2.1.3基本不等式的應(yīng)用

2.1.3基本不等式的應(yīng)用題型一利用基本不等式模型求最值1．已知一個(gè)直角三角形的面積為16，則該三角形周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的面積公式考慮設(shè)直角邊為、，利用均值不等式解得最小值為.【詳解】設(shè)三角形的兩條直角邊長為、，可得，三角形的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故選：C2．某公司一年購買某種貨物500噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為5萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元，則一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和的最小值為（

）A．200萬元 B．300萬元 C．400萬元 D．500萬元【答案】B【分析】根據(jù)題意列式利用基本不等式運(yùn)算得解.【詳解】由題意可得，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和的最小值為300萬元．故選：B.3（多選題）．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，下列說法正確的是（

）A．糖水加糖更甜可用式于表示，其中，B．當(dāng)時(shí)，的最小值為4C．若，，，則D．若，則的最小值為6【答案】BCD【分析】利用基本不等式比較大小，注意取等號的條件.【詳解】對于A，當(dāng)，，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)糖水不等式不成立，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，故D正確．故選：BCD4．若，則有最大值為．【答案】/0.25【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋@然當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以有最大值為.故答案為：.5．若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是.【答案】【分析】由基本不等式得到，將代入，求出最小值.【詳解】因?yàn)椋苫静坏仁降?，即，解得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故答案為：題型二基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用1．如圖，某燈光設(shè)計(jì)公司生產(chǎn)一種長方形線路板，長方形的周長為4，沿折疊使點(diǎn)B到點(diǎn)位置，交于點(diǎn)P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)用電最少，則用電最少時(shí)，的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】如圖，設(shè)，由矩形的周長為4，可知．設(shè)，則．，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．所以的面積．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的面積最大，面積的最大值為，故選：B．2．某廠計(jì)劃建造一個(gè)容積為，深為的長方體無蓋水池.若池底的造價(jià)為元每平方米，池壁的造價(jià)為元每平方米，則這個(gè)水池的最低造價(jià)為元.【答案】【分析】設(shè)水池池底的一邊長為，則另一邊長為，由題意表示出總造價(jià)的函數(shù)式，化簡后可利用基本不等式求出最小值，注意判斷取最值時(shí)的取值是否存在.【詳解】因?yàn)樗氐娜莘e為，深為，所以底面積為，設(shè)水池池底的一邊長為，則另一邊長為，則總造價(jià)（元）.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值為.所以水池的最低造價(jià)為元.故答案為：.3．如圖，某人沿圍墻修建一個(gè)直角梯形花壇，設(shè)直角邊米，米，若米，問當(dāng)米時(shí)，直角梯形花壇的面積最大．

