則直線為軸，即.綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選:B.題型三：圓的弦長(zhǎng)問題7．（2324高二上·江西上饒·期末）直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．10【答案】C【分析】判斷出圓心在直線上即可求解.【詳解】圓即，故圓心為，顯然圓心在直線上，故直線被圓所截得的弦即為圓的直徑，長(zhǎng)為.故選：C．8．（2324高三上·山東青島·期末）圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．6【答案】D【分析】?jī)蓤A方程相減得直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離求得C到直線的距離，由圓的弦長(zhǎng)公式求出，再由三角形的面積公式計(jì)算即可求得.【詳解】?jī)蓤A方程相減得直線的方程為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，所以.故選：D9．（2324高二上·天津·期末）已知圓：（）截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓與圓：的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離【答案】A【分析】根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，即可根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系求解.【詳解】圓：（）的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以，解得，故圓的圓心為，半徑為，，故兩圓內(nèi)切，故選：A題型四：圓的弦長(zhǎng)求參數(shù)或者切線方程10．（2324高二上·重慶·期末）已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則（

）A．或3 B． C．3 D．或1【答案】A【分析】先求出圓心和半徑，根據(jù)直線截圓所得弦長(zhǎng)求出弦心距，結(jié)合點(diǎn)到直線距離得到方程，，即可解得【詳解】根據(jù)化為，圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，又因?yàn)橹本€截圓的弦長(zhǎng)為，所以有，即，解得；又圓心到直線的距離為：，所以，即，解得或.故選：A11．（2324高三上·北京海淀·期末）已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn).若為直角三角形，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A，圓心為，半徑為，即因?yàn)闉橹苯侨切?，所?設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，化簡(jiǎn)得.故選：A.12．（2324高二上·山東淄博·期中）已知圓C的方程為，直線m過點(diǎn)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線m的斜率為（

）A．或0 B．或0 C．或0 D．或0【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】顯然，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與圓相切，不滿足要求；設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，即，因?yàn)?，則圓心到直線的距離，又，解得或.故選：B題型五：直線與圓的應(yīng)用13．（2324高二上·安徽蕪湖·期末）“陶辛水韻”于1999年被評(píng)為蕪湖市新十景之一，每年入夏后，千畝水面蓮葉接天，荷花映日，吸引遠(yuǎn)道游客紛至沓來，坐上游船穿過一座座圓拱橋，可以直達(dá)“香湖島”賞荷．圓拱的水面跨度20米，拱高約5米．現(xiàn)有一船，水面以上高3米，欲通過圓拱橋，船寬最長(zhǎng)約為（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出圓的方程為.代入，得出，即可得出答案.【詳解】如圖，拱形橋，以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，圓心在軸上，設(shè)為，則有，即，整理可得，解得，所以，圓心為，半徑為，所以，圓的方程為.設(shè)，則有，解得.所以，要使小船通過圓拱橋，船寬最長(zhǎng)為.因?yàn)椋?故選：B.14．（2324高二上·北京順義·期中）如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東的處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的處島嶼，速度為.這艘輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到的時(shí)長(zhǎng)為（

）

A．1小時(shí) B．0.75小時(shí) C．0.5小時(shí) D．0.25小時(shí)【答案】C【分析】以為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系，求出直線與圓的方程，計(jì)算圓心到直線的距離和半徑比較，可知這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到；計(jì)算弦長(zhǎng)，可求得持續(xù)時(shí)間為多長(zhǎng)．【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系,

則，，圓方程，直線方程：，即，設(shè)到距離為，則，所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測(cè)到，設(shè)監(jiān)測(cè)時(shí)間為，則（小時(shí)），外籍輪船能被海監(jiān)船檢測(cè)到的時(shí)間是0.5小時(shí).故選：C.15．（2324高二上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出輪船沿直線返港時(shí)直線的方程及暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程，由輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)可得直線與相離，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】以小島中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，南北方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)輪船所在位置為點(diǎn)B，港口所在位置為點(diǎn)A，如圖所示，

