2024-2025學(xué)年河南省鄭州市中牟第一高級(jí)中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省鄭州市中牟第一高級(jí)中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知a=(2,?1,3),b=(?4,2,x)，且a/?/b，則A.103 B.?103 C.62.若{a,b,c}A.a B.a+2b C.a+23.已知三棱錐P?ABC，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且PA=a，PB=b，PC=c，用a,A.12(a+b?c) 4.三棱錐O?ABC中，點(diǎn)P∈面ABC，且OP=12OA+kA.?12 B.12 C.15.已知點(diǎn)Pn(1,2,3)是法向量為n=(1,1,1)的平面ABC內(nèi)的一點(diǎn)，則下列各點(diǎn)中，不在平面ABC內(nèi)的是A.(3,2,1) B.(?2,5,4) C.(?3,4,5) D.(2,?4,8)6.已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA.155 B.105 C.7.如圖，已知二面角α?l?β的大小為60°，A∈α，B∈β，C，D∈l，AC⊥l，BD⊥l且AC=BD=3，CD=5，則AB=(

)A.34B.6C.2138.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長(zhǎng)都是1，M是BC的中點(diǎn)，CN=λA.12

B.13

C.14二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量m=(?1,?1,1)，n=(1,1,?1)分別為平面α，β的法向量，c=(1,0,1)為直線l的方向向量，且l?β，則A.m⊥β B.1//β C.1⊥α D.10.若平面α，β的法向量分別是n1=(3,?4,2)，n2=(?2,0,3)，直線l的方向向量為a=(2,0,?3)，直線m的方向向量為A.α⊥β B.l//α

C.l與m為相交直線 D.a在b上的投影向量為(0,11.如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，CC1=C1A.13

B.45

C.23三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A(3,2,?1)，B(2,1,2)，C(3,1,?1)，則點(diǎn)C到直線AB的距離為______．13.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若點(diǎn)P(a,b,2a)關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)為Q(2?a,?b,b+5)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．14.在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(0,2,1)，點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且AD⊥BC，那么|CD|的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b，AD=c．

(1)用a，b，c分別表示向量DM，CN；

(2)求異面直線16.(本小題15分)

已知正三棱柱ABC?A1B1C1，底面邊長(zhǎng)AB=2，AB1⊥BC1，點(diǎn)O、O1分別是邊AC，A1C1的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．17.(本小題15分)

在三棱錐P?ABC中，PC=AB=AC=22BC=1，PC⊥平面ABC，點(diǎn)M是棱PA上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，且PM=CN=x(0<x<2)．

(1)當(dāng)x=22時(shí)，求證：18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明：

(1)BE//平面PAD；

(2)平面PCD⊥平面PAD．19.(本小題17分)

如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中PO是圓錐的高，AB是圓錐底面的一條直徑，PO=2，OA=1，C是AB的中點(diǎn)．

(1)求直線BC與PA所成角的余弦值；

(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

參考答案1.D

2.B

3.D

4.D

5.B

6.A

7.A

8.C

9.AB

10.AD

11.BD

12.11013.(1,?3,2)

14.215.解：如圖，∵M(jìn)為棱BC的中點(diǎn)，AB=a.AC=b,AD=c，

∴DM=12(DB+DC)=12[(AB?AD)+(AC?AD)]=12(a+b?2c)，

又N為棱AB的中點(diǎn)，∴CN16.解：(Ⅰ)設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為?，

由題意得

A(0,?1,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,?1,?)，B1(3,0,?)，C1(0,1,?)．

AB1=(3,1,?),BC1=(?3,1,?)，

AB117.證明：(1)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè)，

∵PC⊥平面ABC，CD?平面ABC，AC?平面ABC，

∴PC⊥AC，PC⊥CD，則PC，AC，CD兩兩互相垂直．

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CD,CP正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)；

由AB=AC=22BC得，AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

∴△ABC為等腰直角三角形，∴B(1,1,0)；

同理可得：△APC為等腰直角三角形，

當(dāng)x=22時(shí)，AM=12AP,CN=12CB，∴M，N分別是AP，CB中點(diǎn)，

∴M(12,0,12),N(12,12,0)，∴MN=(0,12,?12),CA=(1,0,0)，

∴MN?CA=0×1+12×0+(?12)×0=0，∴MN⊥AC；

(2)由(1)可得：A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，△ABC，△APC為等腰直角三角形，

∴M(22x,0,1?22x),N(22x,22x,0)，

則M18.解：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，

又因?yàn)锳B⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，

依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1)，則BE=(0,1,1)，

所以AB=(1,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量，

又BE?AB=(0,1,1)?(1,0,0)=0，所以BE⊥AB，

又BE?平面PAD，所以BE//平面PAD．

(2)由(1)知平面PAD的法向量AB=(1,0,0)，PD=(0,2,?2)，DC=(2,0,0)，

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則n?PD=0n?DC=0，即2y?2z=02x=0，令y=1，可得z=119.解：(1)以O(shè)為原點(diǎn)，OC,OB,OP的方向分別作為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,?1,0)，B(0,1,0)，P(0,0,2)，C(1,0,0)，

所以PA=(0,?1,?2)，BC