隨機(jī)過程：隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)分析

隨機(jī)信號(hào)分析第三章隨機(jī)過程的變換本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容★隨機(jī)過程變換的基本概念★隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)和積分★隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)分析★微分方程法★沖激響應(yīng)法和頻譜法本堂課的作業(yè)★第99頁(yè)習(xí)題3.13★第100頁(yè)習(xí)題3.143.193.3.1微分方程法★線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)特性線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)特性通常可以用一個(gè)常系數(shù)線性微分方程來描述，即上式可簡(jiǎn)寫成L[Y(t)]=X(t)(3.3.2)，其中3.3.1微分方程法★微分方程法的含義微分方程法就是在已知輸入過程X(t)的統(tǒng)計(jì)特性的前提下，根據(jù)(3.3.1)式求出輸出過程Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性。即已知X(t)的均值mX(t)和相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)

，分別求得Y(t)的均值mY(t)和相關(guān)函數(shù)RY(t1,t2)

。方法是先將(3.3.1)式演化為確定性函數(shù)mY(t)或RY(t1,t2)的常規(guī)微分方程，然后再求解mY(t)和RY(t1,t2)

。3.3.1微分方程法★微分方程法的條件1、假定Y(t)的起始條件為零，且t<0時(shí)系統(tǒng)無輸出，即2、假設(shè)(3.3.1)式在t>0的每一時(shí)刻都成立。3.3.1微分方程法★微分方程法求均值對(duì)(3.3.2)兩邊取數(shù)學(xué)期望，并交換均值和微分運(yùn)算的次序，得L{E[Y(t)]}=E[X(t)]，于是有L[mY(t)]=mX(t)，即對(duì)(3.3.4)式兩邊取均值，可得mY(t)的起始條件如下：，只要mX(t)已知，就可以按照零起始條件求解(3.3.5)式，從而得出mY(t)。3.3.1微分方程法★微分方程法求相關(guān)函數(shù)在(3.3.1)式中令t=t2，兩邊同時(shí)乘以X(t1)后取數(shù)學(xué)期望，得在(3.3.4)式兩端同時(shí)乘以X(t1)后取數(shù)學(xué)期望，可得(3.3.6)式的起始條件如下：3.3.1微分方程法★微分方程法求相關(guān)函數(shù)（續(xù)）同理可得3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★引言線性系統(tǒng)最基本的特性是滿足疊加原理。根據(jù)這一原理，可把輸入信號(hào)分成許多單元信號(hào)，輸出信號(hào)就是線性系統(tǒng)對(duì)各單元信號(hào)的響應(yīng)總和。經(jīng)常用到的單元信號(hào)有兩種，一種為單元沖激信號(hào)，另一種為單元正弦信號(hào)。前者引出沖激響應(yīng)法，后者引出頻譜法。3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，輸入的隨機(jī)過程為X(t)，根據(jù)線性系統(tǒng)的理論，輸出為上式兩邊取均值，則有3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法（續(xù)）即如果輸出信號(hào)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則式中H(0)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在ω=0時(shí)的值。3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法（續(xù)）在(3.3.10)式中，令t=t1，兩邊同乘以X(t2)，并取均值，則有用類似步驟可得3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法（續(xù)）同理可得畫出輸入輸出相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系如下圖所示：3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法（續(xù)）

3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法（續(xù)）若X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有用類似步驟可得3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法（續(xù)）同理可得由此畫出平穩(wěn)過程輸入輸出相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系如下圖所示：3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法（續(xù)）

3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★頻譜法對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，有3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★頻譜法（續(xù)）對(duì)上述五式兩端同時(shí)作傅立葉變換，則有3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★頻譜法（續(xù)）再根據(jù)傅立葉變換對(duì)偶的關(guān)系，可求出對(duì)應(yīng)的相關(guān)函數(shù)：3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★平穩(wěn)性的討論對(duì)于物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)（即h(t)在(－∞,∞)中都存在），如果輸入X(t)是平穩(wěn)，則輸出Y(t)也是平穩(wěn)，且輸入與輸出是聯(lián)合平穩(wěn)的。對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)（即t<0時(shí)，h(t)＝0的系統(tǒng)），則要考慮兩種情況：一種是輸入X(t)始終作用于系統(tǒng)的輸入端，叫做無限工作時(shí)間的系統(tǒng)；另一種為X(t)在t=ti時(shí)刻才加入，即輸入為X(t)U(t-ti)，叫做有限時(shí)間工作的系統(tǒng)。如果X(t)為平穩(wěn)過程，則前者的輸出一般也是平穩(wěn)的，而后者的輸出則有瞬態(tài)過程。3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★三種方法的比較沖激響應(yīng)法是隨機(jī)過程線性變換的一種基本方法，它能解得系統(tǒng)的平穩(wěn)或非平穩(wěn)輸出過程的相關(guān)函數(shù)，也能解得有限工作時(shí)間的瞬態(tài)過程的相關(guān)函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為比較簡(jiǎn)單的函數(shù)時(shí)，應(yīng)用此法比較方便。微分方程法也具有沖激響應(yīng)法的效能，但即使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，運(yùn)算上也顯得很煩瑣。頻譜法只能計(jì)算平穩(wěn)輸出過程的統(tǒng)計(jì)特性，這是它的局限性，但方法簡(jiǎn)易，因而應(yīng)用廣泛。3.3.2沖激響應(yīng)法和頻譜法★沖激響應(yīng)法和頻譜法的例題[例3.3.1]設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)特性為

Y’(t)+aY(t)=X(t)，a為常數(shù)其中為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，在t=0時(shí)加入，且有

Y(0)=0E[X(t)]=λ

RX(t1,t2)=λ2+λδ(t1－t2)

用沖激響應(yīng)法和頻譜法求Y(