暑期復(fù)習(xí)提升綜合測(cè)試卷（測(cè)試范圍必修二）

暑期復(fù)習(xí)提升綜合測(cè)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分測(cè)試范圍：平面向量+三角恒等變換+解三角形+復(fù)數(shù)+立體幾何+統(tǒng)計(jì)概率一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算即可求得復(fù)數(shù)，再得共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得答案．【解答】解：，，，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，，下列命題正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，，則 D．若，，則【分析】根據(jù)題意，由直線直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，若，則，不一定垂直，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，必有，由直線與平面平行的性質(zhì)，可得，正確；對(duì)于，若，必有，而，必有，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，，不一定垂直，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，涉及直線與平面平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．已知向量，且，則A． B． C． D．2【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，且，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．某高中志愿者協(xié)會(huì)共有250名學(xué)生，其中高三年級(jí)學(xué)生50名．為了解志愿者的服務(wù)意愿，按年級(jí)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則高一年和高二年共抽取的學(xué)生數(shù)為A．25 B．30 C．40 D．45【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解．【解答】解：按年級(jí)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三年數(shù)學(xué)生抽取，故高一年和高二年共抽取的學(xué)生數(shù)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．5．某戶居民今年上半年每月的用水量（單位：如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)9.6錄成96，則這組數(shù)據(jù)中沒有發(fā)生變化的量是A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．極差 D．標(biāo)準(zhǔn)差【分析】由平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式可知，平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生改變，由于最小值沒變而最大值發(fā)生了變化，因而極差變化了，求中位數(shù)，可將數(shù)據(jù)按小到大順序排列，由于只有6個(gè)數(shù)，所以取最中間的兩個(gè)數(shù)并求其平均，即得中位數(shù)，因?yàn)樽钪虚g的兩個(gè)數(shù)沒有變化，因而中位數(shù)也沒有變化．【解答】解：只改變了其中一個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式知，平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生了變化，實(shí)際數(shù)據(jù)由小到大排序?yàn)椋?.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位數(shù)為7.7，9.0的平均數(shù)，極差為，錯(cuò)誤數(shù)據(jù)由小到大排序?yàn)椋?.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位數(shù)為7.7，9.0的平均數(shù)，極差為，所以中位數(shù)沒有變化，極差變化了．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)和極差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．6．在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，則A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算及向量共線定理即可求解．【解答】解：在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，則，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．已知角，滿足，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角基本關(guān)系及和差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．8．已知銳角，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則的取值范圍是A．， B． C． D．，【分析】由正弦定理可得三邊的關(guān)系，再由余弦定理可得，因?yàn)槿切螢殇J角三角形可得的取值范圍．【解答】解：，由正弦定理可得，由余弦定理，可得，又，可得，銳角中，，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，即，解得所以，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的正余弦定理的應(yīng)用，及銳角三角形的性質(zhì)，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．若，則的可能值為A． B． C． D．【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，可得其共軛復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式，列方程得出，的關(guān)系，逐個(gè)檢驗(yàn)選項(xiàng)即可．【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)，則，，，，又，，化簡(jiǎn)得：，即，排除選項(xiàng)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．10．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件，，發(fā)生的概率分別是0.2，0.3，0.5，則下列說法錯(cuò)誤的是A．與是互斥事件，也是對(duì)立事件 B．是必然事件 C． D．【分析】根據(jù)事件，，不一定兩兩互斥，結(jié)合概率運(yùn)算公式和互斥、對(duì)立的概念，即可求解．【解答】解：由事件，，不一定兩兩互斥，所以，，且，所以不一定是必然事件，無法判斷與是不是互斥或?qū)α⑹录?，所以、、中說法錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件和對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題．11．如圖，在等腰直角三角形中，，，設(shè)點(diǎn)，，，是線段的五等分點(diǎn)，則A． B． C． D．的最小值為【分析】選項(xiàng)都是根據(jù)平面向量基本定理，將所判斷向量適當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可判斷，選項(xiàng)根據(jù)對(duì)稱性，將點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)作出，則可轉(zhuǎn)化為兩條線段的長(zhǎng)度之和最小的問題來解決．【解答】解：對(duì)于，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，同上可得，，因?yàn)樵诘妊苯侨切沃?，，所以，，所以，，所以，故正確；對(duì)于，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，，所以，故正確；對(duì)于，設(shè)的中點(diǎn)為，為線段上一點(diǎn)，設(shè)，則，則，，所以，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，故，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理的綜合應(yīng)用，屬中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．