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浙江省衢州市常山縣達(dá)標(biāo)名校2025屆下學(xué)期5月階段性考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.如右圖,⊿ABC內(nèi)接于⊙O,若∠OAB=28°則∠C的大小為()A.62° B.56° C.60° D.28°2.若二次函數(shù)y=-x2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(m,0),(m-6,0),該函數(shù)圖像向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),則n的值是()A.3 B.6 C.9 D.363.如圖圖形中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是()A. B. C. D.4.如圖1,一個(gè)扇形紙片的圓心角為90°,半徑為1.如圖2,將這張扇形紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)O恰好重合,折痕為CD,圖中陰影為重合部分,則陰影部分的面積為()A. B. C. D.5.下列四個(gè)式子中,正確的是()A.=±9 B.﹣=6 C.()2=5 D.=46.關(guān)于x的不等式組無(wú)解,那么m的取值范圍為()A.m≤-1 B.m<-1 C.-1<m≤0 D.-1≤m<07.如圖,點(diǎn)從矩形的頂點(diǎn)出發(fā),沿以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),的面積隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化而變化的函數(shù)關(guān)系圖象,則矩形的面積為()A. B. C. D.8.如圖,△ABC中,AB>AC,∠CAD為△ABC的外角,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.∠DAE=∠B B.∠EAC=∠C C.AE∥BC D.∠DAE=∠EAC9.在代數(shù)式中,m的取值范圍是()A.m≤3 B.m≠0 C.m≥3 D.m≤3且m≠010.一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià),又以8折(即按標(biāo)價(jià)的80%)優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件作服裝仍可獲利15元,則這種服裝每件的成本是()A.120元 B.125元 C.135元 D.140元11.tan60°的值是()A. B. C. D.12.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為:﹣,1,﹣,、﹣、…,按此規(guī)律,這列數(shù)中的第100個(gè)數(shù)是()A.﹣ B. C. D.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.Rt△ABC的邊AB=5,AC=4,BC=3,矩形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)都在Rt△ABC的邊上,當(dāng)矩形DEFG的面積最大時(shí),其對(duì)角線的長(zhǎng)為_(kāi)______.14.已知xy=3,那么的值為_(kāi)_____.15.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),一次函數(shù)與的圖像之間的距離為3,則b的值為_(kāi)_________.16.分解因式6xy2-9x2y-y3=_____________.17.計(jì)算a3÷a2?a的結(jié)果等于_____.18.小球在如圖所示的地板上自由地滾動(dòng),并隨機(jī)地停留在某塊方磚上,那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是_____________________.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19.(6分)某海域有A、B兩個(gè)港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船從A港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C處,求:(1)∠C=°;(2)此時(shí)刻船與B港口之間的距離CB的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)).20.(6分)如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=m求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;直接寫出當(dāng)x>0時(shí),kx+b<m21.(6分)如圖,已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,過(guò)點(diǎn)作軸,垂足為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與軸交于點(diǎn),且,.求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;直接寫出關(guān)于的不等式的解集.22.(8分)如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=1,CD=DA=1,且∠B=90°,求:∠BAD的度數(shù);四邊形ABCD的面積(結(jié)果保留根號(hào)).23.(8分)(定義)如圖1,A,B為直線l同側(cè)的兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作直線1的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交直線l于點(diǎn)P,連接AP,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A,B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”.(運(yùn)用)如圖2,在平面直坐標(biāo)系xOy中,已知A(2,3),B(﹣2,﹣3)兩點(diǎn).