重點高中數(shù)學(xué)講義微04 函數(shù)值域的求法

微專題04求函數(shù)的值域

作為函數(shù)三要素之一，函數(shù)的值域也是高考中的一個重要考點，并且值域問題通常會滲透

在各類題目之中，成為解題過程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，當需要求函數(shù)

的取值范圍時便可抓住解析式的特點，尋找對應(yīng)的方法從容解決。

一、基礎(chǔ)知識：

1、求值域的步驟：

(1)確定函數(shù)的定義域

(2)分析解析式的特點，并尋找相對應(yīng)的方法(此為關(guān)鍵步驟)

(3)計算出函數(shù)的值域

2、求值域的常用工具：盡管在有些時候，求值域就像神仙施法念口訣一樣，一種解析式特點

對應(yīng)一個求值域的方法，只要掌握每種方法并將所求函數(shù)歸好類即可操作，但也要掌握一些

常用的思路與工具。

(1)函數(shù)的單調(diào)性：決定函數(shù)圖像的形狀，同時對函數(shù)的值域起到?jīng)Q定性作用。若/(x)為

單調(diào)函數(shù)，則在邊界處取得最值(臨界值)。

(2)函數(shù)的圖像(數(shù)形結(jié)合)：如果能作出函數(shù)的圖像，那么值域便一目了然

(3)換元法：/(x)的解析式中可將關(guān)于x的表達式視為一個整體，通過換元可將函數(shù)解析

式化歸為可求值域的形式。

(4)最值法：如果函數(shù)“X)在可連續(xù)，且可求出/(x)的最大最小值則“X)的

值域為

注：一定在/(X)連續(xù)的前提下，才可用最值來解得值域

3、常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時，通?？梢酝ㄟ^數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖像將值

域解出，熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復(fù)雜的解析式通過變形與換元向常見函數(shù)進行化

歸。

(1)一次函數(shù)(y="+6)：一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點來

確定值域

(2)二次函數(shù)('=辦2+法+。)：二次函數(shù)的圖像為拋物線，通常可進行配方確定函數(shù)的

對稱軸，然后利用圖像進行求解。(關(guān)鍵點：①拋物線開口方向，②頂點是否在區(qū)間內(nèi))

例：/(x)=x2—2x—3,xe[—1,4]

解：/(%)=(X-1)2-4

二對稱軸為：x=l

/./(x)e[-4,5]

(3)反比例函數(shù)：y^-\

X

(1)圖像關(guān)于原點中心對稱

(2)當X—>+oo,y-0

當x—>TO,y-0

(4)對勾函數(shù)：y=x+—(6f>0)

x

①解析式特點：X的系數(shù)為1；a>0

注：因為此類函數(shù)的值域與。相關(guān)，求。的值時要先保證X的

系數(shù)為1,再去確定。的值

4

例：y=2x+—,并不能直接確定4=4,而是先耍變衫力

X

y=+,再求得a=2

②極值點：x=4a,x=-y[aZ|

③極值點坐標：

(后,2夜-祈,-2&)

④定義域：(-00,0)0(0,+°°)

⑤自然定義域下的值域：(-00,—2-VflJ(J+8)

注意與對勾函數(shù)進行對比/

(5)函數(shù)：y-x——(a>0)

a>0/1/

①解析式特點：X的系數(shù)為1；

m/一

②函數(shù)的零點：x=：

③值域：R

(5)指數(shù)函數(shù)(y=a')：其函數(shù)圖像分為。>1與0<a<l兩

種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域為「1

(0,+8)

(6)對數(shù)函數(shù)(y=log〃x)其函數(shù)圖像分為。>1與

0<。<1兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域“：\f(x)=log；(a>l)

下的值域為(0,+8)

(7)分式函數(shù)：分式函數(shù)的形式較多，所以在本節(jié)最后會對分式函數(shù)值域的求法進行詳細說

明(見附)

二、典型例題：將介紹求值域的幾種方法，并通過例題進行體現(xiàn)

