專題37 等時圓模型理解及應用 高一物理新教材物理40個經(jīng)典專題精講精練（人教版必修第一冊）（解析版）

專題37等時圓模型及應用拓展1、等時圓規(guī)律（1）小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點的時間相等。如圖1所示（2）小球從圓上的各個位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時間相等。如圖2所示（3）沿不同的弦軌道運動的時間相等，都等于小球沿豎直直徑（d）自由落體的時間，滿足：（R為圓的半徑）圖1圖22、規(guī)律的證明設有一條光滑弦與水平方向的夾角為α，圓的直徑為d，如下圖所示。根據(jù)物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速直線運動，加速度為a＝，位移為s＝，所以運動時間為t0＝＝eq\r(\f(2dsinα,gsinα))＝eq\r(\f(2d,g))。即沿各條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關。如果質點不是從圓的最高點下滑或不是到達圓的最低點時，我們應怎樣處理此類問題呢？圖3圖4[例題]如圖3所示，AB、AC、AD是豎直面內三根固定的光滑細桿，A、B、C、D位于同一圓周上，O點為圓周的圓心，A點不是圓的最高點，每根桿上都套著一個光滑小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從A處從靜止開始釋放，用依次表示滑環(huán)到達B、C、D所用的時間，則三個時間的關系？解析：A不在圓的最高點，前面的結論直接用是不行的?？梢圆捎萌缦碌姆椒ń鉀Q：如圖4所示，過點A作豎直線交AB的垂直平分線于點O，以O1為圓心、O1A為半徑畫圓交AB于B、分別交AC、AD的延長線于C1、D1。r.在圓ABC1D1中用前面的結論可知，所以t1>t2。不可以根據(jù)CC1<DD1，得到t2<t3，因為小環(huán)進入虛線部分時初速度不一樣，以后運動的加速度也不一樣。要判定t2與t3的關系，可以模仿前面方法再次構造新圓用結論可知t2>t3。一、單選題1.（2019·泉州第十六中學高三月考）如右圖所示，位于豎直平面內的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于M點，與豎直墻相切于A點.豎直墻上另一點B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓環(huán)軌道的圓心.已知在同一時刻a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道AM、BM運動到M點；c球由C點自由下落到M點.則（）A.a球最先到達M點 B.b球最后到達M點C.c球最后到達M點 D.b球和c球都可能最先到達M點【答案】B【解析】設圓軌道半徑為R，a小球做勻加速直線運動，加速度設為a1=gsin45°=，設時間為t1，由運動學分式可得聯(lián)立可得t1=同理可求得B的加速度大小，設滑到低端時間為t2，由運動學公式可求得聯(lián)立可得:t2=C球做自由落體運動，設運動時間為t3，由運動學公式可得比較以上數(shù)據(jù)可知C最先落到M點，A次之，B最后落在M點。2.（2017·江西高安中學高三月考）如圖所示，在豎直平面內建立直角坐標系xOy，該平面內有AM、BM、CM三條光滑固定軌道，其中A、C兩點處于同一個圓上，C是圓上任意一點，A、M分別為此圓與y、x軸的切點。B點在y軸上且∠BMO=60°，O′為圓心?，F(xiàn)將a、b、c三個小球分別從A、B、C點同時由靜止釋放，它們將沿軌道運動到M點，所用時間分別為tA、tB、tC，則tA、tB、tC大小關系是（）A.tB＞tC＞tAB.tB=tC＞tAC.tA=tB=tCD.tB＞tA=tC【答案】D【解析】設⊙O′的半徑為R，根據(jù)幾何知識可知：OA=OM=R由勾股定理得：即小球沿AM運動的位移為：由牛頓第二定律得：解得：由:得小球沿AM運動的時間為：根據(jù)幾何知識可知：即小球沿BM運動的位移為：由牛頓第二定律得：解得：小球沿BM運動的時間：設CM與x軸正向的夾角為θ，由幾何關系可知：即小球沿CM運動的位移為：由牛頓第二定律得：解得：小球沿CM運動的時間為：則tA、tB、tC大小關系是：tB＞tA=tC，D正確，ABC錯誤。3.