第二章平面力系的平衡

機(jī)械基礎(chǔ)

閆芳制作§2-1平面匯交力系的簡(jiǎn)化和平衡平面匯交力系：作用于物體上的力系,若各力的作用線(xiàn)在同一平面內(nèi),且匯交于一點(diǎn),這樣的力系稱(chēng)為平面匯交力系。

研究方法：幾何法，解析法。FT3FT2FT1一、平面匯交力系的概念與實(shí)例力的平行四邊形法則力的三角形法則FRF2F1ABCFRF2CDF1AB二、平面匯交力系的簡(jiǎn)化1.匯交力系簡(jiǎn)化的幾何法—力多邊形法則

把各力矢首尾相接，形成一條有向折線(xiàn)段（稱(chēng)為力鏈）FRF2F1F3F4BCDEA

加上一封閉邊，就得到一個(gè)多邊形，稱(chēng)為力多邊形。AF2F1F4F3即：匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線(xiàn)通過(guò)各力的匯交點(diǎn)。且合力的大小和方向與各力合成的順序無(wú)關(guān)。幾何法解題步驟：①選研究對(duì)象；②畫(huà)出受力圖；③作力多邊形；④求出未知數(shù)。說(shuō)明：應(yīng)用幾何法解題時(shí)，必須恰當(dāng)?shù)剡x擇力的比例尺，即取單位長(zhǎng)度代表若干牛頓的力矢并把比例尺注在旁邊。利用幾何法求解平面匯交力系：yx1.力在平面坐標(biāo)軸上的投影Fx=F·cosaFy=F·sinaABFxFyFao說(shuō)明：（1）Fx的指向與x軸一致，為正，否則為負(fù)；（2）力在坐標(biāo)軸上的投影為標(biāo)量。abcd2.匯交力系簡(jiǎn)化的解析法AF2F1(a)F3F1F2FF3xABCD(b)以三個(gè)力組成的共點(diǎn)力系為例。設(shè)有三個(gè)共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3如圖a。3.平面匯交力系的合成合力

F在

x軸上投影得

Fx=ad由圖知

ad=ab+bc+(-dc)

Fx=

F1x+F2x+

F3xFx=

F1x+F2x+

+Fnx=

FxF1F2FF3xABCD(b)F1x=ab,

推廣到任意多個(gè)力F1，F(xiàn)2，

Fn組成的平面共點(diǎn)力系，可得abcd各力在

x軸上投影F2x=bc,

F3x=-dc

合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。合力的大小合力F的方向余弦根據(jù)合力投影定理得yxBFyFx

FOFxFyA剛體平面匯交力系的平衡條件是：

平衡方程三、平面匯交力系平衡的解析條件和平衡方程例2-2如圖所示支架由桿AB、BC組成，A、B、C處均為圓柱銷(xiāo)鉸鏈，在鉸鏈B上懸掛一重物G=5kN，桿件自重不計(jì)，試求桿件AB、BC所受的力。解：1）受力分析

2)確定研究對(duì)象。以銷(xiāo)B為研究對(duì)象，取分離體畫(huà)受力圖。3)建立坐標(biāo)系，列平衡方程求解

力對(duì)點(diǎn)的矩為一代數(shù)量,它的大小為力F的大小與力臂d的乘積,它的正負(fù)號(hào)表示力矩在平面上的轉(zhuǎn)向。+-轉(zhuǎn)動(dòng)中心O-稱(chēng)為矩心

d-稱(chēng)為力臂d以扳手?jǐn)Q螺母為例說(shuō)明力對(duì)點(diǎn)之矩的概念：Fo一、力矩§2-2力矩和平面力偶系力對(duì)點(diǎn)的矩不僅與力的大小有關(guān)，而且與矩心的位置有關(guān),同一個(gè)力，因矩心的位置不同,其力矩的大小和正負(fù)都可能不同。力對(duì)點(diǎn)的矩不因力的作用點(diǎn)沿其作用線(xiàn)的移動(dòng)而改變,因?yàn)榇藭r(shí)力的大小、力臂的長(zhǎng)短和繞矩心的轉(zhuǎn)向都未改變。力對(duì)點(diǎn)的矩在下列情況下等于零:力等于零或者力的作用線(xiàn)通過(guò)矩心,即力臂等于零。2、力矩的性質(zhì)平面匯交力系合力對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。3、合力矩定理F1F2d力偶的概念:作用于剛體上大小相等、方向相反、不共線(xiàn)的平行力組成的力系稱(chēng)為力偶，記作（F1，F(xiàn)2）。作用效果:引起物體的轉(zhuǎn)動(dòng)。力偶作用面：由一對(duì)力所組成的平面；力偶臂：力偶中兩力之間的垂直距離，一般用d表示；力偶的表示方法二、平面力偶系的簡(jiǎn)化與平衡1.力偶17FF'd力偶的作用面力偶臂力偶矩：m=±Fd—