則，（），暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程為，所以輪船沿直線返港時(shí)直線的方程為，即，又因?yàn)檩喆刂本€返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，所以直線與相離，即圓心O到直線的距離（），解得.故選：A.題型六：圓的切線方程16．（2324高二上·安徽馬鞍山·期末）由點(diǎn)向圓引的切線長(zhǎng)是（

）A．3 B． C． D．5【答案】A【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出點(diǎn)到圓心的距離，結(jié)合勾股定理即可得解.【詳解】圓即圓的圓心半徑分別為，點(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)向圓引的切線長(zhǎng)是.故選：A.17．（2324高二上·天津·期末）過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】由題意分直線斜率是否存在再結(jié)合直線與圓相切的條件進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】圓，即圓的圓心坐標(biāo)，半徑分別為，顯然過點(diǎn)且斜率不存在的直線為，與圓相切，滿足題意；設(shè)然過點(diǎn)且斜率存在的直線為，與圓相切，所以，所以解得，所以滿足題意的直線方程為或.故選：D.18．（2324高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）過直線上一點(diǎn)P作⊙M：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】易得，根據(jù)題意可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得出答案.【詳解】⊙M：的圓心，半徑，由，得，由題意可得圓心到直線的距離，即，解得.故選：B.題型七：直線與圓的位置求距離的最值問題19．（2324高二上·北京海淀·期末）已知直線恒過定點(diǎn)A，直線恒過定點(diǎn)B，且直線與交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷兩條直線的位置關(guān)系，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值等于點(diǎn)P到圓心的距離與半徑之和即點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)距離與半徑之和【詳解】設(shè)由直線，可得由直線，可得，因?yàn)橹本€與直線滿足，所以，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值等于點(diǎn)P到圓心的距離與半徑之和即點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)距離與半徑之和，由，，得AB中點(diǎn)為，半徑為1，所以點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值為，故選：A

20．（2324高二上·四川成都·期末）已知圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓心和半徑，根據(jù)四邊形面積得到，要想最小，只需最小，求出最小值，進(jìn)而得到答案.【詳解】的圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，故直線與圓相離，由題意得⊥，⊥，且與全等，則四邊形的面積為，可得⊥，四邊形的面積為，故，其中，故，要想最小，只需最小，顯然當(dāng)⊥直線時(shí)，最小，最小值為，此時(shí).故選：C21．（2324高二上·天津·期末）直線：與圓：交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線：與兩坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A． B．9 C．10 D．【答案】D【分析】，過定點(diǎn)，，，由垂徑定理易知，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，計(jì)算出點(diǎn)到的最大距離為，據(jù)此即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)閳A：，所以，因?yàn)椋海?，所以過定點(diǎn)，直線：，令，則；令，則，則，，，作出圖象如圖所示：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，所以點(diǎn)到的最大距離為，所以面積的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到點(diǎn)的軌跡，再求出該圓上的點(diǎn)到定直線距離的最大值，從而得到面積最大值.題型八：直線與圓的位置定點(diǎn)定值問題綜合應(yīng)用22．（2324高二上·廣東廣州·期末）已知圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切的圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對(duì)于圓上的任意一點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）使得恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點(diǎn)在圓上以及相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及點(diǎn)點(diǎn)距離公式，求出圓的半徑和圓心，即可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，定點(diǎn)，不同時(shí)為，根據(jù)為常數(shù)），可得，進(jìn)而整理可得，即可得的坐標(biāo)．【詳解】（1）圓心在直線，故設(shè)圓心為，半徑為，則，解得，所以圓的方程為（2）設(shè)，且，即，設(shè)定點(diǎn)，,不同時(shí)為，為常數(shù)）．則,兩邊平方，整理得代入后得恒成立化簡(jiǎn)得所以，解得或(舍去）即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.23．（2324高二上·甘肅·期末）已知直線：和圓：.(1)判斷直線和圓的位置關(guān)系，并求圓上任意一點(diǎn)到直線的最大距離；(2)過直線上的點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，求證：經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓與圓的公共弦必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)相離；(2)【分析】（1）利用圓心到直線的距離與半徑進(jìn)行比較可判斷直線與圓的位置關(guān)系，圓上任意一點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線的距離與半徑的和；（2）由題意可知過，，三點(diǎn)的圓，即為以為直徑的圓，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，表示圓心和半徑，得出圓的方程，將其與圓的方程相減，可得公共弦所在直線方程，整理得出定點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】（1）圓:的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，所以直線和圓相離；因?yàn)橹本€和圓相離，如圖：