（2018·黑龍江實驗中學高三月考）如圖，光滑細桿BC、DC和AC構成矩形ABCD的兩鄰邊和對角線，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC桿豎直，各桿上分別套有一質點小球a、b、d，a、b、d三小球的質量比為1∶2∶3，現(xiàn)讓三小球同時從各桿的頂點由靜止釋放，不計空氣阻力，則a、b、d三小球在各桿上滑行的時間之比為（）A.1∶1∶1B.5∶4∶3C.5∶8∶9D.1∶2∶3【答案】A【解析】設AC=5L，BC=4L，DC=3L,a、b、d三小球在各桿上滑行的時間分別為t1、t由幾何知識得，BC的傾角為α=53°，DC的傾角為β=37°，如圖所示：a球為自由下過程，a1由5L=12g根據(jù)牛頓第二定律得：沿BC下滑的小球，加速度為a由位移時間公式得：4L=12a2沿DC下滑的小球，加速度為a由位移時間公式得：3L=12a3t32，得t4.（2019·普寧市第二中學高三月考）如圖所示，在傾角為=30o的斜面上方的A點處懸掛一光滑的木板AB，B端剛好在斜面上.木板與豎直方向AC所成角度為α，一小物塊自A端沿木板由靜止滑下，要使物塊滑到斜面的時間最短，則α角的大小為（）A.α=10oB.α=15oC.α=30oD.α=60o【答案】B【解析】如圖所示：在豎直線AC上取一點O，以適當?shù)拈L度為半徑畫圓，使該圓過A點，且與斜面相切與D點，根據(jù)等時圓的結論可知：A點滑到圓上任一點的時間都相等，所以由A點滑到D點所用時間比由A到達斜面上其他各點時間都短，將木板下端B點與D點重合即可，而角COD為θ，所以，故選B。5.（2019·全國高一專題練習）如圖所示，Oa、Ob和ad是豎直平面內三根固定的光滑細桿，O、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點，a為最低點，O′為圓心.每根桿上都套著一個小滑環(huán)，兩個滑環(huán)從O點無初速釋放，一個滑環(huán)從d點無初速釋放，用t1、t2、t3分別表示滑環(huán)沿Oa、Ob、ad到達a、b所用的時間，則下列關系不正確的是（）A.t1＝t2 B.t2＞t3C.t1＜t2 D.t1＝t3【答案】A【解析】設ob與豎直方向的夾角為θ，由幾何關系得oa與豎直方向的夾角為，環(huán)沿oa下滑時的加速度大小為，沿ob下滑時的加速度大小為a2=gcosθ，設ob長為L，由幾何關系得oa長為，根據(jù)運動學公式有，，得，，由此得到t1＜t2；由于，同理可得到

，因此t1=t3，t2＞t3，故A錯誤，B、C、D正確.本題選不正確的是，故選A.6.（2019·安徽高三）如圖所示，相同質量的物塊從底邊長相同、傾角不同的固定斜面最高處同時由靜止釋放且下滑到底端，下面說法正確的是（）A.若物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)相同，傾角大的斜面上的物塊損失的機械能大B.若斜面光滑，兩物塊一定同時運動到斜面底端C.若斜面光滑，傾角大的斜面上的物塊一定后運動到斜面底端D.若物塊到達底面時的動能相同，物塊與傾角大的斜面間的動摩擦因數(shù)大【答案】D【解析】設斜面傾角為θ，底邊長為s，則有：物體損失的機械能等于摩擦力所做的功，摩擦力做功W=μmgcosθ×scosθ=μmgs；損失的機械能與夾角無關；所以兩物體損失的機械能相同；故A錯誤；若斜面光滑，則物體下滑的加速度a=gsinθ，根據(jù)scosθ=12at2可得t=4sgsin2θ可知，θ角不同，t不同，當θ=457.（2019·河北辛集中學高三）如圖所示，斜面AD和BD與水平方向的夾角分別為60°和30°，兩斜面的A端和B端在同一豎直面上，現(xiàn)讓兩個可視為質點的物塊分別從兩斜面的頂端同時由靜止下滑，結果兩物塊同時滑到斜面底端D，設兩物塊與AD、BD面間的動摩擦因數(shù)分別為μ1和μ2，則μ1：μ2為（）A.1:3 B.3:1 C.:1 D.1:【答案】B【解析】設斜面底部長為L，AD與水平面的夾角為，BD與水平面的夾角為，物體在AD面上運動時的加速度為物體在BD面上運動時的加速度為物體在AD面上運動的時間物體在BD面上運動的時間由題意可知聯(lián)立以上各式解得故選B.8.（2019·石家莊市復興中學高三專題練習）如圖所示，O點是豎直圓環(huán)的頂點，Oc是圓環(huán)直徑，Oa和Ob是兩條不同傾角的弦.在Oc、Oa、Ob線上置三個光滑的斜面，一個質點從O自由釋放，先后分別沿Oc、Oa、Ob下滑，到達a、b、c三點的時間（）A.最短的是a點B.最短的是b點C.最長的是c點D.時間都相同【答案】D【解析】設半徑為R，斜面與豎直方向夾角為θ，則物體運動的位移為x=2Rcosθ，物體運動的加速度a=F合m=mgcosθm=gcosθ，根據(jù)x=12at2，則t=4Rg，與θ9.