半徑為3，弧長(zhǎng)為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為．【分析】根據(jù)圓錐體積公式和圖形關(guān)系直接計(jì)算求解．【解答】解：如下圖所示，若用半徑為3，弧長(zhǎng)為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則圓錐底面周長(zhǎng)為，圓錐母線長(zhǎng)為3，則圓錐底面周長(zhǎng)，得，所以圓錐底面面積為，因?yàn)?，，所以圓錐的高，所以該圓錐的體積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．13．已知的外接圓半徑為1，則的最大值為．【分析】利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)的配方法求得最值．【解答】解：設(shè)為的外心，則有，當(dāng)與方向相反時(shí)等號(hào)成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，考查二次函數(shù)的最值求法，屬中檔題．14．如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為12，該紙片，上的正方形的中心為，，，，為圓上的點(diǎn)，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，使得點(diǎn)，，，重合，得到一個(gè)四棱錐．當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接球的表面積為．【分析】連接交于點(diǎn)，設(shè)，，，重合于點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為，則，求出的值，再利用勾股定理求，代入球的表面積公式，即可得答案．【解答】解：連接交于點(diǎn)，設(shè)，，，重合于點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為，則，因?yàn)樵撍睦饩S的側(cè)面積是底面積的2倍，所以，解得．設(shè)該四棱錐的外接球的球心為，半徑為，如圖，則，所以，解得，所以外接球的表面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四棱錐外接球的表面積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知中，，，，點(diǎn)在邊上且滿足．（1）用、表示，并求；（2）若點(diǎn)為邊中點(diǎn)，求與夾角的余弦值．【分析】（1）根據(jù)條件得出，然后即可得出，然后根據(jù)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出答案；（2）根據(jù)條件得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算可求出和的值，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出與夾角的余弦值．【解答】解：（1）點(diǎn)在邊上，且，，，，且，，，；（2）點(diǎn)為邊中點(diǎn)，，，又，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘和減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量長(zhǎng)度的求法，向量夾角的余弦公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．某工廠引進(jìn)了一條生產(chǎn)線，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量其技術(shù)參數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)和分位數(shù)（精確到；（2）現(xiàn)從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間，，，，，的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，再從這6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，記事件“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間，內(nèi)的產(chǎn)品至多1件”，事件“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間，內(nèi)的產(chǎn)品至少1件”，求事件的概率．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和百分位數(shù)的定義求解；（2）由分層抽樣可知，三個(gè)區(qū)間依次抽取3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，再結(jié)合古典概型的概率公式求解．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，平均數(shù)為：，因?yàn)?，，所以分位?shù)落在，內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，即分位數(shù)約為46.7；（2）采用分層抽樣，根據(jù)三個(gè)區(qū)間的比例關(guān)系，依次抽取3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，區(qū)間，內(nèi)的3件產(chǎn)品記為，，，區(qū)間，內(nèi)的2件產(chǎn)品記為，，區(qū)間，內(nèi)的1件產(chǎn)品記為，從這6件產(chǎn)品中任選3件，所有情況為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，事件分為：①從，抽0個(gè)，從，里面抽2個(gè)，從，里面抽1個(gè)，包含基本事件為：，，，共1種，所以，②從，抽1個(gè)，從，里面抽1個(gè)，從，里面抽1個(gè)，包含基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6種，所以，③從，抽1個(gè)，從，里面抽2個(gè)，從，里面抽0個(gè)，包含基本事件為：，，，，，，，，，，共3種，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．17．已知向量，．（1）若，求；（2）若，求．【分析】（1）由平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算和二倍角的正切公式計(jì)算即可求得；（2）由條件和平面向量模的計(jì)算可得，再由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可求得的值，再由二倍角公式化簡(jiǎn)即可得．【解答】解：（1），且，，，；（2），，，即，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量平行和垂直得坐標(biāo)表示，二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等，屬于中檔題．18．已知中，．（1）求；（2）若，，求的面積．【分析】（1）由正弦定理得，再由余弦定理得，可得，從而得出；（2）由正弦定理得，得出，再得出，由三角形面積公式可得的面積．【解答】解：（1）設(shè)三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)邊長(zhǎng)分別，，，因?yàn)?，由正弦定理可得，，所以，即，所以，因?yàn)?，所以；?）中，，，，由正弦定理，，所以，所以，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．19．如圖，已知斜三棱柱中，平面平面，與平面所成角的正切值為，所有側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2，是邊中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角；（3）是邊一點(diǎn)，且，若，求的值．【分析】（1）由題意及線面平行的證法，可證得結(jié)論；（2）由異面直線的夾角的求法，平移直線可得相交直線所成的角，求出異面直線的夾角；（3）用向量的方法，可得的值．【解答】解：（1）證明：如圖，連接與交于點(diǎn)，連，在斜三棱柱中，四邊形是菱形，則是的中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，即為△的中位線，所以，又平面，平面，可證得：平