2023–2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記與巧練（人教版）第六章 實(shí)數(shù)知識(shí)突破（原卷版）

第六章實(shí)數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根.3.了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大為實(shí)數(shù)后，概念、運(yùn)算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍.知識(shí)點(diǎn)一：平方根和立方根類型項(xiàng)目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)符號(hào)表示性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)特別說(shuō)明：（1）所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．（2）無(wú)理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)，并且無(wú)理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.（4）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).3.實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：（1）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即||≥0；（2）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即≥0；（3）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即().非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負(fù)數(shù)有最小值零；（2）有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；（3）幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.5.實(shí)數(shù)的大小的比較：有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小；法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.【題型一無(wú)理數(shù)的識(shí)別】例題：在實(shí)數(shù)0、、、、、（相鄰兩個(gè)1之間有1個(gè)0）中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練】1．在實(shí)數(shù)（每?jī)蓚€(gè)1之間多一個(gè)0）中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．在，，，，，，，，（兩個(gè)“”之間依次多一個(gè)“”）中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型二實(shí)數(shù)的分類】例題：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：，0，，，，，，有理數(shù)集合：{_____________________}；無(wú)理數(shù)集合：{______________________}；負(fù)實(shí)數(shù)集合：{______________________}．【變式訓(xùn)練】1．把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，0，（相鄰兩個(gè)2之間的1的個(gè)數(shù)逐次加1）2．把下列各數(shù)填到相應(yīng)的集合內(nèi)只填序號(hào)：；；；：；；；；；（相鄰兩個(gè)之間的個(gè)數(shù)逐次加一）有理數(shù)集合：___________________________．無(wú)理數(shù)集合：___________________________．正實(shí)數(shù)集合：___________________________．負(fù)實(shí)數(shù)集合：__________________________．【題型三求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】例題：1的平方根為______，8的立方根為______，9的算術(shù)平方根為______．【變式訓(xùn)練】1．的平方根是__________，的算術(shù)平方根是__________．2．25的平方根是_______，的算術(shù)平方根是_______，的立方根是_________．【題型四利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】例題：若+（b﹣2）2＝0，則a+b＝_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┤?，則的值是（

）A． B．1 C． D．20242．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，則．3．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，則的算術(shù)平方根是.【題型五利用平方根、立方根解方程】例題：求出下列x的值：(1)4x2-9=0(2)8（x+1）3=125【變式訓(xùn)練】1．求的值：(1)；(2)．2．解方程：(1)3x2﹣27＝0；(2)（x﹣1）2(3)8（x﹣1）3【題型六算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用】例題：（2023上·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的立方根是的算術(shù)平方根為．(1)分別求的值；(2)求的平方根．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：的立方根是的算術(shù)平方根3．(1)求的值；(2)求的平方根．2．（2023上·甘肅定西·七年級(jí)校考期末）已知的兩個(gè)平方根分別是，的立方根為2．(1)求的平方根；(2)若的算術(shù)平方根是3，求的立方根．【題型七實(shí)數(shù)與數(shù)軸】例題：如圖，正方形的面積為7.頂點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為1，點(diǎn)E在數(shù)軸上，且，則點(diǎn)E表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，面積為5的正方形的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為1，若點(diǎn)在數(shù)軸上（點(diǎn)在點(diǎn)A左側(cè)），且，則點(diǎn)所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，在數(shù)軸上，兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1，，，則點(diǎn)所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【題型八實(shí)數(shù)的大小比較】例題：比較大?。篲_____．【變式訓(xùn)練】1．比較大?。篲_____．2．比較大?。海?）_____；（2）_____（3）_____；（4）_____．【題型九實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】例題：計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．2．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．3．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：(1)；(2)．【題型十程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算】例題：如圖，是一個(gè)計(jì)