（2020·河北衡水中學高三專題練習）如圖所示，AB和CD為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個端點均分別位于半徑為R和r的兩個相切的圓上，且斜槽都通過切點P.設有一重物先后沿兩個斜槽從靜止出發(fā)，由A滑到B和由C滑到D，所用的時間分別為t1和t2，則t1與t2之比為（）A.2∶1 B.1∶1C.∶1 D.1∶【答案】B【解析】對物體受力分析可知當重物從點下落時，重物受重力，支持力，在沿斜面方向的加速度大小是，則有，解得，由于，根據(jù)公式可得；當重物從點下滑時，在沿斜面方向的加速度大小是是，則有，解得，由于，根據(jù)公式可得，所以，故選項B正確，A、C、D錯誤。10.（2017·遼寧省實驗中學分校高二期末）傾角為30°的長斜坡上有C、O、B三點，CO=OB=10m，在O點豎直的固定一長10m的直桿AO。A端與C點、坡底B點間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質點），將兩球從A點由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如右圖所示，則小球在鋼繩上滑行的時間tAC和tAB分別為（取g=10m/s2）（）A.2s和2sB.和2sC.和4sD.4s和【答案】A【解析】由幾何知識確定出AC與AB的傾角和位移，由牛頓第二定律求出兩球的加速度a，由位移公式求解時間.由幾何知識得，AC的傾角為，位移，AC的傾角為，位移，沿AC下滑的小球，加速度為，由得，沿AB下滑的小球，加速度為，由得，故A正確.11.（2019·上海市南洋模范中學高三期中）如圖所示，一個固定在水平面上的光滑物塊，其左側面是斜面AB，右側面是曲面AC，已知AB和AC的長度相同.兩個小球p、q同時從A點分別沿AB和AC由靜止開始下滑，比較它們到達水平面所用的時間（）A.p小球先到 B.q小球先到C.兩小球同時到 D.無法確定【答案】B【解析】由于物塊在斜面AB上是勻加速直線運動，加速度的大小不變，在曲面AC上的加速度是先大后小，它們的速度與時間圖像如圖所示，欲使兩線與時間軸所圍成的面積相等，曲面AC所對應的時間要短一些，故B是正確的。12.（2017·山東高三）游樂場中，從離水面一定高度的A處到水面B處有兩條長度相同的光滑軌道，如圖所示。甲、乙兩名小孩沿不同軌道同時從A處自由滑向B處，則兩名小孩在全部滑行過程中的速率v隨時間t變化的下列圖象，正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)牛頓第二定律可知甲的加速度逐漸減小，乙的加速度逐漸增加，而v-t圖線的斜率等于加速度；兩物體的位移相同，圖線與坐標軸圍成的面積相等，故選項B正確.13.（2020·河北匯文二中高一期末）如圖所示，有一內壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內，MN是通過橢圓中心O的水平線已知一小球從M點出發(fā)，以初速沿管道MPN運動，到N點的速率為，所需的時間為；若該小球仍由M點以相同初速出發(fā)，而沿管道MQN運動，到N點的速率為，所需時間為則（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】由于小球在運動過程中只有重力做功，機械能守恒，到達N點時速率相等，即有v1=v2.小球沿管道MPN運動時，根據(jù)機械能守恒定律可知在運動過程中小球的速率小于初速率v0，而小球沿管道MQN運動，小球的速率大于初速率v0，所以小球沿管道MPN運動的平均速率小于沿管道MQN運動的平均速率，而兩個過程的路程相等，所以有t1＞t2.故A正確.二、多選題14.（2018·曲靖市第二中學高一期中）如圖所示，在斜面上有四條光滑細桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套著一個小滑環(huán)(圖中未畫出)，四個環(huán)分別從O點由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的時間依次為t1、t2、t3、t4.下列關系正確的是（）A.t1>t2 B.t1＝t3 C.t2＝t4 D.t2<t4【答案】ABD【解析】以OA為直徑畫圓若設桿與豎直方向的夾角為θ，對小滑環(huán)受力分析，由牛頓第二定律可得，解得，由幾何關系，小滑環(huán)沿弦下滑的位移；據(jù)，解得，即從圓上最高點沿任一條光滑弦滑到底所用的時間相同.則沿OA和OC滑到斜面的時間相同，；OB不是一條完整的弦，時間最短；OD的長度超過一條弦，時間最長；綜上.故ABD三項正確，C項錯誤.15.（2017·浙江高三月考）如圖所示，圓柱形倉庫內有三塊長度不同的木板ao、bo、co，其下端都固定于底部圓心o，上端擱在倉庫