安徽省江淮十校2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試題 含解析

江淮十校2025屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂照．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分式不等式的解法與交集的概念求解【詳解】由得，得，則，故選：B2.設(shè)，其中i為虛數(shù)單位．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)模的計(jì)算，結(jié)合充分性和必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以．令，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A3.若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，結(jié)合基本不等式及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較的大小，可得結(jié)論.【詳解】，而，且．所以，故．故選：D.4.已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，結(jié)合投影向量公式計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，與的夾角為，所以，則，所以在上的投影向量為．故選：B.5.定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的周期為2B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C.函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知及偶函數(shù)判斷周期判斷A,再結(jié)合周期判斷對(duì)稱性判斷B,C,D.【詳解】由題意可知，fx+4=?fx+2=fx，則函數(shù)的周期為4又，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，也關(guān)于1,0對(duì)稱，則的圖象不關(guān)于對(duì)稱，B錯(cuò)誤；若關(guān)于對(duì)稱，已知圖象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)周期為2矛盾，D錯(cuò)誤．對(duì)于C，為偶函數(shù)，則，可知，故C正確．故選：C.6.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圓的半徑，記的外心為，證得面，求得，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，列出方程求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，因?yàn)?，由余弦定理得，所以，則，故，記的外心為，連接，則取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，且平?平面，所以平面,平面，又因?yàn)槠矫?平面，所以，因?yàn)榍移矫?，所以面，可得由題意可得外接球的球心在上，設(shè)外接球的半徑為，可得，解得，即，所以球的表面積為．故選：A.7.已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】不等式可化為，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作函數(shù)，的圖象，由條件結(jié)合圖象列不等式求的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式化為：．令，，，故函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，gx>0，當(dāng)時(shí)，gx當(dāng)時(shí)，gx<0當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，畫(huà)出及hx的大致圖象如下，因?yàn)椴坏仁浇饧星∮袃蓚€(gè)不同的正整數(shù)解，故正整數(shù)解為．故，即．故.故選：C.8.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊．若的面積為，則等于（）A. B.1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先由題得直線斜率必存在且，故由對(duì)稱性不妨設(shè)得A和B在第一象限，過(guò)作軸交于點(diǎn)，則根據(jù)題意可得結(jié)合點(diǎn)，然后利用結(jié)合條件條件即得.【詳解】由題可知，，直線斜率必存在，且，由對(duì)稱性不妨設(shè)，則A和B在第一象限，因?yàn)椋?，過(guò)作軸交于點(diǎn)，則，即，又點(diǎn)在上，所以即，代入得，整理得，即，所以或，此時(shí)或，因?yàn)锳和B在第一象限，所以，故，所以，所以即.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由圖的結(jié)構(gòu)特征可知，所以解決本題的方向是求出點(diǎn)A和B，先由題得直線斜率必存在，且，故由對(duì)稱性不妨設(shè)得A和B在第一象限，過(guò)作軸交于點(diǎn)，則由得，再結(jié)合點(diǎn)在上計(jì)算整理得或，進(jìn)而由A和B在第一象限求出點(diǎn)A和B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.給出下列命題，其中正確命題為（）A.