2024-2025學(xué)年福建省福州市平潭一中高二（上）開門考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省福州市平潭一中高二（上）開門考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若{a,b,A.b+c，b，b?c B.a+b，a?b，c

C.a，a+2.已知λ∈R，向量a=(3,λ)?,?b=(λ?1?,?2)，則“λ=3”是“a//A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件3.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,?4,2)且a⊥b，bA.22 B.3 C.104.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.若α⊥β，m//α，則m⊥β B.若m//α，n⊥α，則m⊥n

C.若m⊥n，n⊥α，則m//α D.若α//β，m?α，m//n，則n//β5.已知點A(1,?2,11)，B(4,2,3)，C(6,?1,4)，則△ABC的形狀是(

)A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是BA.MN⊥CC1 B.MN⊥平面ACC1A1

C.7.a=cos50°cos127°+cos40°sin127°，b=22(sin56°?cos56°)，c=1?tanA.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b8.設(shè)a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA?sinC)，設(shè)D是BC邊的中點，且△ABC的面積為3，則AB?A.2 B.4 C.?4 D.?2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是(

)A.兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a=(2,3,?1)，b=(?2,?3,1)，則l1//l2

B.直線l的方向向量a=(1,?1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,?1)，則l⊥α

C.兩個不同的平面α，β的法向量分別是u=(2,2,?1)，v=(?3,4,2)，則α⊥β10.關(guān)于函數(shù)f(x)=3cos2A.f(x)的最小正周期為π

B.f(x)的最大值為1+32

C.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[?π1211.已知矩形ABCD，AB=5，BC=2，將△ADC沿對角線AC進行翻折，得到三棱錐D?ABC，在翻折的過程中下列結(jié)成立的是(

)A.三棱錐D?ABC的體積最大值為109

B.三棱錐D?ABC的外接球體積不變

C.異面直線AB與CD所成角的最大值為90°

D.AD與平面ABC所成角的余弦值最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知sin(α+π4)=13.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S?ABCD，該四棱錐的體積為423，則該半球的表面積為______．

14.在△ABC中，∠BAC=π4，已知BC邊上的中線AD=3，則△ABC面積的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知空間中三點A(?1,2,1)，B(1,2,1)，C(?1,6,4)

(1)求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

(2)若向量a分別與向量AB，AC垂直，且|a|=1016.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥面ABCD，PD=DA=2，F(xiàn)，E分別為AD，PC的中點．

(1)證明：DE//面PFB.

(2)求點E到平面PFB的距離．

17.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2?c2=2ab．

(1)18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB，證明：AD//平面PBC；

(2)若AD⊥DC，且二面角A?CP?D的正弦值為427，求19.(本小題17分)

如圖多面體ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，EF//BC，且EF=34BC=3，H，G分別為CE，CD的中點．

(Ⅰ)證明：BF⊥AD；

(Ⅱ)求平面BCEF與平面FGH所成角的余弦值；

(Ⅲ)作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AD交點為P，寫出APAD的值(不需要說明理由，保留作圖痕跡

參考答案1.B

2.B

3.B

4.B

5.B

6.C

7.D

8.A

9.AC

10.ABC

11.ABD

12.?713.6π

14.915.解：(1)AB=(2,0,0)，AC=(0,4,3)，

∴AB?AC=0，∴AB⊥AC，

又|AB|=2，|AC|=5，

∴以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S=2×5=10．

(2)設(shè)a=(x,y,z)，則a?AB=2x=0，a?AC16.(1)證明：以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意知：A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(1,0,0)

FP=(?1,0,2),FB=(1,2,0)，DE=(0,1,1)，

設(shè)平面PFB的法向量n=(x,y,z)，

則n?FP=?x+2z=0n?FB=x+2y=0，取x=2，得n=(2,?1,1)，

∵DE?n=0，DE不在平面PFB內(nèi)，

∴DE//面PFB．

(2)解：∵PE=(0,1,?1)，平面PFB的一個法向量n=(2,?1,1)，17.解：(1)因為a2+b2?c2=2ab，所以由余弦定理得cosC=a2+b2?c22ab=2ab2ab=22，

而C∈(0,π)，因此C=π4．

又因為sinC=2cosB，所以sinπ4=2cosB，即22=2cosB，解得cos18.(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，

又因為AD⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

又AB?平面PAB，所以AD⊥AB，

因為AB=3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，

于是AD//BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC．

所以AD//平面PBC．

(2)因為AD⊥DC，以D為原點，分別以DA，DC，為x，y軸，過點D作PA的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=a>0，則DC=4?a2，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0,4?a2,0)，P(a,0,2)，

設(shè)平面DCP的一個法向量n1=(x1,y1,z1)，因為DC=0,4?a2,0，DP=a,0,2，

所以由DC·n1=0DP·n1=019.(Ⅰ)證明：取AB的中點O，連接OF，OG，

因為△FAB為等邊三角形，

所以O(shè)F⊥AB，

又面FAB⊥面ABCD，面FAB∩面ABCD=AB，OF?平面FAB，

所以O(shè)F⊥平面ABCD，

因為AD?平面ABCD，所以O(shè)F⊥AD，

又正方形ABCD，所以AB⊥AD，

因為OF∩AB=O，OF、AB?平面FAB，

所以AD⊥平面FAB，

又BF?平面FAB，所以BF⊥AD．

(Ⅱ)解：因為O，G分別為AB，CD的中點，

所以O(shè)G//AD，

又AB⊥AD，所以O(shè)G⊥AB，

由(Ⅰ)知，OF⊥平面ABCD，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(xiàn)(0,0,23)，E(0,3,23)，H(1,72,3)，G(0,4,0)，

所以BC=(0,4,0)，BF=(?2,0,23)，F(xiàn)H=(1,72,?3)，F(xiàn)G=(0,4,?23)，

設(shè)平面BCEF的法向量為m=(x,y,z)，則m?BC=0m?BF=0，即4y=0?2x+23z=0，

令z=1，則x=3，y=0，所以m=(3,0