【答案】【分析】先求出面積的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得解.【詳解】由題意米，則直角梯形花壇的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以當(dāng)米時(shí)，直角梯形花壇的面積最大．故答案為：.4．某公園為了美化游園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為750的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹?郁金香?月季（其中區(qū)域的形狀?大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.(1)用含有的代數(shù)式表示，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大？【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大.【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)矩形花園的長為，由條件可得，即可得到結(jié)果；（2）由（1）中的結(jié)論可得鮮花種植的總面積為與矩形花園的一條邊長的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)矩形花園的長為，矩形花園的總面積為，，可得，又陰影部分是寬度為的小路，可得，可得，即關(guān)于的關(guān)系式為.（2）由（1）知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，當(dāng)時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.5．某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5米，房屋正面的造價(jià)為400元/平方米，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/平方米，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5800元，如果墻高為3米，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用，當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少元？【答案】當(dāng)側(cè)面的長度為4米時(shí)，總造價(jià)最低．最低總造價(jià)是13000元【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】由題可知因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以在時(shí)取最小值，于是當(dāng)側(cè)面的長度為米時(shí)，總造價(jià)最低．最低總造價(jià)是元．6．輛貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時(shí)速都是千米/時(shí)，為安全起見，要求每兩輛貨車的間隔等于千米（為常數(shù)，，貨車長度忽略不計(jì)）.(1)將第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達(dá)站所需時(shí)間表示成的函數(shù)；(2)當(dāng)取何值時(shí)，有最小值.【答案】(1)；(2)千米/時(shí).【分析】（1）計(jì)算出最后一輛車行駛的總路程，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用基本不等式求得的最小值及其對應(yīng)的的值.【詳解】（1）解：因?yàn)檩v貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時(shí)速都是千米/時(shí)，且每兩輛貨車的間隔等于千米，第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達(dá)站，最后一輛車行駛的總路程為千米，所以，.（2）解：因?yàn)?，其中，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)千米/時(shí)，等號成立，所以，當(dāng)千米/時(shí)，取最小值.7．如圖，高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為400m2的十字形地域.計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為8400元/m2；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為420元/m2；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為160元/m2.設(shè)總造價(jià)為y（單位：元），AD長為x（單位：m）.(1)用x表示AM的長度，并求x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y最?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最小值.【答案】(1)；(2)，最小值為472000元.【分析】（1）由題意可得矩形的面積，即可得出；（2）先表示出總造價(jià)y，再由基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意可得，矩形的面積為,因此，∵，∴.（2），，由基本不等式y(tǒng)472000，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)，等號成立，故當(dāng)x時(shí)，總造價(jià)y最小，最小值為472000元.1．兩次購買同一種物品，不考慮物品價(jià)格的升降（假設(shè)第一次價(jià)格為，第二次價(jià)格為）可以用兩種不同的策略，第一種是每次購買這種物品數(shù)量一定;第二種是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，哪種購物方式比較經(jīng)濟(jì)（

）A．第一種 B．第二種 C．都一樣 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，為正數(shù)，且，第一種方式購買的平均價(jià)格為，第二種方式，設(shè)每次購買的花費(fèi)為，則購買的平均價(jià)格為，由基本不等式得，所以選第二種方式比較經(jīng)濟(jì).故選：B2．若，，且，則的最小值為．【答案】6【分析】由題意可得，利用基本不等式計(jì)算可得，即，即可求解.【詳解】由，得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.則，故，解得或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值為6.故答案為：63．第十九屆亞運(yùn)會于2023年9月23日在杭州舉辦，本屆亞運(yùn)會吉祥物是一套名為“江南憶”的三個(gè)機(jī)器人模型，三個(gè)機(jī)器人模型分別取名“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.某公益團(tuán)隊(duì)聯(lián)系亞運(yùn)會組委會計(jì)劃舉辦一場吉祥物商品展銷會，成套出售“江南憶”，將所獲利潤全部用于體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場調(diào)查：每套吉祥物紀(jì)念品的供貨價(jià)格分為固定價(jià)格和浮動價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為60元，（單位：元，其中銷售量單位為：萬套）.而當(dāng)每套吉祥物售價(jià)定為x元時(shí)，銷售量可達(dá)到萬套.注：利潤＝（售價(jià)－供貨價(jià)格）×銷售量（不計(jì)其他成本）(1)每套吉祥物紀(jì)念品售價(jià)為125元時(shí)，能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套吉祥物紀(jì)念品售價(jià)為多少元時(shí)，單套吉祥物的利潤最大？并求出最大值.【答案】(1)320;(2)售價(jià)為145元，利潤最大，最大值為80元.【分析】（1）代入數(shù)值，求出銷售量與單價(jià)，即可得出答案；（2）設(shè)單套售價(jià)為元，根據(jù)已知表示出單套利潤，根據(jù)基本不等式求解，即可得出答案.【詳解】（1）每套吉祥物紀(jì)念品售價(jià)為125元時(shí)，銷售量為（萬套），供貨單價(jià)為（元），總利潤為（萬元）.（2）設(shè)單套售價(jià)為元，此時(shí)銷售量為萬套，供貨價(jià)格為元，同時(shí)，所以.所以單套利潤為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.所以每套吉祥物售價(jià)為145元時(shí)，單套的利潤最大，最大值是80元.4．用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個(gè)面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成