2024-2025學年湖北省武漢市部分學校高三（上）調(diào)研數(shù)學試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖北省武漢市部分學校高三（上）9月調(diào)研數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù)z滿足z+2z=2?i，則z=(

)A.?1?i B.?1+i C.1?i D.1+i2.已知集合A={x|x2?2x?3<0}，B={y|y=lg(A.(?1,3) B.(?1,0] C.[0,3) D.(?∞,3)3.(2x?1x2)7A.672 B.?420 C.84 D.?5604.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10?S3A.1 B.2 C.3 D.45.某圓錐母線長為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為2π，則該圓錐體積為(

)A.3π8 B.π8 C.36.已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)=ax?a,x≤aloga(x+a)+1,x>a的值域為A.(0,12] B.[12,1)7.已知函數(shù)f(x)=tanθ?tan(x+θ)1?2tan(x+θ)是[?πA.2 B.?2 C.12 D.8.設橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，已知點PA.57 B.63 C.2?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某科技公司統(tǒng)計了一款App最近5個月的下載量如表所示，若y與x線性相關，且線性回歸方程為y=?0.6x+a月份編號x12345下載量y(萬次)54.543.52.5A.y與x負相關 B.a=5.6

C.預測第6個月的下載量是2.1萬次 D.10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分圖象如圖所示，則(

)A.φ=5π6 B.ω=2

C.f(x)的圖象關于直線x=5π3對稱 D.f(x)11.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x)?x，當0<x≤1時，f(x)=x?x，則A.當2<x≤3時，f(x)=x?2?2x+2

B.當n為正整數(shù)時f(n)=n?n22

C.對任意正實數(shù)t，f(x)在區(qū)間(t,t+1)內(nèi)恰有一個極大值點

D.若f(x)在區(qū)間三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a=(5,1)，b=(1,?1)，c=(1,k)，若(a?b13.若雙曲線x2m+y2m+1=1的離心率為14.兩個有共同底面的正三棱錐P?ABC與Q?ABC，它們的各頂點均在半徑為1的球面上，若二面角P?AB?Q的大小為120°，則△ABC的邊長為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=1，PD⊥平面PAB．

(1)求PC的長；

(2)若PD=1，求直線PA與平面PCD所成角的正弦值．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=e2x+(a?2)ex?ax．

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2c?b=2asin(C?π6)．

(1)求角A；

(2)若a=6，D為邊BC上一點，AD為∠BAC的平分線，且18.(本小題17分)

已知平面內(nèi)一動圓過點P(2,0)，且該圓被y軸截得的弦長為4，設其圓心的軌跡為曲線E．

(1)求曲線E的方程；

(2)梯形ABCD的四個頂點均在曲線E上，AB//CD，對角線AC與BD交于點T(2,1)．

(i)求直線AB的斜率；

(ii)證明：直線AD與BC交于定點．19.(本小題17分)

有編號為1，2，…，n的n個空盒子(n≥2,n∈N)，另有編號為1，2，…，k的k個球(2≤k≤n,k∈N)，現(xiàn)將k個球分別放入n個盒子中，每個盒子最多放入一個球.放球時，先將1號球隨機放入n個盒子中的其中一個，剩下的球按照球編號從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號對應的盒子為空，則將該球放入對應編號的盒子中；若球的編號對應的盒子為非空，則將該球隨機放入剩余空盒子中的其中一個.記k號球能放入k號盒子的概率為P(n,k)．

(1)求P(3,3)；

(2)當n≥3時，求P(n,3)；

(3)求P(n,k)．

參考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.B

6.A

7.B

8.D

9.ACD

10.BC

11.BD

12.?2

13.?814.4315.解：(1)取AD中點O，連PO，CO，由BC/?/AO，且BC=AO，

所以四邊形ABCO為平行四邊形，所以OC/?/AB，

由PD⊥平面PAB，得PD⊥AB，所以OC⊥PD，

又AB⊥AD，所以OC⊥AD，又AD∩PD=D，所以OC⊥平面APD，

由OP?平面APD，所以OC⊥PO，

由PD⊥平面PAB，得PD⊥AP，所以OP=12AD=1，

又OC=AB=2，所以PC=OP2+OC2=5；

(2)以O為坐標原點，OC，OD為x，y軸的正方向，以過O且與平面ABCD垂直向上為z軸的正方向建立空間直角坐標系．

由PD=1，得△POD為正三角形，所以P(0,12,32)，

又A(0,?1,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)，所以CD=(?2,1,0)，PD=(0,12,?32)，

