蘇科版2024-2025學年九年級數(shù)學上冊2.19 弧長、扇形面積與圓錐側面積（專項練習）（基礎練）（含答案）

專題2.19弧長、扇形面積與圓錐側面積（專項練習）（基礎練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2024·貴州·中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若，，則的長為（

）A． B．25π C．20π D．2．（2023·河南安陽·一模）一個扇形的弧長是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為（

）A． B．12π C．15π D．4．（23-24九年級上·山東聊城·期中）如圖，是圓O的直徑，弦，，，則（）A． B．43π C． D．5．（2024·內蒙古赤峰·二模）一個圓錐的側面積是，它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的高為（

）A． B． C． D．6．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）《九章算術》是我國古代數(shù)學經(jīng)典著作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式：弧田面積=12（弦矢矢）．弧田（如圖所示）由圓弧和其所對弦圍成，公式中的“弦”指圓弧所對的弦，“矢”指半徑長與圓心O到弦的距離（d）之差．若“弦”為24，d為5，根據(jù)上述經(jīng)驗公式計算，該弧田的面積為（

）A．80 B．100 C．104 D．1287．（2023·湖南·中考真題）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為（

）

A． B． C．8π D．16π8．（2024·浙江衢州·一模）某款掃地機器人的俯視圖是一個等寬曲邊三角形（分別以正的三個頂點A，，為圓心，長為半徑畫弧得到的圖形）．若已知，則曲邊的長為（

）A． B． C． D．12π9．（2024·甘肅蘭州·一模）把直尺、圓片和兩個同樣大小的含30°角的直角三角尺按圖所示放置，兩三角尺的斜邊與圓分別相切于點B，C．若，則（

）

A． B． C． D．3π10．（21-22九年級上·遼寧盤錦·階段練習）將兩塊全等的三角板和按如圖所示的位置放置．，，若三角板繞點C沿逆時針方向旋轉，使點E恰好落在斜邊上，則點A運動路徑的長度為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2024·北京·三模）已知一個扇形的面積是12π，弧長是，則這個扇形的半徑為．12．（2024·吉林長春·模擬預測）一個鬧鐘的時針長是，從下午1點到下午4點，時針所掃過的面積是．13．（2024·江蘇南京·模擬預測）若圓錐的母線長為4，底面圓的半徑長為3，那么該圓錐的高是．14．（2024·河南鄭州·模擬預測）如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點的直線折疊，點恰好落在上的點處，折痕交于點，則圖中陰影部分的面積是．（結果保留）15．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）若一個圓錐的底面圓的半徑為2，母線長為3，則該圓錐側面展開圖的圓心角是°．16．（23-24九年級上·山東泰安·期中）如圖，有一個圓錐形糧堆，正三角形的邊長為6m，糧堆母線的中點P處有一只老鼠正在吃糧食，此時小貓正在B處，它要沿圓錐側面P處捉老鼠，小貓所經(jīng)過的最短路程是m．17．（2024·河南省直轄縣級單位·模擬預測）某公園摩天輪是一種大型轉輪狀機械建筑設施，上面掛在輪邊緣的是供乘客乘搭的座艙，坐在摩天輪上慢慢往上轉可以從高處俯瞰春天的景色．如圖①，A，B表示摩天輪上的兩個座艙，如圖②所示為其示意圖．點O是圓心，半徑為，A，B是圓上的兩點，∠AOB=120°，則的長為m（結果保留）．18．（2024·吉林四平·一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，使一塊三角尺；角的頂點和另一塊三角尺的直角頂點重合，記為點O，點C在邊上，點A、D在的兩側，以O為圓心，長為半徑畫，分別交于點E、F，則的長為（結果保留）．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）19．（2024·湖南長沙·一模）如圖，已知，，觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，判斷P點位置，求弧的長度．

20．（8分）（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，是的弦，經(jīng)過圓心交于點，．（1）求證：是的切線；（2）若，求圖中陰影部分的面積．21．（10分）（23-24九年級上·河北邢臺·期中）如圖，這是圓錐側面展開得到的扇形，此扇形半徑，圓心角∠ACB=120°，

