2023-2024學(xué)年湖南省湘西州永順一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年湖南省湘西州永順一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z(i?1)=2，則Z=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i2.已知向量a=(1,?2)，b=(cosα,sinα)，若a⊥b，則sinα?cosαA.13 B.23 C.?13.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bc=43，sinA+2sinBcosC=0，則△ABC面積的最大值為(

)A.1 B.3 C.2 D.4.如圖，已知圓錐的底面直徑AB=2，母線VA=233，過(guò)頂點(diǎn)V作平面α與底面相交于M，N兩點(diǎn)，則△VMNA.33 B.23 C.25.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知a=23，c=22，1+tanA.π6 B.π4 C.π4或3π6.已知函數(shù)f(x)=x2?x+1,x>0x+2,x<0，則不等式f(x)>1A.(?1,0)∪(0,1) B.(?∞,?1)∪(1,+∞)

C.(?∞,?1)∪(0,1) D.(?1,0)∪(1,+∞)7.在3世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作．割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)n越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積．運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin9°的近似值為(????)(π取近似值3.14)A.0.039 B.0.157 C.0.314 D.0.0798.已知在△ABC中，∠BAC=π3，點(diǎn)D滿足2BD=DC，且AD=2，則A.32 B.332 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD?A1B1C1D1A.B1P//A1D

B.B1P//平面ADD1A10.函數(shù)f(x)=x|x|+ax+b，下面的結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)的圖象為中心對(duì)稱圖形 B.存在a，b使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)且僅當(dāng)a?4b≥0時(shí)，f(x)有零點(diǎn) D.存在a，b使得f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)11.已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則下列命題中正確的是(

)A.若A>B，則sinA>sinB B.若A>B，則sin2A>sin2B

C.若a>b，則cosA<cosB D.若a>b，則cos2A<cos2B三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。12.已知函數(shù)f(x)=sinxcosx，則函數(shù)f(x)的最小正周期為_(kāi)_____．13.18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家辛卜森運(yùn)用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺(tái)等幾何體Ω的統(tǒng)一體積公式V=16?(L+4M+N)(其中L，N，M，?分別為Ω的上底面面積、下底面面積、中截面面積和高)，我們也稱為“萬(wàn)能求積公式”.例如，已知球的半徑為R，可得該球的體積為V=16×2R(0+4×πR2+0)=43πR3；已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為?，可得該正四棱錐的體積為V=16×?[0+4×(a2四、解答題：本題共6小題，共82分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。14.(本小題5分)

在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(c+b)(sinC?sinB)=a(sinA?sinB).若c=23，則a15.(本小題13分)

設(shè)f(x)=a?b.其中向量a=(2sinωx,2cosωx+1)，b=(2cosωx,216.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)．求證：

(1)直線EG//平面BDD1B1；

(2)平面EFG//平面17.(本小題15分)

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)f(x)解析式；

(2)若f(x18.(本小題17分)

如圖，在梯形ABCD中，AD=2，DC=CB=3，AB=2DC，點(diǎn)E、F是線段DC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)G，點(diǎn)H是線段AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC上的一點(diǎn)．

(1)求AB?AD的值；

(2)直線AP分別交線段EG、FH于M，N兩點(diǎn)，若B、N、D三點(diǎn)在同一直線上，求19.(本小題17分)

從①3bsinA1+cosB=a；②asinB?3bcosBcosC=3ccos2B；③1+tanBtanC=2ac；

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若_____．

(1)求角B的大??；

(2)求sinA+sinC取值范圍；

(3)當(dāng)sinA+sinC取得最大值時(shí)，在△ABC所在平面內(nèi)取一點(diǎn)D(D與參考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.B

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.π

13.92π314.(20,24]

15.解：∵a=(2sinωx,2cosωx+1)，b=(2cosωx,2cosωx?1)

∴f(x)=a?b=2sinωxcosωx+2cos2ωx?1=sin2ωx+cos2ωx

=2sin(2ωx+π4)

(1)當(dāng)ω=1時(shí)，f(x)=2sin(2x+π4)

∵x∈(0,π2)，∴π416.解：(1)證明：連接SB，由EG為△CSB的中位線，可得EG/?/SB，

由EG?平面BDD1B1，SB?平面BDD1B1，可得EG/?/平面BDD1B1；

(2)由EF/?/DB，EF?平面BDD1B1，DB?//平面BDD1B1，

可得EF////平面BDD1B1，

又由(1)可得EG/?/平面BDD1B1，

EF∩EG=E，可得平面EFG/?/平面BDD1B1；

(3)取B1C1的中點(diǎn)N，連接A1N17.解：(1)由圖象可知A=1，

周期T=2(2π3?π6)=2×π2=π，

所以ω=2πT=2，

sin(2×π6+φ)=1，又|φ|<π2，則φ=π6．

所以f(x)=sin(2x+π6)18.解：(1)設(shè)AB=a，AD=b，

∵CB=CD+DA+AB=?12a?b+a=12a?b，

∴CB2=14a2?a?b+b2=13?a?b=9，即AB?AD=a?b=4；

(2)設(shè)AN=xAF+yAH，即x(AF?AN)+y(AH?AN)=AN?(x+y)19.解：(1)若選①：∵3bsinA1+cosB=a，

∴由正弦定理得3sinBsinA1+cosB=sinA，即3sinBsinA=sinA(1+cosB)，

∵0<A<π2，即sinA≠0，

∴3sinB=1+cosB，整理得sin(B?π6)=12，

又0<B<π2，即?π6<B?π6<π3，

則B=π3；

若選②：∵asinB?3bcosBcosC=3ccos2B，

∴由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosBcosC+3sinCcos2B，

即sinAsinB=3cosB(sinBcosC+sinCcosB)=3cosBsin(B+C)，

∴sinAsinB=3cosBsinA，

又A∈(0,π)，即sinA≠0，

∴sinB=3cosB，即tanB=3，

∵