+2.力偶矩力偶矩正負(fù)規(guī)定：

若力偶有使物體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，力偶矩取正號(hào)；反之，順時(shí)針取負(fù)號(hào)。186N6N4m8N8N3m3N3N8m24Nm24Nm（1）只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。3.同平面內(nèi)力偶的性質(zhì)19（2）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，或移到另一平行平面，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。F1F1'F2F2'（3）力偶在任何軸上的投影恒等于零。平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各個(gè)力偶矩的代數(shù)和等于零。即4.平面力偶系的合成和平衡條件

例2-5

水平梁AB,長(zhǎng)l=5m,受一順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶作用,其力偶矩的大小M=100kN·m。約束情況如圖所示。試求支座A、B的約束力。解：梁在活動(dòng)鉸支座B處產(chǎn)生約束力FB

，作用線(xiàn)在鉛垂方向A處為固定鉸支座,產(chǎn)生約束力FA，作用線(xiàn)也在鉛垂方向力偶只能由力偶來(lái)平衡平衡方程FAFB一、力的平移定理

§2-3平面任意力系在分析或求解力學(xué)問(wèn)題時(shí),有時(shí)需要將作用于物體上某些力的作用線(xiàn),從其原位置平行移到另一新位置而不改變?cè)υ谠恢米饔脮r(shí)物體的運(yùn)動(dòng)效應(yīng),為此需研究力的平移定理。

工程中還有一種常見(jiàn)的基本約束，如建筑物上的陽(yáng)臺(tái)以及以焊、鉚接和用螺栓聯(lián)接的結(jié)構(gòu)：刀、夾具的錐柄以及車(chē)床主軸的錐孔配合等，這些約束均稱(chēng)為固定端約束。AB二、固定端約束

以上這些工程實(shí)例均可歸結(jié)為一桿插入固定面的力學(xué)模型。對(duì)固定端約束，可按約束作用畫(huà)其約束力。固定端既限制被約束構(gòu)件的垂直與水平位移，又限制了被約束構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)，故固定端在一般情況下，有一組正交的約束力與一個(gè)約束力偶。FAxFAyMAABAAF1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·O為簡(jiǎn)化中心三、平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡條件F'1F'2F'nM1M2MnMOF'RMO=M1+M2+…+Mn=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)

MO=∑MO(F)主矢主矩在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心。根據(jù)力的平移定理，將各力都向O點(diǎn)平移，得到一個(gè)交于O點(diǎn)的平面匯交力系F'1，F(xiàn)'2，…

，F(xiàn)'n，以及平面力偶系M1，

M2，…，Mn。平面匯交力系F'1，F(xiàn)'2，…，F(xiàn)'n，可以合成為一個(gè)作用于O點(diǎn)的合矢量F'R，它等于力系中各力的矢量和。

F'R=

F'1+F'2+…+F'n=F1+F2+…+

Fn=∑F附加平面力偶系M1，M2，…，Mn可以合成為一個(gè)合力偶MO，

得主矩的值。2.平面任意力系簡(jiǎn)化的結(jié)果

平面任意力系的簡(jiǎn)化，一般可得到主矢F'R和主矩MO，但它不是簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，簡(jiǎn)化結(jié)果通常有以下四種情況。

1．F'R≠0、MO=0因?yàn)镸O＝0，主矢F'R就與原力系等效，F(xiàn)'R即為原力系的合力，其作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心。２．F'R=0、MO≠0原力系簡(jiǎn)化結(jié)果為一合力偶MO＝∑MO(F)，此時(shí)主矩MO與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)

