2.1.3基本不等式的應用

2.1.3基本不等式的應用題型一利用基本不等式模型求最值1．已知一個直角三角形的面積為16，則該三角形周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據直角三角形的面積公式考慮設直角邊為、，利用均值不等式解得最小值為.【詳解】設三角形的兩條直角邊長為、，可得，三角形的周長為，當且僅當時取等號．故選：C2．某公司一年購買某種貨物500噸，每次購買噸，運費為5萬元/次，一年的總存儲費用為萬元，則一年的總運費與總存儲費用之和的最小值為（

）A．200萬元 B．300萬元 C．400萬元 D．500萬元【答案】B【分析】根據題意列式利用基本不等式運算得解.【詳解】由題意可得，一年的總運費與總存儲費用之和為：，當且僅當，即時取等號，所以一年的總運費與總存儲費用之和的最小值為300萬元．故選：B.3（多選題）．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中先把“＝”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐步被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠，下列說法正確的是（

）A．糖水加糖更甜可用式于表示，其中，B．當時，的最小值為4C．若，，，則D．若，則的最小值為6【答案】BCD【分析】利用基本不等式比較大小，注意取等號的條件.【詳解】對于A，當，，時，，，當時糖水不等式不成立，故A錯誤；對于B，因為，，當且僅當時取等號，故B正確；對于C，因為，所以，當且僅當，時等號成立，所以，，當且僅當，時等號成立，故C正確；對于D，因為，所以，所以當且僅當，即，時，等號成立，故D正確．故選：BCD4．若，則有最大值為．【答案】/0.25【分析】根據基本不等式即可求解.【詳解】因為，顯然當時，取得最大值，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以有最大值為.故答案為：.5．若正實數a，b滿足，則的最小值是.【答案】【分析】由基本不等式得到，將代入，求出最小值.【詳解】因為，由基本不等式得，即，解得，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：題型二基本不等式在實際問題中的應用1．如圖，某燈光設計公司生產一種長方形線路板，長方形的周長為4，沿折疊使點B到點位置，交于點P．研究發(fā)現當的面積最大時用電最少，則用電最少時，的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理，構造函數，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】如圖，設，由矩形的周長為4，可知．設，則．，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．所以的面積．所以，當且僅當時，即當時，的面積最大，面積的最大值為，故選：B．2．某廠計劃建造一個容積為，深為的長方體無蓋水池.若池底的造價為元每平方米，池壁的造價為元每平方米，則這個水池的最低造價為元.【答案】【分析】設水池池底的一邊長為，則另一邊長為，由題意表示出總造價的函數式，化簡后可利用基本不等式求出最小值，注意判斷取最值時的取值是否存在.【詳解】因為水池的容積為，深為，所以底面積為，設水池池底的一邊長為，則另一邊長為，則總造價（元）.當且僅當，即時，取最小值為.所以水池的最低造價為元.故答案為：.3．如圖，某人沿圍墻修建一個直角梯形花壇，設直角邊米，米，若米，問當米時，直角梯形花壇的面積最大．

