北京市北京大附屬中學(xué)2025屆八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

北京市北京大附屬中學(xué)2025屆八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義*的一種運(yùn)算如下：a*b＝（a+b）2，則下列結(jié)論有：①a*b＝0，則a＝0且b＝0;②a*b＝b*a;③a*（b+c）＝a*b+a*c;④a*b＝（﹣a）*（﹣b）.正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．42．下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖，一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于C交一次函數(shù)圖象于點(diǎn)D，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（）A．4 B． C．2 D．2+24．石墨烯是現(xiàn)在世界上最薄的納米材料，其理論厚度僅是0.00000000034m，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（

）A．3.4×10-9m B．0.34×10-9m C．3.4×10-10m D．3.4×10-11m5．如圖，在△ABC中，∠B=32°，將△ABC沿直線(xiàn)m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則∠1-∠2的度數(shù)是（）A．32° B．64° C．65° D．70°6．已知正比例函數(shù)y＝kx的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝x﹣k的圖象不經(jīng)過(guò)的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，和，，，分別在直線(xiàn)和軸上，，，，是以，，，為頂點(diǎn)的等腰直角三角形．如果點(diǎn)，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）A． B． C． D．8．如圖所示的標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱(chēng)之重適等．交易其一，金輕十三兩．問(wèn)金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱(chēng)重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)）．問(wèn)黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得（）A．B．C．D．10．如圖，AD//BC，點(diǎn)E是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，DE平分,BC=AD+2，CD=7，則的值等于（）A．14 B．9 C．8 D．511．下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是……（）A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、1312．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，則△ABC的面積為（）A．5 B．60 C．45 D．30二、填空題（每題4分，共24分）13．已知一次函數(shù)，若y隨x的增大而減小，則的取值范圍是___．14．如圖，在△ABC中，AC＝AD＝BD，當(dāng)∠B＝25°時(shí)，則∠BAC的度數(shù)是_____．15．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為_(kāi)____．16．一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是__________.17．如圖，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(0，2)，且與直線(xiàn)交于點(diǎn)P(1，m)，則不等式組>>-2的解集是_________18．如圖，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長(zhǎng)的直角邊b的比值為．三、解答題（共78分）19．（8分）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．20．（8分）甲、乙兩家綠化養(yǎng)護(hù)公司各自推出了校園綠化養(yǎng)護(hù)服務(wù)的收費(fèi)方案．甲公司方案：每月的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用y（元）與綠化面積x（平方米）是一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．乙公司方案：綠化面積不超過(guò)1000平方米時(shí)，每月收取費(fèi)用5500元；綠化面積超過(guò)1000平方米時(shí)，每月在收取5500元的基礎(chǔ)上，超過(guò)部分每平方米收取4元．（1）求如圖所示的y與x的函數(shù)解析式：（不要求寫(xiě)出定義域）；（2）如果某學(xué)校目前的綠化面積是1200平方米，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：選擇哪家公司的服務(wù)，每月的綠化養(yǎng)護(hù)費(fèi)用較少．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠BAC是鈍角，按要求完成下列畫(huà)圖．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(1)用尺規(guī)作∠BAC的平分線(xiàn)AE和AB邊上的垂直平分線(xiàn)MN；(2)用三角板作AC邊上的高BD．22．（10分）如圖所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求證：BC=DE．23．（10分）如圖，是的外角的平分線(xiàn)，且交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．（1）若，，求的度數(shù)；（2）請(qǐng)你寫(xiě)出、、三個(gè)角之間存在的等量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．24．（10分）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，使四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(﹣5，﹣1)，(﹣3，﹣3)，并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在(1)中所建坐標(biāo)系中，畫(huà)出四邊形ABCD關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形A1B1C1D1，并寫(xiě)出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)．25．（12分）如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）證明：△BCE≌△CAD；（2）若AD=15cm，BE=8cm，求DE的長(zhǎng)．26．解分式方程

