2023–2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記與巧練（人教版）第六章 實數(shù)知識突破（原卷版）

第六章實數(shù)（知識歸納+題型突破）1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.知識點一：平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論知識點二：實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)實數(shù)特別說明：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.（4）實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應(yīng)的.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式：（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即().非負數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負數(shù)有最小值零；（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較：有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.【題型一無理數(shù)的識別】例題：在實數(shù)0、、、、、（相鄰兩個1之間有1個0）中，無理數(shù)的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓練】1．在實數(shù)（每兩個1之間多一個0）中，無理數(shù)的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．在，，，，，，，，（兩個“”之間依次多一個“”）中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型二實數(shù)的分類】例題：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：，0，，，，，，有理數(shù)集合：{_____________________}；無理數(shù)集合：{______________________}；負實數(shù)集合：{______________________}．【變式訓練】1．把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，0，（相鄰兩個2之間的1的個數(shù)逐次加1）2．把下列各數(shù)填到相應(yīng)的集合內(nèi)只填序號：；；；：；；；；；（相鄰兩個之間的個數(shù)逐次加一）有理數(shù)集合：___________________________．無理數(shù)集合：___________________________．正實數(shù)集合：___________________________．負實數(shù)集合：__________________________．【題型三求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】例題：1的平方根為______，8的立方根為______，9的算術(shù)平方根為______．【變式訓練】1．的平方根是__________，的算術(shù)平方根是__________．2．25的平方根是_______，的算術(shù)平方根是_______，的立方根是_________．【題型四利用算術(shù)平方根的非負性解題】例題：若+（b﹣2）2＝0，則a+b＝_____．【變式訓練】1．（2023上·浙江杭州·七年級校考期中）若，則的值是（

）A． B．1 C． D．20242．（2023下·江蘇·八年級專題練習）已知，則．3．（2023下·七年級課時練習）已知，則的算術(shù)平方根是.【題型五利用平方根、立方根解方程】例題：求出下列x的值：(1)4x2-9=0(2)8（x+1）3=125【變式訓練】1．求的值：(1)；(2)．2．解方程：(1)3x2﹣27＝0；(2)（x﹣1）2(3)8（x﹣1）3【題型六算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用】例題：（2023上·貴州貴陽·八年級?？茧A段練習）已知的立方根是的算術(shù)平方根為．(1)分別求的值；(2)求的平方根．【變式訓練】1．（2023上·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）已知：的立方根是的算術(shù)平方根3．(1)求的值；(2)求的平方根．2．（2023上·甘肅定西·七年級?？计谀┮阎膬蓚€平方根分別是，的立方根為2．(1)求的平方根；(2)若的算術(shù)平方根是3，求的立方根．【題型七實數(shù)與數(shù)軸】例題：如圖，正方形的面積為7.頂點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為1，點E在數(shù)軸上，且，則點E表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．如圖所示，面積為5的正方形的頂點A在數(shù)軸上，且點A表示的數(shù)為1，若點在數(shù)軸上（點在點A左側(cè)），且，則點所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，在數(shù)軸上，兩點表示的數(shù)分別為1，，，則點所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【題型八實數(shù)的大小比較】例題：比較大?。篲_____．【變式訓練】1．比較大?。篲_____．2．比較大小：（1）_____；（2）_____（3）_____；（4）_____．【題型九實數(shù)的混合運算】例題：計算：．【變式訓練】1．（2023上·江蘇常州·八年級?？茧A段練習）計算：(1)；(2)．2．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）計算：(1)；(2)．3．（2023上·江蘇常州·八年級校考期中）計算：(1)；(2)．【題型十程序設(shè)計與實數(shù)運算】例題：如圖，是一個計