【答案】【分析】先求出面積的表達式，再根據基本不等式即可得解.【詳解】由題意米，則直角梯形花壇的面積，當且僅當，即時，等號成立，所以當米時，直角梯形花壇的面積最大．故答案為：.4．某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個矩形區(qū)域將種植牡丹?郁金香?月季（其中區(qū)域的形狀?大小完全相同）.設矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.(1)用含有的代數式表示，并寫出的取值范圍；(2)當的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？【答案】(1)；(2)當時，才能使鮮花種植的總面積最大.【分析】（1）根據題意，設矩形花園的長為，由條件可得，即可得到結果；（2）由（1）中的結論可得鮮花種植的總面積為與矩形花園的一條邊長的函數關系式，再由基本不等式代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）設矩形花園的長為，矩形花園的總面積為，，可得，又陰影部分是寬度為的小路，可得，可得，即關于的關系式為.（2）由（1）知，，則，當且僅當時，即時，等號成立，當時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.5．某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過5米，房屋正面的造價為400元/平方米，房屋側面的造價為150元/平方米，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3米，且不計房屋背面的費用，當側面的長度為多少時，總造價最低？最低總造價是多少元？【答案】當側面的長度為4米時，總造價最低．最低總造價是13000元【分析】根據題意得到函數表達式，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】由題可知因為，當且僅當，即時取等號，所以在時取最小值，于是當側面的長度為米時，總造價最低．最低總造價是元．6．輛貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時速都是千米/時，為安全起見，要求每兩輛貨車的間隔等于千米（為常數，，貨車長度忽略不計）.(1)將第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達站所需時間表示成的函數；(2)當取何值時，有最小值.【答案】(1)；(2)千米/時.【分析】（1）計算出最后一輛車行駛的總路程，即可得出關于的函數關系式；（2）利用基本不等式求得的最小值及其對應的的值.【詳解】（1）解：因為輛貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時速都是千米/時，且每兩輛貨車的間隔等于千米，第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達站，最后一輛車行駛的總路程為千米，所以，.（2）解：因為，其中，由基本不等式可得，當且僅當時，即當千米/時，等號成立，所以，當千米/時，取最小值.7．如圖，高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構成的面積為400m2的十字形地域.計劃在正方形上建一座花壇，造價為8400元/m2；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為420元/m2；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為160元/m2.設總造價為y（單位：元），AD長為x（單位：m）.(1)用x表示AM的長度，并求x的取值范圍；(2)當x為何值時，y最??？并求出這個最小值.【答案】(1)；(2)，最小值為472000元.【分析】（1）由題意可得矩形的面積，即可得出；（2）先表示出總造價y，再由基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意可得，矩形的面積為,因此，∵，∴.（2），，由基本不等式y(tǒng)472000，當且僅當，即x時，等號成立，故當x時，總造價y最小，最小值為472000元.1．兩次購買同一種物品，不考慮物品價格的升降（假設第一次價格為，第二次價格為）可以用兩種不同的策略，第一種是每次購買這種物品數量一定;第二種是每次購買這種物品所花的錢數一定，哪種購物方式比較經濟（

）A．第一種 B．第二種 C．都一樣 D．不確定【答案】B【分析】根據基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，為正數，且，第一種方式購買的平均價格為，第二種方式，設每次購買的花費為，則購買的平均價格為，由基本不等式得，所以選第二種方式比較經濟.故選：B2．若，，且，則的最小值為．【答案】6【分析】由題意可得，利用基本不等式計算可得，即，即可求解.【詳解】由，得，整理得，當且僅當時等號成立.則，故，解得或（舍去），所以，當且僅當時取等號，即的最小值為6.故答案為：63．第十九屆亞運會于2023年9月23日在杭州舉辦，本屆亞運會吉祥物是一套名為“江南憶”的三個機器人模型，三個機器人模型分別取名“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.某公益團隊聯系亞運會組委會計劃舉辦一場吉祥物商品展銷會，成套出售“江南憶”，將所獲利潤全部用于體育設施建設.據市場調查：每套吉祥物紀念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為60元，（單位：元，其中銷售量單位為：萬套）.而當每套吉祥物售價定為x元時，銷售量可達到萬套.注：利潤＝（售價－供貨價格）×銷售量（不計其他成本）(1)每套吉祥物紀念品售價為125元時，能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套吉祥物紀念品售價為多少元時，單套吉祥物的利潤最大？并求出最大值.【答案】(1)320;(2)售價為145元，利潤最大，最大值為80元.【分析】（1）代入數值，求出銷售量與單價，即可得出答案；（2）設單套售價為元，根據已知表示出單套利潤，根據基本不等式求解，即可得出答案.【詳解】（1）每套吉祥物紀念品售價為125元時，銷售量為（萬套），供貨單價為（元），總利潤為（萬元）.（2）設單套售價為元，此時銷售量為萬套，供貨價格為元，同時，所以.所以單套利潤為，當且僅當，即時取等號.所以每套吉祥物售價為145元時，單套的利潤最大，最大值是80元.4．用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成