12.3　角的平分線的性質(zhì)　第1課時(shí)　角平分線的性質(zhì)

第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)一尺規(guī)作圖：作已知角的平分線1.

如圖1，已知∠

ABC

，用尺規(guī)作它的平分線.如圖2，步驟如下：第一步：以點(diǎn)

B

為圓心，以

a

為半徑畫(huà)弧，分別交射線

BA

，

BC

于點(diǎn)

D

，

E

；第二步：分別以點(diǎn)

D

，

E

為圓心，以

b

為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠

ABC

內(nèi)部交于點(diǎn)

P

；第三步：畫(huà)射線

BP

.

射線

BP

即為所求.123456789101112建議用時(shí)：30分鐘A.

a

，

b

均無(wú)限制B.

a

＞0，

b

＞

DE

的長(zhǎng)C.

射線

BP

為∠

ABC

平分線的依據(jù)是“ASA”D.

射線

BP

為∠

ABC

平分線的依據(jù)是“SAS”下列說(shuō)法正確的是(

B

)B123456789101112知識(shí)點(diǎn)二角平分線的性質(zhì)2.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

B

＝90°，

AD

平分∠

BAC

，交

BC

于點(diǎn)

D

，

DE

⊥

AC

，

垂足為

E

，若

BD

＝3，則

DE

的長(zhǎng)為(

A

)A.

3B.

C.

2D.

6A123456789101112

1

1234567891011124.

→T9(2024長(zhǎng)沙寧鄉(xiāng)期末)如圖，

AD

為△

ABC

的角平分線，且

AB

＝3，

AC

＝5，則△

ABD

和△

ADC

的面積之比為

?.3∶5

1234567891011125.

如圖，點(diǎn)

P

是∠

AOC

的平分線上一點(diǎn)，

PD

⊥

OA

，垂足為

D

，且

PD

＝3，點(diǎn)

M

是射線

OC

上一動(dòng)點(diǎn)，則

PM

的最小值為

?.3

1234567891011126.

(教材P51習(xí)題T4改編)如圖，在△

ABC

中，

AD

是它的角平分線，

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

.

求證：點(diǎn)

A

到

DE

和

DF

的距離相等.證明：∵

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，∴∠

ADE

＝∠

FAD

，∠

ADF

＝∠

EAD

.

∵

AD

是∠

BAC

的平分線，∴∠

FAD

＝∠

EAD

，∴∠

ADE

＝∠

ADF

，即

DA

是∠

EDF

的平分線，∴點(diǎn)

A

到

DE

和

DF

的距離相等.123456789101112

7.

(2023蕪湖南陵期末)如圖，

OP

平分∠

AOB

，

PA

⊥

OA

，

PB

⊥

OB

，垂足分別為

A

，

B

.

下列結(jié)論中不一定成立的是(

D

)A.

PA

＝

PB

B.

PO

平分∠

APB

C.

OA

＝

OB

D.

AB

垂直平分

OP

D1234567891011128.

如圖，已知在四邊形

ABCD

中，∠

BCD

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，

AB

＝6，

BC

＝

9，

CD

＝4，則四邊形

ABCD

的面積是(

B

)A.

24B.

30C.

36D.

42B1234567891011129.

如圖，△

ABC

中，

AD

是角平分線，

BE

是△

ABD

的中線，若△

ABC

的面積

是24，

AB

＝5，

AC

＝3，則△

ABE

的面積是(

C

)A.

15B.

12C.

7.5D.

6C12345678910111210.

(2024晉江期末)如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

ABC

的平分線

BD

交

AC

于點(diǎn)

D

，

DE

⊥

AB

，垂足為

E

，若

AB

＝10，

BC

＝6，

AC

＝8，則△

ADE

的周長(zhǎng)

是

?.解析：∵

BD

是∠

ABC

的平分線，

DE

⊥

AB

，

DC

⊥

BC

，∴

DE

＝

CD

，∠

CBD

＝

∠

EBD

，∴

AD

＋

DE

＝

AD

＋

CD

＝

AC

＝8.∵∠

CBD

＝∠

EBD

，∠

C

＝∠

DEB

＝

90°，∴∠

CDB

＝∠

EDB

，∴

DB

平分∠

CDE

.

∵

BC

⊥

CD

，

BE

⊥

DE

，∴

BE

＝

BC

＝6，∴

AE

＝

AB

－

BE

＝10－6＝4，∴△

ADE

的周長(zhǎng)＝

AD

＋

DE

＋

AE

＝8＋4＝12.12

12345678910111211.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

A

＝90°，

AB

＝

AC

，按以下步驟作圖：

22.5°

12345678910111212.

(2023聊城期末)如圖，四邊形

ABCD

中，∠

B

＝90°，

AB

∥

CD

，

M

為

BC

邊上一

點(diǎn)，且

AM

平分∠

BAD

，

DM

平分∠

ADC

.

求證：(1)

AM

⊥

DM

；證明：(1)∵

AB

∥

CD

，∴∠

BAD

＋∠

ADC

＝180°.∵

AM

平分∠

BAD

，

DM

平分∠

ADC

，∴2∠

MAD

＋2∠

ADM

＝180°，∴∠

MAD

＋∠

ADM

＝90°，∴∠

AMD

＝90°，即

AM

⊥

DM

.

123456789101112(2)

M

為

BC

的中點(diǎn).證明：(2)如圖，作

MN

⊥

AD

于點(diǎn)

N

.

∵∠

B

＝90°，

AB

∥

CD

，∴

BM

⊥