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算的意義，將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的運(yùn)算，根據(jù)常見(jiàn)的運(yùn)算的性質(zhì)逐個(gè)做出判斷．【詳解】解：∵a*b=0，a*b=（a+b）2，∴（a+b）2=0，即：a+b=0，∴a、b互為相反數(shù)，因此①不符合題意，a*b=（a+b）2，b*a=（b+a）2，因此②符合題意，a*（b+c）=（a+b+c）2，a*b+a*c=（a+b）2+（a+c）2，故③不符合題意，∵a*b=（a+b）2，（-a）*（-b）=（-a-b）2，∵（a+b）2=（-a-b）2，∴a*b=（-a）*（-b），故④符合題意，因此正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，完全平方公式的特點(diǎn)和應(yīng)用，新定義一種運(yùn)算關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．2、C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．3、C【分析】作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD取得最小值，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)C，C′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)可得出CC′的值及PC＝PC′，再利用勾股定理即可求出此時(shí)C′D（即PC+PD）的值，此題得解．【詳解】解：作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD取得最小值，如圖所示．當(dāng)y＝0時(shí)，﹣1x+4＝0，解得：x＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，∴OC＝1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1x+4＝1，∴CD＝1．∵點(diǎn)C，C′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴CC′＝1OC＝1，PC＝PC′，∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D＝.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理以及軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，找出點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵．4、C【解析】試題分析：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的概念可知：用科學(xué)記數(shù)法可將一個(gè)數(shù)表示的形式，所以將1．11111111134用科學(xué)記數(shù)法表示，故選C．考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法5、B【解析】此題涉及的知識(shí)點(diǎn)是三角形的翻折問(wèn)題，根據(jù)翻折后的圖形相等關(guān)系，利用三角形全等的性質(zhì)得到角的關(guān)系，然后利用等量代換思想就可以得到答案【詳解】如圖，在△ABC中，∠B=32°，將△ABC沿直線(xiàn)m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置∠B=∠D=32°∠BEH=∠DEH∠1=180-∠BEH-∠DEH=180-2∠DEH∠2=180-∠D-∠DEH-∠EHF=180-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)=180-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）=180-32°-∠DEH-32°-∠DEH=180-64°-2∠DEH∠1-∠2=180-2∠DEH-(180-64°-2∠DEH)=180-2∠DEH-180+64°+2∠DEH=64°故選B【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考察學(xué)生對(duì)圖形翻折問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用能力，等量代換是解本題的關(guān)鍵6、D【分析】利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出k＜1，再利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出一次函數(shù)y＝x﹣k的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，進(jìn)而可得出一次函數(shù)y＝x﹣k的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y＝kx的函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k＜1．∵1＞1，﹣k＞1，∴一次函數(shù)y＝x﹣k的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，∴一次函數(shù)y＝x﹣k的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記“，的圖象在一、二、三象限”是解題的關(guān)鍵．7、A【分析】設(shè)點(diǎn)A2，A3，A4…，A2019坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)解析式，尋找縱坐標(biāo)規(guī)律，進(jìn)而解題．【詳解】解：在直線(xiàn)，，，設(shè)，，，，，，，，，則有，，，，又△，△，△，，都是等腰直角三角形，，，，．將點(diǎn)坐標(biāo)依次代入直線(xiàn)解析式得到：，，，，，又，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)，等腰直角三角形斜邊上高等于斜邊長(zhǎng)一半，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．8、C【解析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的定義逐一判斷即可．【詳解】是軸對(duì)稱(chēng)圖形,故符合題意;是軸對(duì)稱(chēng)圖形,故符合題意;是軸對(duì)稱(chēng)圖形,故符合題意;不是軸對(duì)稱(chēng)圖形,故不符合題意,共有3個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別,掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解決此題的關(guān)鍵．9、D【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．【詳解】設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．10、A【分析】延長(zhǎng)DE,CB交于點(diǎn)F,通過(guò)ASA證明，則有，然后利用角平分線(xiàn)的定義得出，從而有，則通過(guò)和解出BC,AD的值，從而答案可解．【詳解】延長(zhǎng)DE,CB交于點(diǎn)F∵點(diǎn)E是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，在和中，∵DE平分解得故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，能夠找出是解題的關(guān)鍵．11、A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，兩邊的平方和等于第三邊的平方，即可得到答案.【詳解】解：A、，故A不能構(gòu)成直角三角形；B、，故B能構(gòu)成直角三角形；C、，故C能構(gòu)成直角三角形；D、，故D能構(gòu)成直角三角形；故選擇：A.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟記構(gòu)成直角三角形的條件：兩邊的平方和等于第三邊的平方.12、D【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可求得BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，∴BC＝＝5，∴△ABC的面積＝×12×5＝30，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及三角形的面積，掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、k＜1．【分析】一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減?。畵?jù)此列不等式解答即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=（k-1）x+2中y隨x的增大而減小，