(1)C(4,32),D(4,22),E(4,12(2)若直線l垂直于x軸,點(diǎn)P(m,n)是點(diǎn)A,B關(guān)于直線l的等角點(diǎn),其中m>2,∠APB=α,求證:tanα2=n(3)若點(diǎn)P是點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點(diǎn),且點(diǎn)P位于直線AB的右下方,當(dāng)∠APB=60°時(shí),求b的取值范圍(直接寫出結(jié)果).24.(10分)如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,3),點(diǎn)B(,0),連接AB,若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)C,當(dāng)△ABC是以AB為腰的等腰三角形時(shí),稱點(diǎn)C是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”.(1)在點(diǎn)C1(﹣2,3+2),點(diǎn)C2(0,﹣2),點(diǎn)C3(3+,﹣)中,線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”是點(diǎn)________;(2)若點(diǎn)D(m,n)是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,且∠DAB=60°,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若直線y=kx+3k上至少存在一個(gè)線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,求k的取值范圍.25.(10分)如圖,在△OAB中,OA=OB,C為AB中點(diǎn),以O(shè)為圓心,OC長(zhǎng)為半徑作圓,AO與⊙O交于點(diǎn)E,OB與⊙O交于點(diǎn)F和D,連接EF,CF,CF與OA交于點(diǎn)G(1)求證:直線AB是⊙O的切線;(2)求證:△GOC∽△GEF;(3)若AB=4BD,求sinA的值.26.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)若點(diǎn)是拋物線在第四象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形的面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo),并求出四邊形的最大面積;(3)若為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),直接寫出使為直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).27.(12分)如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),連接PA、PB、AB、OP,已知PB是⊙O的切線.(1)求證:∠PBA=∠C;(2)若OP∥BC,且OP=9,⊙O的半徑為3,求BC的長(zhǎng).
參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、A【解析】
連接OB.在△OAB中,OA=OB(⊙O的半徑),∴∠OAB=∠OBA(等邊對(duì)等角);又∵∠OAB=28°,∴∠OBA=28°;∴∠AOB=180°-2×28°=124°;而∠C=∠AOB(同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半),∴∠C=62°;故選A2、C【解析】
設(shè)交點(diǎn)式為y=-(x-m)(x-m+6),在把它配成頂點(diǎn)式得到y(tǒng)=-[x-(m-3)]2+1,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m-3,1),然后利用拋物線的平移可確定n的值.【詳解】設(shè)拋物線解析式為y=-(x-m)(x-m+6),∵y=-[x2-2(m-3)x+(m-3)2-1]=-[x-(m-3)]2+1,∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m-3,1),∴該函數(shù)圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)頂點(diǎn)落在x軸上,即拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),即n=1.故選C.本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn):把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).3、B【解析】
根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.【詳解】解:A、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故A不正確;B、既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,故B正確;C、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故C不正確;D、既不是軸對(duì)稱圖形,也不是中心對(duì)稱圖形,故D不正確.故選B.本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念,以及對(duì)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí).4、C【解析】
連接OD,根據(jù)勾股定理求出CD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠AOD,根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算,得到答案.【詳解】解:連接OD,在Rt△OCD中,OC=OD=2,∴∠ODC=30°,CD=∴∠COD=60°,∴陰影部分的面積=,故選:C.本題考查的是扇形面積計(jì)算、勾股定理,掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】