過圓心作直線的垂線，垂足為，要使圓上任意一點(diǎn)到直線的距離最大，則是線段的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)，點(diǎn)到直線的最大距離為；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，可設(shè)，

過，，三點(diǎn)的圓即以為直徑的圓，圓心為，半徑為，所以圓的方程為，整理得，所以過，，三點(diǎn)的圓方程為：，將方程與方程相減得兩圓的公共弦方程：，即，由得，所以該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.24．（2324高二上·河北石家莊·期中）已知點(diǎn)A，B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，直線PA，PB為圓的切線，當(dāng)點(diǎn)A，B變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)，斜率為k的直線與曲線交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q為曲線上縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)，求證：直線MQ，NQ的斜率之和為定值．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意得出，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即得.（2）聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入斜率公式整理即得.【詳解】（1）設(shè)，在中，PB為圓的切線，所以，，所以，得，即，所以曲線的方程：（2）由點(diǎn)Q為曲線上縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)，所以，設(shè)，，斜率為k的直線方程為：，由，得，得，，所以，

而，，所以，即直線MQ，NQ的斜率之和為定值為【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線弦的問題包括求弦的方程、弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)坐標(biāo)軌跡等問題，解決這些問題的總體思路是設(shè)相關(guān)量，找等量關(guān)系，利用幾何性質(zhì)列方程(組)，不等式(組)或利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，使問題解決.【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、單選題25．（2024·安徽·三模）直線：與圓：的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【分析】根據(jù)已知直線與圓的方程，得到直線過定點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可判定.【詳解】由直線，可得直線過定點(diǎn)，又由圓：，可得點(diǎn)在圓C上，因?yàn)橹本€的斜率顯然存在，所以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.故選：C.26．（2324高二下·廣東湛江·開學(xué)考試）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理求弦長(zhǎng).【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．故選：C．27．（2324高二下·河南·階段練習(xí)）若直線與圓相切，則圓的半徑為（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列方程即可得解.【詳解】依題意，，解得（負(fù)值舍），所以圓的半徑為.故選:C.28．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線，圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，則（

）A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1【答案】D【分析】結(jié)合題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式求解，再進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】如圖所示，圓的半徑為2.設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).圓心到直線的距離，令，則.①當(dāng)時(shí)，與直線平行且距離等于1的直線是，，與圓的三個(gè)交點(diǎn)是，，，滿足題意.②當(dāng)時(shí)，與直線平行且距離等于1的直線是，，與圓的三個(gè)交點(diǎn)是，，，滿足題意.綜上，.故選：D.29．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，直線：，則直線與圓有公共點(diǎn)的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，借助點(diǎn)到直線的距離公式，求出的取值范圍，即直線與圓有公共點(diǎn)的充要條件，再確定那個(gè)是必要不充分條件.【詳解】由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1.因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以直線與圓相切或相交，所以圓心到直線的距離，解得.其必要不充分條件是把的取值范圍擴(kuò)大，所以選項(xiàng)中只有是的必要不充分條件.故選：A30．（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意確定直線過定點(diǎn)，曲線是以為圓心，半徑為1的半圓，借助數(shù)形結(jié)合確定直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界狀態(tài)，列出表達(dá)式求解即可.【詳解】由題意得，直線過定點(diǎn)，曲線是以為圓心，半徑為1的半圓（如圖所示），曲線的下端點(diǎn)為.要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線應(yīng)位于直線和切線之間（可以與重合），此時(shí)直線的斜率存在，且，即且圓心到直線的距離小于半徑.由得，由得，所以.故選：B.