1、換元法：將函數(shù)解析式中關(guān)于x的部分表達式視為一個整體，并用新元f代替，將解析式

化歸為熟悉的函數(shù)，進而解出值域

(1)在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值

范圍

(2)換元的作用有兩個：

①通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，

換元后即可"消滅”根式，達到簡化解析式的目的

②化歸：可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會求值域的函數(shù)進行處理

(3)換元的過程本質(zhì)上是對研究對象進行重新選擇的過程，在有些函數(shù)解析式中明顯每一項

都是與x的某個表達式有關(guān)，那么自然將這個表達式視為研究對象。

(4)換元也是將函數(shù)拆為兩個函數(shù)復(fù)合的過程。在高中階段，與指對數(shù)，三角函數(shù)相關(guān)的常

見的復(fù)合函數(shù)分為兩種

①y=af(x\y=log?[/(x)],y=sin[/(x)]：此類問題通常以指對，三角作為主要結(jié)構(gòu)，

在求值域時可先確定/(x)的范圍，再求出函數(shù)的范圍

②y=/(a'),y=/(log.x),y=/(sinx)：此類函數(shù)的解析式會充斥的大量括號里的項,

所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為y=/?)的形式，然后求值域即可。當然要注意有些解析式中

的項不是直接給出，而是可作轉(zhuǎn)化：例如^=4*-2.|-8可轉(zhuǎn)化為丁=(2,)2—2-2、—8,

從而可確定研究對象為t=2*

例1：函數(shù)〃x)=2x—的值域是()

b、「17)「51「15、

A.[0,+oo)B.三+0cJC.-,+℃ID.y,+°oI

思路：解析式中只含一個根式，所以可將其視為一個整體換元，從而將解析式轉(zhuǎn)為二次函數(shù),

求得值域即可。

解：“X)的定義域為[1,+00)

令r=y/x-l>0,則x=產(chǎn)+1

?.?re[0,+oo)

??./'(%)的值域為^,+00^

1

例2(1)函數(shù)y=3口的值域為()

A.(0,+oo)B.(0,1)U(l,+°°)C.{x|x#l}D.(l,+oo)

⑵函數(shù)/(x)=4*-2加一8,xe[-2,2]的值域為

x+1

(3)函數(shù)y=In上e二」的值域為

ex

思路：(1)本題可視為y=3,⑴的形式，所以可將指數(shù)進行換元，從而轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)值域

問題：令f=」一，則t€(-oo,0)U(0,”)，所以可得y=3'e(0,l)U(L”)

x-I

(2)如前文所說，/(x)=4V-2v+,-8=(2r)2-2-2X-8,將2,視為一個整體令，=2,,

則可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得值域

xA+IA2v

解：/(X)=4-2-8=(2)-2-2-8

令f=2"vxG[-2,2]

-I/

t￡—,4

_4_

y=r2-2r-8=(/-l)2-9

.?./(x)的值域為[—9,0]

(3)所求函數(shù)為的形式，所以求得匚?■的范圍，再取對數(shù)即可。對三上|進行

x+\2

變形可得：—e—=1+——,從而將產(chǎn)一1視為一個整體，即可轉(zhuǎn)為反比例函數(shù)，從而求

e'—1e'—]

得范圍

解：定義域：e*-l〉0=>xe(0,+oo)

H=l+-72—

令，=e"-l/.re(0,+oo)

e'—1ex—1

+—G(1,-boo)

y=ln^7^-e(0,+oo)

e—1

答案：(1)B(2)[-9,0](3)(0,4-oo)

例3：已知函數(shù)〃%)=3+log2%,X￡[l,4],則g(x)=/(巧一[/⑴丁的值域為()

A.[-18,-2]B.[―11,—6]C.[—18,6]D.[—11,—2]