已知數(shù)據(jù)，滿足：，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的方差為21B.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的值越大，則推斷“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越小【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)方差計(jì)算判斷A,應(yīng)用正態(tài)分布概率計(jì)算求參判斷B,根據(jù)回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)求解判斷C,應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，去掉后平均數(shù)為，方差為故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，關(guān)于1對(duì)稱，則故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榛貧w方程為，所以，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的值越大，則兩變量有關(guān)系的程度的錯(cuò)誤率更低，故越大，判定“兩變量有關(guān)系”的錯(cuò)誤率更低，D選項(xiàng)正確．故選:ABD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)y=gx的圖象，且y=gx在上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)正確的是（）A.B.為圖象的一條對(duì)稱軸C.可以等于5D.的最小值為2【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象，可得，所以，所以，解得，又由函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，可得，所以，解得，因?yàn)?，可得；?dāng)時(shí)，可得，所以，解得，因?yàn)?，不存在，舍去，綜上可得，，，所以，所以A不正確，B正確；又因?yàn)?，所以是函?shù)的一條對(duì)稱軸，所以B正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則滿足．解得，當(dāng)時(shí)，，而，故不可能等于5，所以C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?，所以D正確．故選：BD.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過(guò)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．的內(nèi)心為與軸的交點(diǎn)為，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為2或B.若，且，則雙曲線的離心率為C.若，則的取值范圍是D.若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本量運(yùn)算直接得出離心率判斷A，結(jié)合雙曲線定義判斷B,結(jié)合內(nèi)切圓性質(zhì)判斷C，結(jié)合定義及余弦定理計(jì)算可得離心率判斷D.【詳解】對(duì)于A，雙曲線漸近線的夾角為，則或者故或．對(duì)于B，設(shè)，則．故，解得．又，故．對(duì)于C，令圓切分別為點(diǎn)，則，，令點(diǎn)，而，因此，解得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即直線的方程為，設(shè)直線的傾斜角為，那么，在中，在中，，漸近線的斜率為．因?yàn)榫谟抑?，故．如圖所求，．對(duì)于D，，故，而．故，由余弦定理可知，故．故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.根據(jù)幾何性質(zhì)確定的橫坐標(biāo)都是，2.設(shè)傾斜角為，將表示為的三角函數(shù).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】或．【解析】【分析】應(yīng)用二倍角公式及兩角差余弦公式化簡(jiǎn)最后由同角三角函數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】當(dāng),當(dāng).故答案為：或13.13.現(xiàn)有4個(gè)相同的袋子，里面均裝有4個(gè)除顏色外其他無(wú)區(qū)別的小球，第個(gè)袋中有個(gè)紅球，個(gè)白球．現(xiàn)將這4個(gè)袋子混合后，任選其中一個(gè)袋子，并且連續(xù)取出三個(gè)球（每個(gè)取后不放回），則第三次取出的球?yàn)榘浊虻母怕蕿開(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)“取出第個(gè)袋子”，“，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)“取出第個(gè)袋子，其中”，“從袋子中連續(xù)取出三個(gè)球，第三次取出的球?yàn)榘浊颉?，則，且兩兩互斥．，所以，所以，．故答案為：14.以表示數(shù)集中最小的數(shù)．函數(shù)的最大值是______．【答案】##．【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的最小值函數(shù)定義列式再結(jié)合換元，最后應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出單調(diào)性即可得出最大值.【詳解】．令，則．而．