31．（2024·廣東·一模）已知直線與直線相交于點(diǎn)M，若恰有3個(gè)不同的點(diǎn)M到直線的距離為1，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線垂直確定軌跡為圓，再由圓上存在三點(diǎn)到直線距離相等轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離為1求解.【詳解】由可得，即過定點(diǎn)，由可得，即過定點(diǎn)，又，所以的軌跡是以為直徑的圓（不含點(diǎn)），其中圓心為，半徑為，所以圓上恰有3個(gè)不同的點(diǎn)M到直線的距離為1，只需圓心到直線的距離等于1，即，解得，此時(shí)到直線的距離不為1，故符合.故選：B32．（2324高二上·福建福州·期末）直線過定點(diǎn)Q，若為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．4 D．2【答案】B【分析】求出直線定點(diǎn)坐標(biāo)、圓心坐標(biāo)、半徑，再由點(diǎn)與圓的圓心之間的距離加半徑求解【詳解】由，得，所以直線過定點(diǎn)，由，知圓心坐標(biāo)，半徑為2，所以到圓心的距離為，則在圓內(nèi)，則的最大值為，故選：B33．（2324高二上·浙江·期末）已知圓與直線，過上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為和，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推導(dǎo)出垂直平分，分析可知，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可知，，因?yàn)?，，，所以，，所以，，則，設(shè)，則為的中點(diǎn)，由勾股定理可得，由等面積法可得，所以，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，由，可得，所以，的最小值為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，則，因?yàn)?，解?故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查圓的切點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般方法有如下兩種：（1）求出切點(diǎn)弦所在直線的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面積法轉(zhuǎn)化為直角三角形斜邊上的高，作為切點(diǎn)弦長(zhǎng)的一般求解.二、多選題34．（2324高二上·山東青島·期末）已知點(diǎn)為圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為B．切線C．直線的方程為D．【答案】AC【分析】將圓的方程配方易得A項(xiàng)正確；利用圓的切線的性質(zhì)和勾股定理易求得；設(shè)出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑求出值，回代入直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用斜率關(guān)系即可求得直線的方程；先判斷，求出的正余弦，再求即得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由可得：，知圓心為,半徑為，故A項(xiàng)正確；

如圖，點(diǎn)為圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為.對(duì)于B項(xiàng)，分別連接,在中，,則,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為：，即：，由圓心到直線的距離，解得：，取，則切線方程為代入整理得：，解得：，代入可得：，即得：，因,直線的斜率為1，則直線的斜率為，故直線的方程為：，即：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由對(duì)稱性可知,由上分析知，,則，于是，.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓相切產(chǎn)生的切線長(zhǎng)，直線方程和夾角問題，屬于較難題.解決此類題目的思路即是，作出圖形，利用圖形的幾何性質(zhì)，借助于直線與圓的方程聯(lián)立，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)角的三角函數(shù)值即可依次求得.35．（2324高二上·山東青島·期末）下列有關(guān)直線與圓的結(jié)論正確的是（