（1）求的長．（2）求此圓錐高的長．22．（10分）（23-24九年級下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，四邊形是正方形，以邊CD為直徑作，點在BC邊上，連結DE交于點，連結CF并延長交AB于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．（結果保留）23．（10分）（23-24八年級下·四川達州·期中）如圖，已知是等邊三角形，邊長為8，將繞點O順時針旋轉．（1）用尺規(guī)作出旋轉后的三角形；（2）求點C的對應點的坐標；（3）求線段掃過的面積．24．（12分）（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）平面內一個正n邊形，將平面內與正n邊形的各頂點距離都小于等于邊長的所有點組成的圖形稱為這個正n邊形的“伴侶形”．將正n邊形內與其各頂點距離都大于等于邊長的所有點組成的圖形稱為這個正n邊形的“遠伴侶形”．【觀察】如圖1，邊長為1的等邊，分別以A、B、C為圓心，AB長為半徑畫圓弧，則三條弧AB，BC，AC及其內部所組成的圖形上的點到各頂點距離都小于等于1，我們把這個圖形稱為正的“伴侶形”．【判斷】（1）______（填“是”或“不是”）所有的正多邊形都有“伴侶形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多邊形都有“遠伴侶形”；【操作】（2）如圖2，邊長為1的正方形ABCD，請作出正方形ABCD的“伴侶形”（將此“伴侶形”打上陰影），求此正方形ABCD的“伴侶形”的周長；

【探究】（3）結合圖3分析，若正n邊形的邊長為1，則當時，其“遠伴侶形”的周長為______，則當時，“遠伴侶形”的周長為______；

【歸納】（4）邊長為1的正n邊形（），其“遠伴侶形”的周長為______．參考答案：1．C【分析】本題考查了弧長，根據(jù)弧長公式∶求解即可．【詳解】解∵，，∴的長為，故選∶C．2．B【分析】利用弧長公式求解即可．【詳解】解：設圓心角為，根據(jù)題意得：，解得：，∴該扇形的圓心角的度數(shù)是，故B正確．故選：B．【點撥】本題主要考查了弧長公式的應用，解題的關鍵是熟練掌握扇形的弧長公式．3．B【分析】本題考查了圓錐的側面積展開圖公式，解題的關鍵是掌握圓錐的側面積的計算公式：圓錐的側面積底面半徑母線長．【詳解】解：，故選：B．4．C【分析】此題考查了垂徑定理、扇形面積的計算，解題的關鍵是學會利用分割法求陰影部分面積，用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，根據(jù)求出結果即可．【詳解】解：如圖，設線段，交于點E，∵是的直徑，弦，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．5．C【分析】本題考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解題的關鍵．利用扇形的面積公式可得圓錐的母線長，進而求得扇形的弧長，除以即為圓錐的底面圓半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可．【詳解】解：設圓錐的母線長為，則，解得：，∴圓錐側面展開圖的弧長為：∴圓錐的底面圓半徑是，∴圓錐的高為故選C．6．D【分析】本題考查了弧田面積計算問題，也考查了理解與運算能力．根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形利用直角三角形的邊角關系求出矢和弦的值，代入公式計算求值即可．【詳解】解：如圖，過點O作于點C，由題意可知，∴，在中，，∴矢，∴該弧田的面積為，故選：D．7．C【分析】根據(jù)底面周長等于的長，即可求解．【詳解】解：依題意，的長，故選：C．【點撥】本題考查了圓錐的側面展開圖的弧長，熟練掌握圓錐底面周長等于的長是解題的關鍵．8．B【分析】本題考查的是正多邊形和圓的知識，掌握弧長公式是解題的關鍵．根據(jù)正三角形的性質求出弧的半徑和圓心角，根據(jù)弧長的計算公式求解即可．【詳解】解：由題意得是正三角形，，的長為：．故選：B．9．C【分析】本題考查了切線的性質，正方形的判定和性質，連接，，根據(jù)切線的性質得到，，推出四邊形是正方形，求得ZBOC=90°，，根據(jù)弧長公式即可得到結論．【詳解】解：連接，

