第一講代數(shù)公式及因式分解講義高一上學期數(shù)學暑假初高中銜接

第一講代數(shù)公式及因式分解知識點講解：一．乘法公式：1．知識鞏固（1）平方差公式：（2）完全平方公式：（3）高頻應用變式：①②③④⑤⑥2．拓展銜接（1）立方和公式：（2）立方差公式：（3）兩數(shù)和的立方公式：（4）兩數(shù)差的立方公式：（5）三數(shù)和平方公式：（6） ，（7）．二．因式分解1．知識鞏固（1）因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種運算叫做因式分解．注意：因式分解的最后結果必定為“乘積”的形式．（2）提公因式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式．注意：①公因式可能是單項式，也可能是多項式．②提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律．如：（3）公式法：①平方差公式：②完全平方公式：③立方和公式：④立方差公式：⑤兩數(shù)和的立方公式：⑥兩數(shù)差的立方公式：⑦三數(shù)和平方公式：2.拓展銜接因式分解就是將一個多項式化成幾個整式的積的形式，它與多項式乘法運算是互逆變形，我們已學過提取公因式法和公式法等分解因式的方法，下面我們繼續(xù)學習其他分解因式的方法．1．二次三項式多項式，稱為字母x的二次三項式，其中稱為二次項，bx為一次項，c為常數(shù)項．例如，和都是關于x的二次三項式．在多項式中，如果把y看作常數(shù)，就是關于x的二次三項式；如果把x看作常數(shù)，就是關于y的二次三項式．在多項式中，把ab看作一個整體，即，就是關于ab的二次三項式．同樣，多項式，把x＋y看作一個整體，就是關于x＋y的二次三項式．十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法．2．十字相乘法利用十字相乘法分解因式，實質上是逆用(ax＋b)(cx＋d)豎式乘法法則．它的一般規(guī)律是：（1）對于二次項系數(shù)為1的二次三項式x2+(a+b)x+ab，其常數(shù)項ab與一次項系數(shù)a+b可以通過“十字相乘，乘積相加”方式建立聯(lián)系，得到．因為因為因為因為，所以．這種方法的特征是“拆常數(shù)項，湊一次項”．公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，當常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常數(shù)項為負數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同．（2）推廣銜接對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式(，，都是整數(shù)且)來說，如果存在四個整數(shù)，使，，且，那么．（它的特征是“拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1的情況復雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的辦法來確定）學習時要注意符號的規(guī)律．為了減少嘗試次數(shù)，使符號問題簡單化，當二次項系數(shù)為負數(shù)時，先提出負號，使二次項系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項；常數(shù)項為正數(shù)時，應分解為兩同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同；常數(shù)項為負數(shù)時，應將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項系數(shù)的符號相同．二次項系數(shù)不為1的二次三項式二次項系數(shù)不為1的二次三項式．條件：（1），（2），（3）．分解結果：=．◆◆◆◆◆◆◆3．分組分解法觀察多項式xm+xn+ym+yn，它的各項并沒有公因式，因此不能用提取公因式來分解因式；這是一個四項式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法來分解因式．觀察多項式的各項，前兩項有公因式x，后兩項有公因式y(tǒng)，分別提取后得到x（m+n）+y（m+n）．這時又有了公因式（m+n），因此能把多項式xm+xn+ym+yn分解因式．分解過程是xm+xn+ym+yn=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）．如果把一個多項式的項適當分組，并提出公因式后，各組之間又出現(xiàn)新的公因式，那么這個多項式就可以用分組方法來分解因式．先將多項式分組后分解因式的方法稱為分組分解法，用這種方法分解因式，分組時應預見到下一步分解的可能性．4．求根公式法對于有些二次三項式，若用十字相乘法不易湊出十字，可以解一元二次方程，當時，設方程的兩個根分別為，，則．5．因式分解一般要遵循的步驟多項式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法、求根公式法等．對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行．以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復試，結果應是乘積式”．

例題講解：例1.化簡：例2.已知，，，求，的值．例3.化簡：．例4.已知，，求下列各式：（1）；（2）．變式練習：1．化簡：．2．化簡：（1）；（2）．3．運用立方和或立方差公式化簡：（1）；（2）．4．已知，求證：．5．設，，對于任意，比較與的大小關系．6．求函數(shù)的最大值．7．當時，求代數(shù)式的值．例題講解：例1.分解因式：．例2.分解因式：．例3.分解因式：．例5.分解因式：．例6.分解因式：．例7.分解因式：．例8.在實數(shù)范圍內分解因式：．例9.當時，．請根據(jù)這一事實，將分解因式．變式練習：1．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．2．分解因式：（1）；（2）；（3）．3．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．4．因式分解：（1）；（2）．5．因式分解：．6．因式分解：．7．因式分解：．8．在實數(shù)范圍內因式分解：．9．在實數(shù)范圍內因式分解：．

答案與解析例題講解：例1.化簡：【解答】解：．例2.已知，，，求，的值．【解答】解：；，，，．例3.化簡：．【解答】解：原式．例4.已知，，求下列各式：（1）；（2）．【解答】解：（1）∵，∴．（2）∵，∴，即．∵，∴．再由（1）的結論，得．∴．變式練習：1．化簡：．【解答】解：．2．化簡：（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）．3．運用立方和或立方差公式化簡：（1）；（2）．【解答】解：（1）；（2）．4．已知，求證：．【解答】解：【證法1】左邊．由，得，故右邊．故等式成立．【證法2】左邊．由，得，故右邊．故等式成立．5．設，，對于任意，比較與的大小關系．【解答】解：∵，，∴，∵，∴，∴．6．求函數(shù)的最大值．【解答】解：由題意，得．故函數(shù)的最大值為．7．當時，求代數(shù)式的值．【解答】解：，當時，原式．例題講解：例1.分解因式：．【分析】將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5．由于6=2×3=(﹣2)×(﹣3)=1×6=(﹣1)×(﹣6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5．【解答】解：==．例2.分解因式：．【分析】【解答】解：原式==．例3.分解因式：．【分析】【解答】解：=．例4.分解因式：．【分析】【解答】解：=．例5.分解因式：．【解答】解：【解法1】．【解法2】．例6.分解因式：．【解答】解：．例7.分解因式：．【分析】本題用前面學過的方法似乎均不奏效，若將其中一項拆成兩項，就可考慮分組分解．【解答】解：．例8.在實數(shù)范圍內分解因式：．【解答】解：解方程，得，故．例9.當時，．請根據(jù)這一事實，將分解因式．【解答】解：．變式練習：1．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．1．【解答】解：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=；（5）=；（6）=；（7）=；（8）=．2．分解因式：（1）；（2）；（3）．2．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用平方差公式進行因式分解即可；（2）利用十字相乘法進行因式分解即可；（3）先提取公因式，再利用公式法進行因式分解．【解答】解：（1）；（2）；（3）．3．分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．3．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先提公因式，再用公式法進行因式分解即可；（2）先用完全平方公式再用平方差公式進行因式分解即可；（3）分組分解法因式分解即可；（4）平方差公式法進行因式分解即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．4．因式分解：（1）；（2）．4．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；（2）先分組，再根據(jù)完全平方公式和平方差公式分解即可．【解答】解：（1）；（2）．5．因式分解：．5．【答案】．【分析】先把后三項作為一組，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：．6．因式分解：．6．【答案】．【分析】先把前三項作為一組，提取公因式，再利用完全平