A、表示81的算術(shù)平方根;B、先算-6的平方,然后再求?的值;C、利用完全平方公式計(jì)算即可;D、=.【詳解】A、=9,故A錯(cuò)誤;B、-=?=-6,故B錯(cuò)誤;C、()2=2+2+3=5+2,故C錯(cuò)誤;D、==4,故D正確.故選D.本題主要考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算,掌握算術(shù)平方根、平方根和二次根式的性質(zhì)以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】【分析】先求出每一個(gè)不等式的解集,然后再根據(jù)不等式組無(wú)解得到有關(guān)m的不等式,就可以求出m的取值范圍了.【詳解】,解不等式①得:x<m,解不等式②得:x>-1,由于原不等式組無(wú)解,所以m≤-1,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組無(wú)解問(wèn)題,熟知一元一次不等式組解集的確定方法“大大取大,小小取小,大小小大中間找,大大小小無(wú)處找”是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】
由函數(shù)圖象可知AB=2×2=4,BC=(6-2)×2=8,根據(jù)矩形的面積公式可求出.【詳解】由函數(shù)圖象可知AB=2×2=4,BC=(6-2)×2=8,∴矩形的面積為4×8=32,故選:C.本題考查動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、矩形面積等知識(shí),根據(jù)圖形理解△ABP面積變化情況是解題的關(guān)鍵,屬于中考常考題型.8、D【解析】
解:根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可得∠DAE=∠B,故A選項(xiàng)正確,∴AE∥BC,故C選項(xiàng)正確,∴∠EAC=∠C,故B選項(xiàng)正確,∵AB>AC,∴∠C>∠B,∴∠CAE>∠DAE,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,故選D.本題考查作圖—復(fù)雜作圖;平行線的判定與性質(zhì);三角形的外角性質(zhì).9、D【解析】
根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.【詳解】由題意可知:解得:m≤3且m≠0故選D.本題考查二次根式有意義的條件,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式有意義的條件,本題屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解析】試題分析:通過(guò)理解題意可知本題的等量關(guān)系,即每件作服裝仍可獲利=按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià),又以8折賣出,根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系,可列出方程,再求解.解:設(shè)這種服裝每件的成本是x元,根據(jù)題意列方程得:x+15=(x+40%x)×80%解這個(gè)方程得:x=125則這種服裝每件的成本是125元.故選B.考點(diǎn):一元一次方程的應(yīng)用.11、A【解析】
根據(jù)特殊角三角函數(shù)值,可得答案.【詳解】tan60°=故選:A.本題考查了特殊角三角函數(shù)值,熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.12、C【解析】
根據(jù)按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為:,1,,,,…,可知符號(hào)規(guī)律為奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正;分母為3、7、9、……,型;分子為型,可得第100個(gè)數(shù)為.【詳解】按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為:,1,,,,…,按此規(guī)律,奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,分母為3、7、9、……,型;分子為型,可得第n個(gè)數(shù)為,∴當(dāng)時(shí),這個(gè)數(shù)為,故選:C.本題屬于規(guī)律題,準(zhǔn)確找出題目的規(guī)律并將特殊規(guī)律轉(zhuǎn)化為一般規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、或【解析】
分兩種情形畫出圖形分別求解即可解決問(wèn)題【詳解】情況1:如圖1中,四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,設(shè)DE=CF=x,則BF=3-x∵EF∥AC,∴=∴=∴EF=(3-x)∴S矩形DEFG=x?(3-x)=﹣(x-)2+3∴x=時(shí),矩形的面積最大,最大值為3,此時(shí)對(duì)角線=.情況2:如圖2中,四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,設(shè)DE=GF=x,作CH⊥AB于H,交DG于T.則CH=,CT=﹣x,∵DG∥AB,∴△CDG∽△CAB,∴∴∴DG=5﹣x,∴S矩形DEFG=x(5﹣x)=﹣(x﹣)2+3,∴x=時(shí),矩形的面積最大為3,此時(shí)對(duì)角線==∴矩形面積的最大值為3,此時(shí)對(duì)角線的長(zhǎng)為或故答案為或本題考查相似三角形的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題14、±2【解析】分析:先化簡(jiǎn),再分同正或同負(fù)兩種情況作答.詳解:因?yàn)閤y=3,所以x、y同號(hào),于是原式==,當(dāng)x>0,y>0時(shí),原式==2;當(dāng)x<0,y<0時(shí),原式==?2故原式=±2.點(diǎn)睛:本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值,能夠正確的判斷出化簡(jiǎn)過(guò)程中被開(kāi)方數(shù)底數(shù)的符號(hào)是解答此題的關(guān)鍵.15、或【解析】
設(shè)直線y=2x-1與x軸交點(diǎn)為C,與y軸交點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線y=2x-b于點(diǎn)D,根據(jù)直線的解析式找出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),通過(guò)同角的余角相等可得出∠BAD=∠ACO,再利用∠ACO的余弦值即可求出直線AB的長(zhǎng)度,從而得出關(guān)于b的含絕對(duì)值符號(hào)的方程,解方程即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)直線y=2x-1與x軸交點(diǎn)為C,與y軸交點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線y=2x-b于點(diǎn)D,如圖所示.