3．F'R≠0、MO≠0根據(jù)力的平移定理逆過(guò)程，可以把F'R和MO合成為一個(gè)合力FR

。

4．F'R=0、MO=0物體在此力系作用下處于平衡狀態(tài)。關(guān)于平衡問(wèn)題將在下面的節(jié)章中進(jìn)行詳細(xì)討論。四、平面任意力系的平衡方程

搖臂吊車(chē)如圖所示，已知梁AB的重力為G1＝4kN，立柱EF的重力為G2＝3kN，載荷為W＝20kN，梁長(zhǎng)l＝2m，立柱h＝1.2m，載荷到A鉸的距離x＝1.5m，點(diǎn)A、E間水平距離a=0.2m，拉桿傾角

＝30

。試求立柱E、F處的約束反力。解1）畫(huà)受力圖。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2FEyFExFFx因求E、F處的支座反力，故取整個(gè)搖臂吊車(chē)為研究對(duì)象。注意到受力圖中有兩未知力FFx與FEx互相平行，故取軸y為投影軸，列出投影方程為：∑Fx＝0，F(xiàn)Ex-FFx=0

FEx=FFx

∑Fy＝0，F(xiàn)Ey–G1–G2–W=0FEy＝27kN（↑）已知；G1＝4kN，G2＝3kN，W＝20kN，l＝2m，h＝1.2m，x＝1.5m，a=0.2m，

＝30

。試求立柱E、F處的約束反力。解1）畫(huà)受力圖。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2FEyFExFFx求出FEy后，只存在點(diǎn)F、E上兩處未知力，故可任擇其一為矩心，列出力矩方程為：∑Fx＝0，F(xiàn)Ex-FFx=0

FEx=FFx

∑Fy＝0，F(xiàn)Ey–G1–G2–W=0FEy＝27kN（↑）∑ME(F)=0，F(xiàn)Fxlh-G1(a+l/2)–W(x+a)=0FFx=[G1(2a+l)+2W(x+a)]/2=32.3kN（←）FEx=FFx=32.3kN（→）求上題中拉桿的拉力和鉸鏈A的反力。解1）畫(huà)受力圖。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2因已知力、未知力匯集于AB梁，故取它為研究對(duì)象，畫(huà)出AB梁的分離體受力圖。圖中A、B、C三點(diǎn)各為兩未知力的匯交點(diǎn)。比較A、B、C三點(diǎn)，取B點(diǎn)為矩心列出力矩方程計(jì)算較為簡(jiǎn)單，即∑Fx＝0，F(xiàn)Ex-FTcos

=0

FEx=FTcos

=29.44kN（→）∑Fy＝0，F(xiàn)Tsin

+FAy–G1–W=0FAy＝34kN（↑）ABG1WFAyFAxFT∑MB(F)=0，F(xiàn)Fxlh-G1l/2

+W(l–x)-FAy=0FAy=7kN（↑）xy第一章我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。平衡必計(jì)摩擦

1、引入§2-5滑動(dòng)摩擦簡(jiǎn)介剎車(chē)盤(pán)摩擦在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用多盤(pán)摩擦離合器單盤(pán)摩擦離合器2009年9月德國(guó)客機(jī)迫降后起落架故障研究摩擦的任務(wù)：掌握規(guī)律，利用其利，克服其害。

1、靜摩擦力Ff的三要素為：

1）大?。?＜Ff≤Ffm由物體的平衡條件來(lái)決定。在臨界狀態(tài)下，有Ff=Ffm=fsFN

2）方向：與物體間相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，并沿接觸表面作用點(diǎn)的切向。

3）作用點(diǎn)：接觸點(diǎn)或接觸面上摩擦力的合力作用點(diǎn)。Ff

當(dāng)力FT超過(guò)Ffm時(shí)，物體開(kāi)始滑動(dòng)，此時(shí)物體所受的摩擦阻力已由靜摩擦力轉(zhuǎn)化為動(dòng)摩擦力F'f。

