隨機變量的數(shù)字特征（第1課時 離散型隨機變量的均值） 高二下學期數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第二冊

人教B版

數(shù)學

選擇性必修第二冊第四章概率與統(tǒng)計4.2.4隨機變量的數(shù)字特征第1課時離散型隨機變量的均值課標定位素養(yǎng)闡釋1.通過實例,理解離散型隨機變量的均值.2.理解兩點分布、二項分布、超幾何分布的均值及均值的性質(zhì),并能解決簡單的實際問題.3.體會數(shù)學抽象的過程,提升數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).自主預習新知導學一、離散型隨機變量的均值1.設(shè)有13個西瓜,其中質(zhì)量為5kg的有4個,質(zhì)量為6kg的有3個,質(zhì)量為7kg的有6個.(1)任取一個西瓜,若用X表示這個西瓜的質(zhì)量,則X可以取哪些值?提示:5,6,7.(2)當X取上述值時,對應的概率分別是多少?(3)如何求每個西瓜的平均質(zhì)量?2.(1)離散型隨機變量的均值:一般地,如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn(2)均值的意義:離散型隨機變量X的均值E(X)刻畫了X的平均取值.在離散型隨機變量X的分布列的直觀圖中,E(X)處于平衡位置.3.已知離散型隨機變量X的分布列為

答案:A二、幾種特殊分布的均值與均值的性質(zhì)1.已知隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布,其分布列為X10

Pp1-p(1)兩點分布的均值E(X)與參數(shù)p有什么關(guān)系?提示:E(X)=p.(2)若隨機變量Y=2X+1,則E(Y)與E(X)有什么關(guān)系?提示:E(Y)=2E(X)+1.2.(1)若X服從參數(shù)為p的兩點分布,則E(X)=p.(2)若X服從參數(shù)為n,p的二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=np.(4)均值的性質(zhì):若X與Y都是隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則E(Y)=aE(X)+b.(2)若E(X)=3,則E(3X-1)=8.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)隨機變量X的均值E(X)是個變量,其隨X的變化而變化.(×)(2)隨機變量的均值與樣本的平均值相同.(×)(3)若隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4.(√)合作探究釋疑解惑探究一利用定義求均值解:設(shè)事件A為甲破譯出該密碼,事件B為乙破譯出該密碼,X的可能取值為0,1,2,求均值的一般步驟(1)確定X可能的取值.(2)求出X取每個值的概率.(3)列出分布列.(4)利用均值的定義求出E(X).反思感悟【變式訓練1】

現(xiàn)有一個項目,對該項目投資10萬元,一年后的利潤是1.2萬元,1.18萬元,1.17萬元的概率分別為,隨機變量X(單位:萬元)表示對該項目投資10萬元一年后所得的利潤,則X的均值為(

)A.1.18 B.3.55C.1.23 D.2.38答案:A探究二利用公式求均值【例2】

(1)某課外興趣小組共有5名成員,其中3名女生,2名男生.現(xiàn)從中隨機選取2名成員進行學習匯報,記選出女生的人數(shù)為X,則X的均值是(

)答案:A(2)某通信公司共有客戶3000人,若通信公司準備了100份禮物,邀請客戶在指定時間來領(lǐng)取,假設(shè)任意客戶去領(lǐng)取的概率為4%.問:通信公司能否向每一位客戶都發(fā)出邀請?若能使每一位領(lǐng)取人都得到禮物,通信公司至少應準備多少份禮物?解:設(shè)去領(lǐng)取的人數(shù)為X,則由題意可知,X~B(3

000,0.04),所以E(X)=3

000×0.04=120>100.因此,通信公司不能向每一位客戶都發(fā)出邀請.若能使每一位領(lǐng)取人都得到禮物,則通信公司至少應準備120份禮物.常見的三種分布的均值(1)兩點分布:E(X)=p.(2)二項分布:E(X)=np.(3)超幾何分布:E(X)=.反思感悟【變式訓練2】

某運動員的投籃命中率p=0.6.(1)求投籃一次時,命中次數(shù)ξ的均值;(2)求重復投籃5次時,命中次數(shù)η的均值.解:(1)由題意可知,投籃一次,命中次數(shù)ξ服從兩點分布,則E(ξ)=p=0.6.(2)由題意可知,重復投籃5次,命中的次數(shù)η服從二項分布,即η~B(5,0.6).則E(η)=np=5×0.6=3.探究三分布列的性質(zhì)及應用【例3】

已知隨機變量X的分布列為

若Y=-2X,則E(Y)=

.

延伸探究若給出隨機變量ξ與X的關(guān)系為ξ=aX+b,a,b為常數(shù),則求E(ξ)一般有兩種思路:(1)先求出E(X),再利用公式E(ξ)=E(aX+b)=aE(X)+b求出E(ξ);(2)先利用X的分布列得到ξ的分布列,關(guān)鍵是由X的取值得到對應ξ的取值,再由定義求得E(ξ).反思感悟【變式訓練3】

袋中有20個大小相同的球,其中標號為0的有10個,標號為n(n=1,2,3,4)的有n個.現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標號.(1)求ξ的分布列及均值;(2)若η=aξ+4,E(η)=1,求a的值.解:(1)由已知得,ξ的分布列為

【規(guī)范解答】

離散型隨機變量的均值的實際應用【典例】

受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān).某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50輛,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x/年0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轎車數(shù)量/輛2345545每輛利潤/萬元1231.82.9將頻率視為概率.該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當,由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車.若從經(jīng)濟效益的角度考慮,你認為應生產(chǎn)哪種品牌的轎車?說明理由.審題策略

設(shè)生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1萬元,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2萬元,先求出X1,X2的分布列,再利用均值的定義,求出E(X1),E(X2),最后比較E(X1)與E(X2)的大小,得出結(jié)論.規(guī)范展示

設(shè)生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1萬元,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2萬元.依題意得,X1的分布列為答題模板

第1步:根據(jù)題意,設(shè)出隨機變量X1,X2.第2步:求X1,X2的分布列.第3步:利用均值的定義,求E(X1),E(X2).第4步:比較E(X1)與E(X2)的大小,得出結(jié)論.1.不理解題意,不知道求什么.2.計算錯誤.失誤警示【變式訓練】

某人有20萬元,準備全部投資房地產(chǎn)或全部購買股票,預計盈利情況如下表,則他應選擇哪種方案?自然狀況概率購買股票盈利/萬元投資房地產(chǎn)盈利/萬元巨大成功0.3108一般成功0.534失敗0.2-10-4解:設(shè)購買股票的盈利為X萬元,投資房地產(chǎn)的盈利為Y萬元,則E(X)=10×0.3+3×0.5+(-10)×0.2=2.5,E(Y)=8×0.3+4×0.5+(-4)×0.2=3.6.因為E(Y)>E(X),所以投資房地產(chǎn)的平均盈利較高,故選擇全部投資房地產(chǎn).隨堂練習1.已知ξ的分布列為

答案:D2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分,則得分X的均值為(

)答案:A3.同時拋擲5枚均勻的硬幣80次,設(shè)5枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上的次數(shù)為X,則X的均值是(

)A.20 B.25

C.30

D.40答案:B4.（多選題）已知離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m設(shè)隨機變量Y=|X-2|,則下列結(jié)論正確的是(

)A.m=0.3 B.E(X)=2.1C.P(Y=2)=0.5 D.P(X≥2)=0.7答案:ACD5.設(shè)離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).若X的均值E(X)=3,則a+b=

.

解析:∵P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,∴E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+