∵直線y=2x-1與x軸交點(diǎn)為C,與y軸交點(diǎn)為A,
∴點(diǎn)A(0,-1),點(diǎn)C(,0),
∴OA=1,OC=,AC==,
∴cos∠ACO==.
∵∠BAD與∠CAO互余,∠ACO與∠CAO互余,
∴∠BAD=∠ACO.
∵AD=3,cos∠BAD==,
∴AB=3.
∵直線y=2x-b與y軸的交點(diǎn)為B(0,-b),
∴AB=|-b-(-1)|=3,
解得:b=1-3或b=1+3.
故答案為1+3或1-3.本題考查兩條直線相交與平行的問(wèn)題,利用平行線間的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離得出關(guān)于b的方程是解題關(guān)鍵.16、-y(3x-y)2【解析】
先提公因式-y,然后再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可得.【詳解】6xy2-9x2y-y3=-y(9x2-6xy+y2)=-y(3x-y)2,故答案為:-y(3x-y)2.本題考查了利用提公因式法與公式法分解因式,熟練掌握因式分解的方法及步驟是解題的關(guān)鍵.因式分解的一般步驟:一提(公因式),二套(套用公式),注意一定要分解到不能再分解為止.17、a1【解析】
根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則和同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:原式=a3﹣1+1=a1.故答案為a1.本題考查了同底數(shù)冪的乘除法,關(guān)鍵是掌握計(jì)算法則.18、2【解析】試題分析:根據(jù)題意和圖示,可知所有的等可能性為18種,然后可知落在黑色區(qū)域的可能有4種,因此可求得小球停留在黑色區(qū)域的概率為:418三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19、(1)60;(2)【解析】(1)由平行線的性質(zhì)以及方向角的定義得出∠FBA=∠EAB=30°,∠FBC=75°,那么∠ABC=45°,又根據(jù)方向角的定義得出∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C=60°;(2)作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D,解Rt△ABD,得出BD=AD=30,解Rt△ACD,得出CD=10,根據(jù)BC=BD+CD即可求解.解:(1)如圖所示,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABC=45°,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∴∠C=60°.故答案為60;(2)如圖,作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,AB=60,∴AD=BD=30.在Rt△ACD中,∵∠C=60°,AD=30,∴tanC=,∴CD==10,∴BC=BD+CD=30+10.答:該船與B港口之間的距離CB的長(zhǎng)為(30+10)海里.20、(1)y=4x,y=﹣x+5;(2)0<x<1或x>4;(3)P的坐標(biāo)為(【解析】
(1)把A(1,4)代入y=mx,求出m=4,把B(4,n)代入y=4(2)根據(jù)圖像解答即可;(3)作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,交x軸于P,此時(shí)PA+PB=AB′最小,然后用待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式即可.【詳解】解:(1)把A(1,4)代入y=mx∴反比例函數(shù)的解析式為y=4x把B(4,n)代入y=4x∴B(4,1),把A(1,4)、(4,1)代入y=kx+b,得:k+b=44k+b=1解得:k=-1∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+5;(2)根據(jù)圖象得當(dāng)0<x<1或x>4,一次函數(shù)y=﹣x+5的圖象在反比例函數(shù)y=4x∴當(dāng)x>0時(shí),kx+b<mx(3)如圖,作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,交x軸于P,此時(shí)PA+PB=AB′最小,∵B(4,1),∴B′(4,﹣1),設(shè)直線AB′的解析式為y=px+q,∴p+q=44p+q=-1解得p=-5∴直線AB′的解析式為y=-5令y=0,得-5解得x=175∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(175本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)解析式,利用圖像解不等式,軸對(duì)稱最短等知識(shí).熟練掌握待定系數(shù)法是解(1)的關(guān)鍵,正確識(shí)圖是解(2)的關(guān)鍵,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定出點(diǎn)P的位置是解答(3)的關(guān)鍵.21、(1)y=-.y=x-1.(1)x<2.【解析】分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式.詳解:(1)∵,點(diǎn)A(5,2),點(diǎn)B(2,3),
∴
又∵點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸,點(diǎn)D在第二象限,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-1),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,3).