）A．方程表示的直線必過點(diǎn)B．過點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程為C．圓和圓的公共弦所在的直線方程為D．若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則【答案】ACD【分析】對(duì)于，將直線方程化為即可判斷；對(duì)于B，當(dāng)截距為時(shí)即可判斷；對(duì)于C，由圓的方程可得圓與圓相交，再將兩圓的方程作差即可判斷；對(duì)于D，由題意可得圓心到直線的距離等于，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷．【詳解】對(duì)于，方程可化為，直線過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)截距為時(shí)，直線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以圓與圓相交．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程得，與圓的一般方程作差，可得，即，所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為，故C正確；對(duì)于D，若圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則圓心到直線的距離等于，即，解得，故D正確．故選：ACD36．（2324高二上·福建龍巖·期末）已知經(jīng)過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，線段的中點(diǎn)為P，則（）A． B．當(dāng)時(shí)，直線l平分圓CC．當(dāng)時(shí)， D．點(diǎn)P的軌跡方程為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，求出圓心和半徑，由點(diǎn)到直線距離公式得到不等式，求出答案；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故在直線上，得到B正確；C選項(xiàng)，由垂徑定理得到弦長(zhǎng)；D選項(xiàng)，聯(lián)立與，根據(jù)得到，設(shè)，由得到軌跡方程，注意取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，變形為，即圓心為，半徑為2，設(shè)直線，則圓心到直線的距離，即，解得，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由于，故在直線上，故當(dāng)時(shí)，直線l平分圓C，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故圓心到直線的距離，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，，聯(lián)立與得，，由得，且，故，令，則，由于，故在上單調(diào)遞增，故，則,由幾何關(guān)系知，設(shè)，故，變形得到，故點(diǎn)P的軌跡方程為，且，D錯(cuò)誤.故選：AB37．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓，直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．的取值范圍是B．若直線l經(jīng)過圓M的圓心，則的值為C．當(dāng)直線l過原點(diǎn)O時(shí)，圓M上的動(dòng)點(diǎn)到直線l的最大距離為D．若，則【答案】AB【分析】結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓M交于C，D兩點(diǎn)，所以圓心M到直線l的距離，即，解得，所以的取值范圍是，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，若直線l經(jīng)過圓M的圓心，則，解得，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)直線l過原點(diǎn)O時(shí)，則，得直線，則圓心M到直線l的距離，得圓M上的動(dòng)點(diǎn)到直線l的最大距離為：，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以為等邊三角形，則圓心M到直線CD的距離為：，所以，得或，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：AB三、填空題38．（2324高二下·上海靜安·期末）圓在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)在圓上，根據(jù)垂直關(guān)系可得切線方程的斜率，即可得切線方程.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋芍c(diǎn)在圓上，又因?yàn)?，可知切線方程的斜率，所以切線方程為，即.故答案為：.39．（2324高二下·上海·階段練習(xí)）已如直線和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】或【分析】先對(duì)曲線進(jìn)行變形，結(jié)合的取值范圍，可得其圖象為以為圓心，為半徑的圓的下半部分，畫出曲線及直線的圖象，采用數(shù)形結(jié)合，列出等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍€，所以，解得，曲線可化為，兩邊同時(shí)平方有，，即，所以曲線是以為圓心，為半徑的圓的一部分，而直線，所以直線的斜率為1，畫圖象如下：由于直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線過時(shí)，即，解得，當(dāng)直線過時(shí)，即，解得，由圖象可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)：，解得或，而即為在軸上的截距，由圖象可知，綜上：或.故答案為：或.40．（2324高二下·上海松江·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】利用垂徑定理列方程求解即可.【詳解】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑，若，則圓心到直線即的距離，又由圓心到直線的距離，則有，解可得：；故答案為：.41．（2324高二上·山東青島·期末）已知是圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，變形可得，利用的幾何意義轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】設(shè)，變形可得，則的幾何意義為直線的斜率，是圓上任意一點(diǎn)，圓心，半徑為，則，解得，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題42．（2324高二上·貴州六盤水·期末）已知半徑為2的圓的圓心在射線上，點(diǎn)在圓上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)在圓上列方程可得，可得方程；（2）分斜率存在和不存在求解，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程求解可得.【詳解】（1）由圓C的圓心在直線上，可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，又圓的半徑為2，點(diǎn)在圓上，有，解得（舍去）或，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線與圓相切；②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，整理為，由題知，解得，可得切線方程為，整理為，由①②知，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.

43．（2324高二下·四川·階段練習(xí)）已知圓C和直線，若圓C的圓心為(0,0)，且圓C經(jīng)過直線和的交點(diǎn)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過定點(diǎn)(1,2)的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)題意聯(lián)立直線和的直線方程，求得交點(diǎn)，進(jìn)而求得半徑，即可得解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合垂徑定理求得圓心到直線的距離，討論直線l的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，即可得解.【詳解】（1）首先由可得，所以直線和相交于點(diǎn)，所以圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，代入圓C方程為可得，此時(shí)，符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，根據(jù)題意圓心到直線的距離為，所以，解得，此時(shí)直線方程為，所以直線l的方程為或.44．（2324高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸的非負(fù)半軸上.(1)求圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)直線與圓相切，可得出關(guān)于的等式，解出實(shí)數(shù)的值，即可得出圓的方程；（2）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式