F'f=fFN

式中，f稱(chēng)為動(dòng)摩擦因數(shù)。它是與接觸材料和表面情況有關(guān)的常數(shù)，通常，f值小于fs值。2．動(dòng)滑動(dòng)摩擦AWFNFTF'f（與靜滑動(dòng)摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動(dòng)）動(dòng)摩擦力三要素 大?。?（無(wú)平衡范圍）動(dòng)摩擦力特征：方向：與物體運(yùn)動(dòng)方向相反 定律： （f只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)。）F'f=fFNF'f=fFN總結(jié)：滑動(dòng)摩擦1、靜滑動(dòng)摩擦2、動(dòng)滑動(dòng)摩擦其中：靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)

(coefficientofstaticfriction)其中：動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)

(coefficientofkineticfriction)F：摩擦力，

：法向約束力滑動(dòng)趨勢(shì)v

1、列平衡方程時(shí)要將摩擦力考慮在內(nèi)；

2、解題方法：①解析法②幾何法

3、除平衡方程外，增加補(bǔ)充方程

(一般在臨界平衡狀態(tài)計(jì)算）

4、解題步驟同前。

二、考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題44解：考慮到梯子在臨界平衡狀態(tài)有下滑趨勢(shì)，做受力圖。[例]梯子長(zhǎng)AB=l，重為P，若梯子與墻和地面的靜摩擦因數(shù)f=0.5,求a多大時(shí)，梯子能處于平衡？注意，由于a不可能大于，所以梯子平衡傾角a應(yīng)滿(mǎn)足

①全約束力

即FR=FN+FS

，它與接觸面的公法線(xiàn)成一偏角j，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)，即靜摩擦力達(dá)到最大值Fmax時(shí),偏角j達(dá)到最大值jf，全約束力與法線(xiàn)夾角的最大值jf叫做摩擦角。FNFsFRjFNFmaxFRjjf②計(jì)算摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)。三、摩擦角的概念和自鎖現(xiàn)象③摩擦錐：頂角為2jf

的錐體。當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢(shì)方向改變時(shí)，全約束力作用線(xiàn)的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)R的作用線(xiàn)將畫(huà)出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱(chēng)為摩擦錐。設(shè)物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個(gè)頂角為2jf的圓錐。

物塊平衡時(shí)，靜摩擦力不一定達(dá)到最大值，可在零與最大值Fmax之間變化，所以全約束力與法線(xiàn)間的夾角j也在零與摩擦角jf之間變化，即由于靜摩擦力不可能超過(guò)最大值，因此全約束力的作用線(xiàn)也不可能超出摩擦角以外，即全約束力必在摩擦角之內(nèi)。FNFmaxFRjjfqjfjfjfFRFRAAj1、如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線(xiàn)在摩擦角jf之內(nèi)，則無(wú)論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱(chēng)為自鎖現(xiàn)象。因?yàn)樵谶@種情況下，主動(dòng)力的合力FR與法線(xiàn)間的夾角q

<jf，因此，F(xiàn)R和全約束力FRA必能滿(mǎn)足二力平衡條件，且q=j<jf

。qjfjfjfFRFRAAj2、如果全部主動(dòng)力的合力FR的作用線(xiàn)在摩擦角j之外，則無(wú)論這個(gè)力怎樣小，物塊一定會(huì)滑動(dòng)。因?yàn)樵谶@種情況下，q>j

f，而j≤jf，支承面的全約束力FRA和主動(dòng)力的合力FR不能滿(mǎn)足二力平衡條件。應(yīng)用這個(gè)道理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。3、自鎖應(yīng)用舉例斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角a就是斜面的傾角。螺母相當(dāng)于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向載荷P，相當(dāng)物塊A的重力，要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺紋的自鎖條件是各力的作用線(xiàn)匯交于一點(diǎn)的力系稱(chēng)為空間匯交力系；各力的作用線(xiàn)彼此平行的力系稱(chēng)為空間平行力系；各力的作用線(xiàn)在空間任意分布的力系稱(chēng)為空間任意力系(亦稱(chēng)空間一般力系)?！?-6空間平衡力系一、空間力系的概念二、徑向軸承(向心軸承)確定研究對(duì)象，畫(huà)受力圖并選取坐標(biāo)軸。將所有外力(包括主動(dòng)力和約束力)投影在Oxz平面內(nèi)，按平面力系的平衡問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。將所有外力投影在Oxy平面內(nèi)，按平面力系的平衡問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。將所有外力投影在Oyz平面內(nèi)，按平面力系的