第29講三角恒等變換（思維導(dǎo)圖5知識點10考點過關(guān)檢測）

第29講三角恒等變換模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，會進行簡單的三角函數(shù)的化簡求值計算；2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3．能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行簡單的三角恒等變換.知識點1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1、兩角和與差的正弦：::2、兩角和與差的余弦：::3、兩角和與差的正切：:.:.注意：①公式的適用范圍是使公式兩邊有意義的角的取值范圍；②公式的變形：．知識點2二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角公式：（1）二倍角的正弦（）：．（2）二倍角的余弦（）：．（3）二倍角的正切（）：．2、二倍角公式的變形及應(yīng)用（1）倍角公式的逆用：；；．：；；．（2）降冪（擴角）公式：；；；．知識點3積化和差與和差化積1、積化和差2、和差化積知識點4輔助角公式1、輔助角公式：（其中）實質(zhì)上是將同角的正弦值和余弦值與常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)，當式子化簡為同角不同名三角函數(shù)相加減時，通常利用輔助角公式化為正弦型．2、輔助角公式的推導(dǎo)=由于上式中和的平方和為1，故令，則==其中角終邊所在的象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．3、常見輔助角結(jié)論（1）；（2）；（3）；（4）．知識點5解題技巧1、三角函數(shù)給角求值與給值求值問題“給角求值”、“給值求值”問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.（1）關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；②當“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．（2）常見的配角技巧：，，，等．2、三角函數(shù)給值求角問題實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角．遵照以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；（2）已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．考點一：兩角和與差的余弦公式例1.（2324高一下·北京·月考）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，所以.則.故選：B.【變式11】（2324高一下·江西南昌·月考）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B．【變式12】（2324高一下·遼寧沈陽·月考）等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A【變式13】（2223高一下·廣東佛山·月考）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，平方相加可得，求得，即．故選：C．考點二：兩角和與差的正弦公式例2.（2324高一下·貴州遵義·月考）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，又，，所以，所以.故選：B【變式21】（2324高一下·江蘇宿遷·期中）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，故選：D.【變式22】（2324高一下·四川眉山·月考）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A.【變式23】（2324高一下·江西萍鄉(xiāng)·期末）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D考點三：兩角和與差的正切公式例3.（2324高一下·云南昆明·期末）已知，，則（

）A． B． C．7 D．【答案】D【解析】因為，，所以，，則.故選：D.【變式31】（2324高一下·江蘇南通·月考）化簡：（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，故選：D.【變式32】（2324高一下·新疆烏魯木齊·月考）的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,故選：C【變式33】（2223高一下·福建莆田·月考）（，），則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【解析】因為，所以.所以.所以.故選：A.考點四：二倍角公式及應(yīng)用例4.（2324高一下·江蘇·月考）下列各式中，值為的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，有，故A錯誤；對于B，有，故B錯誤；對于C，有，故C錯誤；對于D，有，故D正確.故選：D.【變式41】（2324高一下·廣東潮州·月考）已知角為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為角為第二象限角且，所以，.故選：B【變式42】（2324高一下·河南南陽·期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，則，故選：C.【變式43】（2324高一下·山東淄博·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.考點五：積化和差與和差化積公式例5.（2324高三下·河南·月考）若則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】法一：因為，所以，即，即，即，即.法二：.故選：D.【變式51】（2324高一下·山東臨沂·月考）函數(shù)的最大值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)和差化積公式化簡，利用正弦函數(shù)的值域即可得解.【解析】因為，所以的最大值為1.故選：B【變式52】（2324高三下·山東·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以.故選：D.【變式53】（2324高一上·江西鷹潭·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由和差化積公式，得，，兩式相除，所以.所以.故選：B．考點六：輔助角公式的運用例6.（2324高一下·上?！ぴ驴迹┤?，則.【答案】【解析】，則.故答案為：【變式61】（2223高一下·海南·期中）化簡：．【答案】【解析】.故答案為：.【變式62】（2324高一下·四川眉山·月考）函數(shù)的圖象的最小正周期是（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】，所以最小正周期為，故選：A.【變式63】（2324高一下·河北張家口·月考）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,由待定系數(shù)法可得，所以，故選：D考點七：給值求值問題例7.（2324高一下·山東臨沂·開學(xué)考試）已知則

的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為所以，，故選：B【變式71】（2324高一上·浙江杭州·開學(xué)考試）設(shè)，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因為，，且，又，得.因為，則，又，所以，，.故選：A.【變式72】（2324高二上·江蘇淮安·開學(xué)考試）若，，并且，均為銳角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，均為銳角，且，則為銳角，由，得，，則為銳角，，則.故選：D【變式73】（2324高一下·四川成都·期中）已知，，，則．【答案】【解析】因為，，所以，，，則，所以.故答案為：考點八：給值求角問題例8.（2223高一下·江蘇蘇州·月考）已知，均為銳角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，，，所以.故選：C.【變式81】（2324高一下·江蘇南京·月考）已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，又因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，故C正確.故選：C.【變式82】若，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，則，又因為，則，由二倍角正切公式可得，所以，，因為，，則，即，因此，.故選：B.【變式83】（2324高一下·遼寧遼陽·期中）已知，，且，，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因為所以則所以則，因為，所以，又則，所以故因為所以則.故選：A.考點九：三角形中的三角恒等變換例9.（2324高一下·天津南開·期中）在中，已知，那么一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】因為，即，所以，所以，即，所以或（舍），即.所以一定是等腰三角形.故選：B【變式91】（2324高一下·上?！て谀┰谥?，，則（

）A． B． C．或 D．以上答案均不正確【答案】B【解析】因為，所以，則，又因為，所以或，若，則，與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，所以，則，所以，故選：B【變式92】（2324高一下·湖北武漢·月考）已知的內(nèi)角分別為，若，，則．【答案】【解析】因為，又，即，即，解得，，所以.故答案為：【變式93】（2324高一下·四川內(nèi)江·月考）在中，，，則C的大小是．【答案】/【解析】由，，兩式平方和得，即，因而．在中，，且，因而或，又化為，所以，則，故．故答案為：考點十：三角恒等變換化簡證明例10.（2324高一下·廣東湛江·月考）（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】因為，且，可得，所以.故選：C．【變式101】化簡下列式子：(1)(2)【答案】(1)；(2)【解析】（1）.（2）.【變式102】（2324高一下·甘肅天水·期中）求證：．【答案】證明見解析【解析】，證畢.【變式103】（2324高一下·陜西漢中·月考）求證：.【答案】證明見解析【解析】證明：所以原等式成立．一、單選題1．（2324高一下·山東臨沂·月考）已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，所以，故選：A．2．（2324高一上·四川雅安·月考）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B3．（2324高一下·江蘇南通·月考）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，解得，又由.故選：A.4．（2324高一下·北京門頭溝·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以.故選：D5．（2324高一下·四川資陽·月考）已知都是銳角，，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】、為銳角，，，由于為銳角，.故選：C6．（2324高二上·四川成都·期末）計算：（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選：C二、多選題7．（2324高一下·江蘇徐州·月考）下列化簡結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D正確.故選：BCD.8．（2324高一下·江西·月考）下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由和差化積公式，得，故A錯誤；根據(jù)半角公式，得，故B正確；由積化和差公式，得，故C正確；當時，等式左邊有意義，右邊無意義，故D錯誤.故選：BC.三、填空題9．（2324高一下·海南·月考）函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】因為函數(shù)，其中，所以函數(shù)的最大值為，故答案為：10．（2324高一下·廣東佛山·月考）在中，若，則的值是．【答案】/【解析】由，得，即，又，所以，則，所以.故答案為：