∵兩三角尺的斜邊與圓分別相切于點B，C，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴,，∴故選∶C．10．B【分析】根據(jù)題意確定為等邊三角形，從而得出∠ECB的度數(shù)，結合，代入弧長運算公式即可得出答案．【詳解】解：，，又∵∠B=60°，為等邊三角形，，，則運動路徑的長度．故選：B．【點撥】本題考查了弧長的計算，解答本題的關鍵是根據(jù)題意判斷為等邊三角形，另外要求同學們熟練掌握弧長的計算公式．11．【分析】本題考查扇形面積公式，根據(jù)扇形面積公式直接代入求解即可得到答案．【詳解】解：∵一個扇形的面積是12π，弧長是，∴，解得：，故答案為：．12．【分析】本題主要考查扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積的計算公式是解題的關鍵．先求出從1點到下午4點掃過的角度，再根據(jù)扇形面積的計算公式計算即可．【詳解】解：由題知，時針從1點到下午4點掃過，鬧鐘的時針長是，．故答案為：．13．【分析】本題主要考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐的定義是解題的關鍵．根據(jù)圓錐的定義以及勾股定理即可得到答案．【詳解】解：圓錐的母線長為4，底面圓的半徑長為3，該圓錐的高是，故答案為：．14．【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形面積，扇形面積公式，折疊的性質等知識點．在解答此題時要注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．首先連接，由折疊的性質，可得，，，則可得是等邊三角形，是等腰直角三角形，故可得出的長，再根據(jù)即可得出結論．【詳解】解：連接，由翻折而成，，，，是等邊三角形．∴∠BOD=60°，，，是等腰直角三角形．，，．故答案為：．15．240【分析】本題考查了圓錐的計算：理解圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題的關鍵．【詳解】圓錐側面展開圖的弧長是，設圓心角的度數(shù)是，則，解得，故答案為：．16．3【分析】由題意得，圓錐的底面半徑為3m，母線線長為6m．求出底面周長，根據(jù)圓的底面周長等于展開后扇形的弧長，可求得展開后扇形的圓心角為，即圓錐側面展開為半圓．點正好在半圓的中點處，由此得為直角三角，根據(jù)勾股定理即可求出的長，即小貓所經(jīng)過的最短路徑．本題主要考查了圓錐的側面展開圖，及弧長的計算，熟練掌握弧長的計算公式是解題的關鍵．【詳解】為正三角形，，，∵底面積圓的周長等于展開后扇形的弧長，得：，，則，（m），故答案為：3517．【分析】本題考查弧長公式，解題的關鍵是記住弧長公式，利用弧長公式求解．【詳解】解：由題意的長．故答案為：．18．【分析】本題考查了弧長公式，根據(jù)題意可知圓心角的度數(shù)為：，然后根據(jù)弧長公式計算即可；熟知弧長公式是關鍵．【詳解】解：由題意得，在中，故答案為：19．，詳見解析【分析】本題考查了作圖?基本作圖，弧長公式等知識點，由作圖可知，點P在角的角平分線與弧的交點上，再根據(jù)弧長公式求解即可，熟記弧長公式是解題的關鍵．【詳解】由作圖可知，點P在角的角平分線與弧的交點上，∴，∴弧的長．20．(1)見解析(2)【分析】本題考查圓的基本性質，切線定理，勾股定理的知識，解題的關鍵是掌握圓的基本性質，切線定理，勾股定理的應用，即可．（1）連接，根據(jù)，求出，根據(jù)，則，即可；（2）根據(jù)，則，再根據(jù)，，求出，；根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的外角，則，陰影部分的面積等于△DBO的面積減去扇形的面積，即可．【詳解】（1）連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線．（2）∵是的切線，，∴，∵，，∴，∴，∴，BO=2，∴，∵，∴，∴，∴陰影部分的面積為：．21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)弧長公式進行求解即可；（2）先求出底面半徑，再用勾股定理求出圓錐的高即可．【詳解】（1）解：的長．（2）設的長為r，則，解得．在中，，由勾股定理得．22．(1)見解析(2)【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定與性質、弧長的求解等知識點，熟記相關幾何結論是解題關鍵．（1）證即可；（2）根據(jù)題意求出即可求解；【詳解】（1）證明：由題意得：，∴∴∴∴（2）解：連接，如圖所示：∵，∴∵∴∴∴的長為：23．(1)見詳解(2)(3)4π【分析】（1）根據(jù)旋轉前后圖形是全等形的性質，且將繞點O順時針旋轉的條件，進行作圖即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質以及勾股定理，分別得出，結合點所在的象限，作進一步的分析，即可作答．（3）運用扇形面積公式代入數(shù)值進行計算，即可作答．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：如上圖所示：點C的對應點的坐標是點，∵是等邊三角形，邊長為8，∴∴∵點在第三象限∴；（3）解：∵是等邊三角形，邊長為8，將繞點O順時針旋轉∴24．(1)不是；不是(2)圖形見詳解，(3)，(4)【分析】（1）根據(jù)定義判斷正多邊形的中心點到頂點的距離即可得到結論；（2）利用定義即可畫出正方形ABCD的“伴侶形”，連接、和，根據(jù)定義有為等邊三角形，得，求得，結合弧長公式即可求得答案；（3）當，連接、、和，由題意得，則和為等邊三角形，得，由和的度數(shù)，即可求得的長度，則有“遠伴侶形”的周長；當時，“遠伴侶形”的周長同理即可求得；（4）結合前面的求解過程先求一段弧長對應的角度，再求其弧長即可解得“遠伴侶形”的周長．【詳解】（1）解：不是所有的正多邊形都有“伴侶形”，當時，“伴侶形”為一個點，當時沒有“伴侶形”，即當正多邊形的中心到頂點的距離大于邊長便沒有