22

思路：依題意可知g(x)=3+k>g2%2-(3+log2x)=-(log2x)-41og2x-6,所以可將

10g2不視為一個整體換元，從而將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但本題要注意的是g(x)的定

r2

義域，由已知/(X)的定義域為[1,4],則g(x)=的定義域為：,][“<；，

解得：xe[l,2],而不是[1,4]

2

解：g(x)=3+log2x-(3+log2x)~

=3+21og,x-(log,A:)-+61og,x+9

2

=-(log2x)-41og2x-6

?."(x)的定義域為[1,4],且g(x)=f(f)一[/(x)了

.?J1-"2-4,解得：xe[1,2]

[l<x<4L1

^-t=Iog2x,則

:.y^-r-4r-6=-(f+2)2-2

ye[-11,-6],即g(x)的值域為[-11,-6]

答案：C

2、數(shù)形結(jié)合：即作出函數(shù)的圖像，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常

會考慮進行數(shù)形結(jié)合

(1)分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但

對于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計算值域。

(2)/(x)的函數(shù)值為多個函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時需將多個函數(shù)作于同一坐

標系中，然后確定靠下(或靠上)的部分為該/(x)函數(shù)的圖像，從而利用圖像求得函數(shù)的

值域

(3)函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關(guān)知識進行聯(lián)系，數(shù)形

結(jié)合求得值域，如：分式一直線的斜率；被開方數(shù)為平方和的根式一兩點間距離公式

例4：(1)設(shè)函數(shù)y=/(x)定義域為R,對給定正數(shù)/，定義函數(shù)

九(x)=<則稱函數(shù)fM(x)為/(x)的“攣生函數(shù)”,若給定函數(shù)

/、2—,—24x<0/、

/(》)={v,M=1,則y=_4(x)的值域為()

2"—l,x>0

A.[—2,1]B.[—1,2]C.(—8,2]D.(―8,—1]

⑵定義min{a,),c}為中的最小值，設(shè)〃x)=min{2x+3,x2+1,5-34則/(x)

的最大值是__________

思路：(1)根據(jù)“攣生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點，即以y=M為,

分界線，/(x)圖像在y=M下方的圖像不變，在M上方的圖像則變/

為丁=加，通過作圖即可得到九(x)的值域為[-2,1]

(2)本題若利用min{a,O,c}的定義將/(x)轉(zhuǎn)為分段函數(shù)，則需要對

三個式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進行數(shù)形結(jié)合，將三個解析式

的圖像作在同一坐標系下，則/(龍)為三段函數(shù)圖像中靠下的部分，從

而通過數(shù)形結(jié)合可得/(x)的最大值點為y=/+l與y=5-3x在

第一象限的交點，即/―=>i一，所以“X)=2

y=5-3x[y=2八小

答案：(1)A(2)2

2222

例5：已知函數(shù)/(x)=x—2(tz+2)x+c/,<g(x)=—x+2(tz—2)x—tz+8,設(shè)

H](x)=max{/(x),g(x)},“2(x)=min{/(x),g(x)},(其中max{p,q}表示p,q中的較

大值，min{p,q}表示p,<7中的較小值)記4(x)的值

域為A,”2(%)的值域為心則An3=

思路：由"/x),"2(x)的定義可想到其圖像特點，即若將/(x),g(x)的圖像作在同一坐標

系中，那么為/(x),g(x)圖像中位于上方的部分，而心口)為/(x),g(x)圖像中位

/(%)=[x-(a+2)1-4a-4

于下方的部分。對/(x),g(x)配方可得：其中

^(x)=-[x-(a-2)]"-4a+12

-4a-4<^a+l2,故g(x)的頂點在/(x)頂點的上方。由圖像可得：褐色部分為“"x)

的圖像，紅色部分為“2(x)的圖像，其值域與/(x),g(x)的交點有關(guān)，即各自的頂點

(a-2,4+12),(a+2,-4a-4),所以耳(力的值域4=[4-4,+8),也(%)的值域

5=(-oo,-4a+12]o從而An8=[-4a-4,-4a+12]