∴k-1＜0，

解得k＜1，

故答案是：k＜1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的增減性．一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減?。?4、105°【分析】由在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝25°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠ADC的度數(shù)，接著求得∠C的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC的度數(shù)．【詳解】解：∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝25°+25°＝50°，∵AD＝AC，∴∠C＝∠ADC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣50°＝105°，故答案為105°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15、1【解析】試題分析：增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根，所以應(yīng)先增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．試題解析：方程兩邊都乘以（x-1）,得x-2(x-1)=m∵原方程有增根∴最簡(jiǎn)公分母x-1=0解得：x=1，當(dāng)x=1時(shí)，m=1故m的值是1．考點(diǎn)：分式方程的增根．16、1【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4和8，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】∵4+4=8∴腰的長(zhǎng)不能為4，只能為8∴等腰三角形的周長(zhǎng)=2×8+4=1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．17、【詳解】解：由于直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，2），P（1，m），則，解得，，故所求不等式組可化為：mx＞（m-2）x+2＞mx-2，0＞-2x+2＞-2，解得：1＜x＜2，18、2：2【詳解】解：∵小正方形與大正方形的面積之比為1：12，∴設(shè)大正方形的面積是12，∴c2=12，∴a2+b2=c2=12，∵直角三角形的面積是=2，又∵直角三角形的面積是ab=2，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=12+2×6=12+12=21，∴a+b=1．則a、b是方程x2﹣1x+6=0的兩個(gè)根，故b=2，a=2，∴．故答案是：2：2．考點(diǎn)：勾股定理證明的應(yīng)用三、解答題（共78分）19、﹣2≤x＜1，見(jiàn)解析【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜1，∴不等式組的解集是﹣2≤x＜1，在數(shù)軸上表示為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式（組）和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．20、（1）y=5x+1．（2）乙.【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；（2）綠化面積是1200平方米時(shí)，求出兩家的費(fèi)用即可判斷；試題解析：（1）設(shè)y=kx+b，則有，解得，∴y=5x+1．（2）綠化面積是1200平方米時(shí)，甲公司的費(fèi)用為61元，乙公司的費(fèi)用為5500+4×200=6300元，∵6300＜61∴選擇乙公司的服務(wù)，每月的綠化養(yǎng)護(hù)費(fèi)用較少．21、（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)與垂直平分線(xiàn)的作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）利用直角三角板，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊過(guò)點(diǎn)B，進(jìn)行作圖即可.【詳解】如圖所示：【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的基本作圖方法．22、證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：由可得則可證明，因此可得試題解析：即,在和中，考點(diǎn)：三角形全等的判定．23、（1）；（2），證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角定理，即可得到，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可求得，最后利用三角形的外角定理即可求得．（2）根據(jù)三角形的外角定理，可求得，，由平分可知，進(jìn)而得到，即可得三角之間的等量關(guān)系為．【詳解】（1）∵是的外角，∴∵，∴∵是的平分線(xiàn)∴∵是的外角，∴∵，∴（2），證明如下：∵是的外角.∴∵是的外角.∴∵是的平分線(xiàn)，∴∴∴即：.【點(diǎn)睛】本題主要考