令，其中，則由，可知,令，得，即在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，已知在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求的值；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，從而可得，即，即可求解；（2）利用余弦定理及向量的數(shù)量積求出，利用平面向量基本定理表示出，再平方求解．【小問(wèn)1詳解】由題意知，，故．又，故，而，則．【小問(wèn)2詳解】在中，，故．，故故．16.如圖，在四棱錐中，，，平面平面為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直；（2）先應(yīng)用空間向量法計(jì)算線面角得出參數(shù)，再計(jì)算二面角即可.小問(wèn)1詳解】由題意：，同理，又．而，即又平面平面，平面平面平面，平面平面，又，且面面平面．【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，有，取面的一個(gè)法向量，則，故．令n=x,y,z是平面的一個(gè)法向量，則，即令，有，則故平面與平面夾角的余弦值為．17.橢圓的上頂點(diǎn)為，圓在橢圓內(nèi)．（1）求的取值范圍；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離小于半徑即可得出范圍；（2）設(shè)直線的方程直線,由點(diǎn)到直線距離等于半徑得出的方程為，最后再應(yīng)用圓心到直線距離等于半徑求參即可求出圓的方程．【小問(wèn)1詳解】設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，，則．則．故．【小問(wèn)2詳解】由題意可知，設(shè)，因?yàn)?，故切線的斜率都存在．又直線的方程為，即為，直線的方程為．則，故．而，故，又因?yàn)椋剩恚手本€的方程為．若直線與圓相切，則，令．故，即．故，或．故存在滿足條件的圓，其方程為．18.南昌地鐵1號(hào)線在2015年12月26日正式通車運(yùn)營(yíng)，共24站.第1站為雙港站，第24站是瑤湖西站.如果乘客乘坐從第1站開(kāi)往第24站的地鐵，則稱他為正向乘車，否則稱他為反向乘車.假設(shè)每隔5分鐘，在1號(hào)線上的任何一個(gè)站點(diǎn)（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘車，也可以反向乘車.在五一勞動(dòng)節(jié)的5天假期期間，張爸爸帶著大張和小張一起去南昌旅游.他們約定每天由一人統(tǒng)一管理三人的手機(jī)，相鄰兩天管理手機(jī)的人不相同.若某天是張爸爸管理手機(jī)，則下一天有的概率是大張管理手機(jī)；若某天是大張或小張管理手機(jī)，則下一天有的概率是張爸爸管理手機(jī)，第一天由張爸爸管理手機(jī).（1）記這5天中，張爸爸保存手機(jī)的天數(shù)為X，求X的分布列及期望．（2）在張爸爸管理手機(jī)的某天，三人在第13站八一廣場(chǎng)站下地鐵后，失去了聯(lián)系.張爸爸決定按照事先安排，獨(dú)自前往景點(diǎn).大張和小張都決定乘坐地鐵，每到一個(gè)站點(diǎn)，下車尋找對(duì)方.只要他們出現(xiàn)在同一個(gè)站點(diǎn)，就會(huì)尋找到對(duì)方，然后一起前往景點(diǎn)，和張爸爸匯合，如果沒(méi)有尋找到對(duì)方，則他們繼續(xù)乘車尋找.大張和小張正向乘車、反向乘車的概率均為.求在25分鐘內(nèi)（包含25分鐘），他們尋找到對(duì)方的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到變量的取值為，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（2）由題意知，大張和小張有的概率乘車的方向相同，轉(zhuǎn)化為求小張?jiān)谖宀絻?nèi)，第一次回到起點(diǎn)的概率，分類討論，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，隨機(jī)變量的取值為，可得；當(dāng)時(shí)，張爸爸管理手機(jī)的情況分為：在第3天、第4天、第5天三種情況．若在第3天管理手機(jī)，不同手機(jī)管理方法有4種，其概率為；若在第4天管理手機(jī)，不同的手機(jī)管理方法有4種，其概率為；若在第5天管理手機(jī)，不同的手機(jī)管理方法有2種，其概率為；所以．當(dāng)時(shí)，張爸爸管理手機(jī)的情況為：第3天和第5天，此時(shí)，不同的手機(jī)管理方法有4種，可得故．所以隨機(jī)變量的分布列為123所以隨機(jī)變量的期望為．【小問(wèn)2詳解】由題意知，大張和小張有的概率乘車的方向相同，當(dāng)大張和小張都乘車尋找對(duì)方時(shí)，可以視為大張?jiān)诘?3站不乘車，在某個(gè)站點(diǎn)，小張以的概率不乘車，以的概率正向乘車兩站，以的概率反向乘車兩站，現(xiàn)求小張?jiān)谖宀絻?nèi)，第一次回到起點(diǎn)的概率，若小張經(jīng)過(guò)一步，第一次回到起點(diǎn)，相當(dāng)于小張?jiān)诘谝徊竭x擇了停留，其概率為，若小張經(jīng)過(guò)兩步，第一次回到起點(diǎn)，其概率為；若小張經(jīng)過(guò)三步，第一次回到起點(diǎn)，則只能在第2步時(shí)停留，其概率為；若小張經(jīng)過(guò)四步，第一次回到起點(diǎn)，則小張有2種選擇，每站都不停留；或者停留2次，且只能在第2步和第3步停留，其概率為；若小張經(jīng)過(guò)五步，第一次回到起點(diǎn)，則小張有2種選擇，停留1次，且只能第2步或第3步或第4步停留；停留3次，且只能在第2步、第3步、第4步停留，其概率為，故滿足條件的概率為．19.在微積分