答案：［-4a-4,-4a+12］

例6：(1)函數(shù)y=1^9,xe［2,4］的值域為

(2)函數(shù)y=Jf+4+Vx2-2x4-10的值域為

思路：(1)函數(shù)為分式，但無法用“變形+換元”的方式進行處理，雖然可以用導(dǎo)數(shù)，但求導(dǎo)后

需對分子的符號進行進一步研究。那么換一個視角，從分式的特點可聯(lián)想到直線的斜率，即y

是(x,x如x)與定點(1,一3)連線的斜率,那么只需在坐標系

中作出/(x)=xlnx在［2,4］的圖像與定點(1,一3),觀察曲

線上的點與定點連線斜率的取值范圍即可

解：所求函數(shù)y是(x,xlnx)與定點(1,一3)連線的斜率

設(shè)/(X)=xlnx

/./(x)=l+lnx,當xe［2,4］時，./恒成立

."./(X)為增函數(shù)/(2)=21n2,/(4)=41n4=8In2

設(shè)曲線上兩點A(2,21n2),3(4,81n2)定點C(l,一3)

81n2+3

k=2In2+3,凝0

AC3

81n2,

ye[kBC,kAC]=21n2+3,----+1

3

(2)思路：y=>/廠+4+x~—2x+10=Jx*"+2"+—1)~+3一，所以y可視為點

(X,0)到點(0,2),(1,3)距離和的取值范圍。結(jié)合圖形可利用對稱性

求出其最小值，且當動點向x軸兩側(cè)運動時，其距離和趨向無窮大，

進而得到值域。

解：

y=Jf+4+VX2-2X+10=次+(0—2)2+—+(()_,

y為動點P(x,0)到點4(0,2),3(1,3)距離和，即y=|P4|+1PB\

作A點關(guān)于x軸的對稱點A(0,-2)

:.\P^+\PB\=\PA\+\PB\>\AB\=y/26(等號成立條件:P,A,8共線)

當xf+oo或xf-oo時，|24|+|尸網(wǎng)—>+oo

函數(shù)的值域為［后,+oo)

小煉有話說：本題在選擇點時要盡量讓更少的點參與進來簡化問題，所以要抓住兩個距離共

同的特點(例如本題中都抓住含根式中的x,0,所以找到了一個共同的動點(x,0))

答案：(1)21n2+3,^^+1(2)［V26,+oo)

3、函數(shù)單調(diào)性：如果一個函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性(增、減)即可快速求出

函數(shù)的值域

(D判斷函數(shù)單調(diào)性的方法與結(jié)論：

①增+增-增減+減—減

(—l)x增.減若函數(shù)的符號恒正或恒負，則］一減

②復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］可拆成y=/(f)j=g(x),則若

y=/()r=g(x)的單調(diào)性相同，則y=/［g(x)］單調(diào)遞增；若y=")"=g(x)的單調(diào)

性相反，則y=.f［g(x)］單調(diào)遞減

③利用導(dǎo)數(shù)：設(shè)圖像不含水平線的函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)/‘(X)，則/'(x)NO=/(x)單增；

/'(x)WO=/(x)單減

(2)在利用單調(diào)性求值域時，若定義域有一側(cè)趨近于+8或-00,則要估計當Xf+8或

XffO時，函數(shù)值是向一個常數(shù)無限接近還是也趨近于+8或-8(即函數(shù)圖象是否有水平

漸近線),；同樣若/(x)的定義域摳去了某點或有一側(cè)取不到邊界，如司，則要確定

當xfa時，/(X)的值是接近與一個常數(shù)(即臨界值)還是趨向+8或-8(即函數(shù)圖象是

否有豎直漸近線)，這樣可以使得值域更加準確

例7：(1)函數(shù)/(x)=Jl-x+\/x+3-l的值域為()

A.[-3,1]B,[-l,+oo)C,[2,2&]D.[1,272-1]

(2)函數(shù)/(x)=土=]一：的值域為()

-8,1]C.(0,1]D.[0,1]