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上,
∴
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為
將A(5,2)、B(2,-1)代入y=kx+b,
,解得:∴一次函數(shù)的表達(dá)式為.
(1)將代入,整理得:
∵
∴一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn).
觀察圖形,可知:當(dāng)x<2時(shí),反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方,
∴不等式>kx+b的解集為x<2.點(diǎn)睛:本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題:求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo),把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解,若方程組有解則兩者有交點(diǎn),方程組無(wú)解,則兩者無(wú)交點(diǎn).22、(1);(2)【解析】
(1)連接AC,由勾股定理求出AC的長(zhǎng),再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀,進(jìn)而可求出∠BAD的度數(shù);
(2)由(1)可知△ABC和△ADC是Rt△,再根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)連接AC,如圖所示:∵AB=BC=1,∠B=90°∴AC=,又∵AD=1,DC=,∴AD2+AC2=3CD2=()2=3即CD2=AD2+AC2∴∠DAC=90°∵AB=BC=1∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BAD=135°;(2)由(1)可知△ABC和△ADC是Rt△,∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=1×1×+1××=.考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面積,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.23、(1)C(2)n2(3)b<﹣735且b≠﹣2【解析】
(1)先求出B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo),根據(jù)A、B′的坐標(biāo)可得直線AB′的解析式,把x=4代入求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可得答案;(2)如圖:過(guò)點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連A′B′,交直線l于點(diǎn)P,作BH⊥l于點(diǎn)H,根據(jù)對(duì)稱性可知∠APG=A′PG,由∠AGP=∠BHP=90°可證明△AGP∽△BHP,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得m=2根據(jù)外角性質(zhì)可知∠A=∠A′=α2根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可證明△ABQ是等邊三角形,即點(diǎn)Q為定點(diǎn),若直線y=ax+b(a≠0)與圓相切,易得P、Q重合,所以直線y=ax+b(a≠0)過(guò)定點(diǎn)Q,連OQ,過(guò)點(diǎn)A、Q分別作AM⊥y軸,QN⊥y軸,垂足分別為M、N,可證明△AMO∽△ONQ,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得ON、NQ的長(zhǎng),即可得Q點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)A、B、Q的坐標(biāo)可求出直線AQ、BQ的解析式,根據(jù)P與A、B重合時(shí)b的值求出b的取值范圍即可.【詳解】(1)點(diǎn)B關(guān)于直線x=4的對(duì)稱點(diǎn)為B′(10,﹣3),∴直線AB′解析式為:y=﹣34當(dāng)x=4時(shí),y=32故答案為:C(2)如圖,過(guò)點(diǎn)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連A′B′,交直線l于點(diǎn)P作BH⊥l于點(diǎn)H∵點(diǎn)A和A′關(guān)于直線l對(duì)稱∴∠APG=∠A′PG∵∠BPH=∠A′PG∴∠APG=∠BPH∵∠AGP=∠BHP=90°∴△AGP∽△BHP∴AGBH=GP∴mn=23,即m=23∵∠APB=α,AP=AP′,∴∠A=∠A′=α2在Rt△AGP中,tanα2=(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB的右下方,∠APB=60°時(shí),點(diǎn)P在以AB為弦,所對(duì)圓周為60°,且圓心在AB下方若直線y=ax+b(a≠0)與圓相交,設(shè)圓與直線y=ax+b(a≠0)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q由對(duì)稱性可知:∠APQ=∠A′PQ,又∠APB=60°∴∠APQ=∠A′PQ=60°∴∠ABQ=∠APQ=60°,∠AQB=∠APB=60°∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ∴△ABQ是等邊三角形∵線段AB為定線段∴點(diǎn)Q為定點(diǎn)若直線y