設平面PCD的法向量n=(x,y,z)，則n?CD=0n?PD=016.解：(1)當a=2時，則f(x)=e2x?2x，f′(x)=2e2x?2，

可得f(1)=e2?2，f′(1)=2e2?2，

即切點坐標為(1,e2?2)，切線斜率為k=2e2?2，

所以切線方程為y?(e2?2)=(2e2?2)(x?1)，即(2e2?2)x?y?e2=0．

(2)由題意可知：f(x)的定義域為R，且f′(x)=2e2x+(a?2)ex?a=(2ex+a)(ex?1)，

(i)若a≥0，則2ex+a>0，

令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0；

可知f(x)在(?∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；

(ii)若a<0，令f′(x)=0，解得x=ln(?a2)或x=0，

①當ln(?a2)<0，即?2<a<0時，令f′(x)>0，解得x>0或x<ln(?a2)；

令f′(x)<0，解得ln(?a2)<x<0，

可知f(x)在(ln(?a2),0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(?∞,ln(?a2))，(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增；

②當ln(?a2)=0，即a=?2時，則f′(x)=2(17.解：(1)由2c?b=2asin(C?π6)及正弦定理，

可得2sinC?sinB=2sinA(3?2sinC?12cosC)，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

則有2sinC?cosAsinC=3sinAsinC，

又C∈(0,π)，sinC≠0，所以3sinA+cosA=2，

即sin(A+π6)=1，又A+π6∈(π6,7π6)，

所以A+π6=π2，即A=π3；

(2)由AD為∠BAC的平分線，可得∠BAD=∠CAD=π6，

由S△ADB18.解：(1)設圓心為Q(x,y)，

由題意可得：|x|2+22=(x?2)2+y2，整理可得y2=4x，

所以曲線E的方程為y2=4x；

(2)(i)由題意可知：直線AB的斜率不存在，且不為0，

設AB：x=my+n(m≠0)，A(x1,y1).B(x2,y2).C(x3,y3).D(x4,y4)，

聯(lián)立方程x=my+ny2=4x，消去x可得y2?4my?4n=0，則Δ=16m2+16n>0，

可得y1+y2=4m，y1y2=?4n，

可知直線AC：x=x1?2y1?1(y?1)+2，

聯(lián)立方程x=x1?2y1?1(y?1)+2y2=4x，消去a可得y2?4(x1?2)y1?1y+4(x1?2)y1?1?8=0，

由題意可知：y1+y2=4(x1?2)y1?1，即y3=4x1?8y1?1?y1，且y12=4x1，

可得y19.解：(1)1號球放入1號盒中的概率為13，此時2，3號球分別放入2，3號盒中，

1號球放入2號盒中的概率為13，

欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號盒中，概率為12，

1號球放入3號盒中，此時3號球不能放入3號盒中，

綜上所述：P(3,3)=13+13×12=12．

(2)1號球放入1號，4號，5號，n號盒中的概率為n?2n，

此時3號球可放入3號盒中，

1號球放入2號盒中的概率為1n，欲使3號球放入3號盒中，

則2號球需放入1號，4號，5號，…，n號盒中，概率為n?2n，

1號球放入3號盒時，此時3號球不能放入3號盒中，

綜上，P(n,3)=n?2n+1n×n?2n?1=n?2n?1．

(3)1號球放入1號，k+1號，k+2號，k+3號，…，n號盒的概率為n?k+1n，

此時，k號球可放入k號盒中，

1號球放入j(2≤j≤k?1)號盒中的概率為1n，

此時2號，3號，…，j?1號球都可以放入對應的編號的盒中，

剩下編號為是j，j+1，j+2，…，k的球和編號為1