(3)函數(shù)/(x)=￥-2*+5的值域為

—2+1

思路：(1)函數(shù)的定義域為[-3,1],含有雙根式，所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題，但/(x)

的導(dǎo)數(shù)/(X)=較易分析出單調(diào)性，所以考慮利用導(dǎo)數(shù)求出/(無)的單調(diào)區(qū)

間，從而求得最值

■/\11Jx+3y/\—x

2\J\-x2\jx+3-x-Jx+3

令/(x)>0即解不等式：J舌

x+3>1—x——z*x>—1

.?./(用在(—3,—1)單調(diào)減，在(—1,1)單調(diào)遞增

=2夜-1J(-3)=1J⑴=1

.?./(X)的值域為[1,2血—1]

小煉有話說：本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù)，

//----\2/i-----\2I>/1—x=2sinctIJ1-xN0

所以想到Jl-x+J%+3=4,從而可設(shè)《i,由《i____可知

ae0,—,所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求y=2sina+2cosc—1的值域，從而有

y-25/2sinj-1,由ae0,y可求得ye[1,2夜一1]。由此題可知：含雙根式的

函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過三角換元轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問題

(2)思路：函數(shù)的定義域為xWl,從而發(fā)現(xiàn)|1一目=1一%，所以函數(shù)的解析式為

/(^)=X-yJl-X,觀察可得/(X)為增函數(shù)，且XfYO時，/(X)—所以當

XC(-00,1]時，/(X)的值域為(-00,1]

小煉有話說：①本題中函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降幕営袠O大的促進作用。所以在求函數(shù)的值

域時，若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊，則先確定其定義域

②本題也可用換元法，設(shè)，=>/二7后即可將函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求值域，但不如觀察單調(diào)性

求解簡便。

(3)思路：先確定函數(shù)的定義域：I2>0=>1€1,彳，/(x)為分式且含有根式，求

導(dǎo)則導(dǎo)函數(shù)較為復(fù)雜。觀察分子分母可知：J3—2x+5>0且關(guān)于x單減,V2x-2+l>0

jIdCI<~-

且關(guān)于X單增，即「=——單減，所以/(x)=,———為減函數(shù)，由xw1,—可知

J2--2+1'7V2x-2+lL2J

/(x)的值域為|,6

小煉有話說：在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增一增”，那么如果一個函數(shù)可表示為兩個函數(shù)的

乘法，例如〃(x)=/(x>g(x),則當/(x),g(x)均為增(減)函數(shù)，且/(x),g(x)恒大

于0,才能得到〃(x)為增(減)函數(shù)

答案：(1)D(2)B(3)-,6

_2_

4、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數(shù)，將其視為一個含參數(shù)y的關(guān)于x的方程

E(x,y)=0。由函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可知，對于值域中的任一值y,必能在定義域中找到與之對

應(yīng)的X。這個特點反應(yīng)在方程中，即為若先在值域中，則關(guān)于x的方程/?(%')=0在'=%

時只要有一個根。從而將求值域問題轉(zhuǎn)化為“y取何值時，方程尸(x,y)=0有解''的問題。利

用方程的特點即可列出關(guān)于y的條件，進而解出y的范圍即值域

2x+4x-7

例8：(1)函數(shù)y=/X的值域為()

x+2x+3

（2）函數(shù)y=‘ml的值域為

cosx+2

思路：（1）觀察分式特點可發(fā)現(xiàn)若將去掉分母后可構(gòu)造為一個關(guān)于x的二次方程（其中y為

參數(shù)）：（y-2）d+（2y—4）x+3y+7=0,因為函數(shù)的定義域為H,所以y的取值要求

只是讓方程有解即可，首先對最高次數(shù)系數(shù)是否為0進行分類討論：當y=2,方程為13=0,

無解；當yx2時，二次方程有解的條件為AN0,即得到關(guān)于y的不等式，求解即可

.,2x~+4x—7_,

解：由y=1-----------可得:

-J+2x+3

x2y+2xy+3y=2x2+4x-7

.?.（y—2）/+（2y-4）x+3y+7=0

?.?/+2x+3=（x+1）?+2〉0函數(shù)的定義域為R

y的取值只需讓方程有解即可

當y=2時，13=0不成立，故舍去

當yw2時，A=（2y—4）'—4（y—2）（3y+7）＞0

即:（2y+9）（y-2）＜0

—Wy＜2

2

綜上所述：函數(shù)的值域為-|,2）

小煉有話說：①對于二次分式，若函數(shù)的定義域為R,則可像例8這樣通過方程思想，將值

域問題轉(zhuǎn)化為“y取何值時方程有解“，然后利用二次方程根的判定△20得到關(guān)于y的不等式

從而求解，這種方法也稱為“判別式法”

②若函數(shù)的定義域不是H,而是一個限定區(qū)間（例如可），那么如果也想按方程的思想處

理，那么要解決的問題轉(zhuǎn)化為：“y取何值時，方程在可有根”，對于二次方程就變?yōu)榱烁?/p>

分布問題，但因為只要方程有根就行，會按根的個數(shù)進行比較復(fù)雜的分類討論，所以此類問

題通常利用分式的變形與換元進行解決(詳見附)

(2)本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含sinx或cosx的形式，考慮去分母得：sinx-ycosx=2y+1

則y的取值只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點可想到俯角公式，從而得到

Jl+Vsin(x+°)=(2y+1)=>sin(x+°)=卒上L,可知方程有解的條件為：

71+/

+：卜1,解出y的范圍即為值域

解：丁=sinx-l的定義域為E

cosx+2

rsinx-1-.?

且y=----------=>ycosx+2y=sinx-1

cosx+2

sinx—ycosx=2y+1

.??J1+y2sin（x+〈）=（2y+l）,BPsin（x-F^）=+其中tan°=-y

Ji+V

因為該方程有解

???|<l=>（2y+l）2=l+y2

,r4

/.3y~+4j<0=>je,0

小煉有話說：本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結(jié)合進行解決，把分式視為

(cosx,sinx),(—2,1)連線斜率的問題，從而將問題轉(zhuǎn)化為定點(一2,1)與單位圓上點連線斜率

的取值范圍。作圖求解即可。本類型運用方程思想處理的局限性在于輔角公式與y的取值相

關(guān)，不過因為xeR,所以均能保證只要sin(x+e)在中，則必有解。但如果本題對x

的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出)的不等式，所以還是用數(shù)形結(jié)合比較方便

「41

答案：(DD(2)—,0

L3J

以上為求值域的四種常見方法，與求函數(shù)的理念息息相關(guān)，有些函數(shù)也許有多種解法，

或是在求值域的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數(shù)值域問題時，能迅

速抓住解析式的特點，找到突破口，靈活運用各種方法處理問題。

例9：已知函數(shù)丁=愴卜2+2%+/”)的值域為/?,則機的取值范圍是()

A.m>\B.m>1C.m<1D.me/?

思路：本題可視為y=Igf/=x?+2x+〃z的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的值域為R,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)可知f應(yīng)取遍所有的正數(shù)(定義域可不為R),即若函數(shù)/=%2+2%+m的值域為4,則

(0,4w)cA,由二次函數(shù)的圖像可知，當ANO時，可滿足以上要求。所以A=4—4加20

解得m<1

答案：C

例10：在計算機的算法語言中有一種函數(shù)[x]叫做取整函數(shù)(也稱高斯函數(shù))，[x]表示不超

2*I

過x的最大整數(shù)，例如：[2]=2,[3.1]=3,[-2.6]=-3,設(shè)函數(shù)“尢卜二^一相則函數(shù)

y=[f(x)]+[/(-%)]的值域為()