=ax+b(a≠0)與圓相切,易得P、Q重合∴直線y=ax+b(a≠0)過(guò)定點(diǎn)Q連OQ,過(guò)點(diǎn)A、Q分別作AM⊥y軸,QN⊥y軸,垂足分別為M、N∵A(2,3),B(﹣2,﹣3)∴OA=OB=7∵△ABQ是等邊三角形∴∠AOQ=∠BOQ=90°,OQ=3OB=∴∠AOM+∠NOD=90°又∵∠AOM+∠MAO=90°,∠NOQ=∠MAO∵∠AMO=∠ONQ=90°∴△AMO∽△ONQ∴AMON∴20N∴ON=23,NQ=3,∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3,﹣23)設(shè)直線BQ解析式為y=kx+b將B、Q坐標(biāo)代入得-3解得k=-3∴直線BQ的解析式為:y=﹣35設(shè)直線AQ的解析式為:y=mx+n,將A、Q兩點(diǎn)代入3=2m+n解得m=-33∴直線AQ的解析式為:y=﹣33x+7若點(diǎn)P與B點(diǎn)重合,則直線PQ與直線BQ重合,此時(shí),b=﹣73若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,則直線PQ與直線AQ重合,此時(shí),b=73又∵y=ax+b(a≠0),且點(diǎn)P位于AB右下方,∴b<﹣735且b≠﹣23或b>本題考查對(duì)稱性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及銳角三角函數(shù)正切的定義,熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.24、(1)C1,C3;(2)D(﹣,0)或D(,3);(3)﹣≤k≤【解析】
(1)直接利用線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”的條件判斷;(2)分兩種情況討論,利用對(duì)稱性和垂直的性質(zhì)即可求出m,n;(3)先判斷出直線y=kx+3與圓A,B相切時(shí),如圖2所示,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)論.【詳解】(1)∵A(0,3),B(,0),∴AB=2,∵點(diǎn)C1(﹣2,3+2),∴AC1==2,∴AC1=AB,∴C1是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,∵點(diǎn)C2(0,﹣2),∴AC2=5,BC2==,∴AC2≠AB,BC2≠AB,∴C2不是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,∵點(diǎn)C3(3+,﹣),∴BC3==2,∴BC3=AB,∴C3是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”;故答案為C1,C3;(2)如圖1,在Rt△AOB中,OA=3,OB=,∴AB=2,tan∠OAB==,∴∠OAB=30°,當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)時(shí),∵∠DAB=60°,∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°,∵點(diǎn)D(m,n)是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,∴AD=AB,∴D(﹣,0),∴m=,n=0,當(dāng)點(diǎn)D在y軸右側(cè)時(shí),∵∠DAB=60°,∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°,∴n=3,∵點(diǎn)D(m,n)是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,∴AD=AB=2,∴m=2;∴D(,3)(3)如圖2,∵直線y=kx+3k=k(x+3),∴直線y=kx+3k恒過(guò)一點(diǎn)P(﹣3,0),∴在Rt△AOP中,OA=3,OP=3,∴∠APO=30°,∴∠PAO=60°,∴∠BAP=90°,當(dāng)PF與⊙B相切時(shí)交y軸于F,∴PA切⊙B于A,∴點(diǎn)F就是直線y=kx+3k與⊙B的切點(diǎn),∴F(0,﹣3),∴3k=﹣3,∴k=﹣,當(dāng)直線y=kx+3k與⊙A相切時(shí)交y軸于G切點(diǎn)為E,∴∠AEG=∠OPG=90°,∴△AEG∽△POG,∴,∴=,解得:k=或k=(舍去)∵直線y=kx+3k上至少存在一個(gè)線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,∴﹣≤k≤,此題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了新定義,銳角三角函數(shù),直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),對(duì)稱性,解(1)的關(guān)鍵是理解新定義,解(2)的關(guān)鍵是畫出圖形,解(3)的關(guān)鍵是判斷出直線和圓A,B相切時(shí)是分界點(diǎn).25、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3).【解析】
(1)利用等腰三角形的性質(zhì),證明OC⊥AB即可;
(2)證明OC∥EG,推出△GOC∽△GEF即可解決問(wèn)題;
(3)根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)解答即可.【詳解】證明:(1)∵OA=OB,AC=BC,∴OC⊥AB,∴⊙O是AB的切線.(2)∵OA=OB,AC=BC,∴∠AOC=∠
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