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,0}

思路：按[刃的定義可知，若要求出[x],則要將確定里面x的范圍，所以若求

y=[/(x)]+[/(-%)]的值域，則要知道/(%),/(-x)的范圍。觀察到

y="(x)]+[/(-x)]為偶函數(shù)，所以只需找到x>0的值域即可，

/(一上』2T一91\/-T’/(上方2X一91品2X-丁1即成

立，所以/(X)為奇函數(shù)，只需確定了(X)的范圍即可。對/(X)中的分式進行分離常數(shù)可得:

=；—當x>。時，2、+142,”)，從而白7d0,；),所以

乙乙III4I■!\J

,由/(-x)=-/(x)ef-1,oj?即[/(切=0,[/(一叫=一1,可得

y--l,再利用偶函數(shù)性質(zhì)可得x<0時，y=-lo當x=0時，f(x)=f(-x)-0,所以

y=0,綜上所述：y=[/(x)]+[/(—x)]的值域為{—1,0}

答案：B

小煉有話說：(1)本題在處理值域時，函數(shù)奇偶性的運用大量簡化了運算。首先判斷出所求

函數(shù)為偶函數(shù)，所以關(guān)于y軸對稱的兩部分值域相同，進而只需考慮x>0的情況。另外從解

析式的特點判斷出/(x)為奇函數(shù)，從而只需計算/(x)的范圍，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)推出

/(-X)的范圍。所以在求函數(shù)值域時，若能通過觀察或簡單的變形判斷出函數(shù)具備奇偶的性

質(zhì)，則解題過程能夠達到事半功倍的效果。

⑵本題在判斷“X）的奇偶性時，由."2'2很難直接看出了（x）j（r）之

/（%）=—---

I'，1+2'2

間的聯(lián)系，但通過“通分”即可得到<、,奇偶性立即可見；在求/（X）的范

/（-X）=-7V

八）20+2,）

2X-1

圍時，利用/'（*）=、-----7的形式，分式較為復(fù)雜，分子分母均含變量，不易確定其范圍。

-2（1+2，）

但通過“分離常數(shù)''得到/（力=；-5匕則非常便于求其范圍。由以上的對比可知，在判斷

奇偶性或者分式的符號時，通常一個大分式較為方便；在求得分式函數(shù)值域時，往往通過“分

離常數(shù)”的手段簡化分式中的分子，從而便于求得范圍

附：分式函數(shù)值域的求法：

分式函數(shù)也是高中所學(xué)函數(shù)的一個重要分支，求解分式函數(shù)的值域也考查了學(xué)生分式變形

的能力以及能否將分式化歸為可求值域的形式，學(xué)會求分式函數(shù)值域也是處理解析幾何中范

圍問題的重要工具。求分式函數(shù)值域的方法很多，甚至也可以考慮對函數(shù)進行求導(dǎo)，但相對

計算量較大，本節(jié)主要介紹的方式為如何通過對分式函數(shù)進行變形，并用換元的方式將其轉(zhuǎn)

化為熟悉的函數(shù)進行求解。

一、所用到的三個函數(shù)（其性質(zhì)已在前文介紹）

1、反比例函數(shù)：y=-

X

2、對勾函數(shù)：y=x+-（fl>0）

X

3、函數(shù)：y=x--（?>0）注意與對勾函數(shù)進行對比

x

二、分式函數(shù)值域的求法

請看下面這個例子：

求y=3+Lxe[l,2]的值域

思路：此函數(shù)可看為工的結(jié)果再加上3所得，故可利用反比例函數(shù)求出1的范圍，再得到值

XX

域

;.y=3+—,4

解：VXG[1,2]—e1

xrX2

問題不難，但觀察可發(fā)現(xiàn)：y=3+^=2匚匕'，所以當遇到的函數(shù)為了=2山，總可以將

XXX

分子的每一項均除以分母，從而轉(zhuǎn)化為y=3+，進行求解。由此得到第一個結(jié)論：

X

對于形如"X)=竺土2的函數(shù)，總可以變換成=a+々轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)進行求解。

注：如果在分式中，分子的表達式可將一部分構(gòu)造為分母的形式，則可用這部分除以