2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市汨羅一中高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市汨羅一中高三（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集U={x∈N|x≤5}，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則?U(A∪B)=(

)A.{1,5} B.{0,5} C.{1,2,3,4} D.{0,1,4,5}2.復(fù)數(shù)z=i+31?i3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知第二象限角α滿足tanα?tan(α+π4)=A.?45 B.45 C.34.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+1=A.116 B.18 C.145.已知數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)，{bn}滿足aA.{bn}是等差數(shù)列 B.{bn}是等比數(shù)列

C.6.近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬(wàn)人次，神秘的鄂倫春族再次走進(jìn)世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩.現(xiàn)安排6名鄂倫春小伙去三個(gè)不同的景點(diǎn)宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個(gè)景點(diǎn)至少安排1人，則不同的安排方法種數(shù)是(

)A.240 B.420 C.540 D.9007.如圖，A，B是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，P是⊙O：x2+y2=aA.13 B.23 C.8.“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中的一種重要測(cè)距方式，其定義如下：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離d(A,B)=|x1?x2|+|A.73+13 B.17二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2.若點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，PC的中點(diǎn)，則(

)A.AG⊥平面PBD

B.直線FG和直線AB所成的角為π4

C.當(dāng)點(diǎn)T在平面PBD內(nèi)，且TA+TG=2時(shí)，點(diǎn)T的軌跡為一個(gè)橢圓

D.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與四棱錐P?ABCD表面交線的周長(zhǎng)為10.已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M在棱DA.平面A1BC⊥平面B1C1D

B.不存在點(diǎn)M，使得直線CM/?/平面BA1C1

11.已知函數(shù)f(x)=x3+ax+14，(a<0)，其中Ai(xi,yi)，i=0，1，A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(0,14)中心對(duì)稱

B.函數(shù)f(x)的極大值有可能小于零

C.對(duì)任意的x1>x0>0，直線A0A3的斜率恒大于直線A12.已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，其中f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱，g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，f(x)?g(2+x)=4，g(2)=3，則(

)A.f(?x)+f(x)=0 B.f(2024)=7

C.g(2024)=?1 D.k=1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知集合M={x∈N|(x+2)(x?3)<0}，N={?2,?1,0,1,2}，則M∩N=______．14.已知函數(shù)f(x)=ex+e?x15.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C16.一位飛鏢運(yùn)動(dòng)員向一個(gè)目標(biāo)投擲三次，記事件Ai=“第i次命中目標(biāo)”(i=1,2,3)，P(A1)=18，P(A四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知函數(shù)f(x)=ex+asinx?1(a∈R)．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，求a的值；

(Ⅲ)若存在正實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的x∈(0,m)，都有f(x)<0，求a18.(本小題12分)

如圖，在正四棱錐S?ABCD中，SA=AB=2，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱SD上(異于端點(diǎn))．

(1)若點(diǎn)P是棱SD的中點(diǎn)，求證：平面SAD⊥平面PAC；

(2)若二面角S?AC?P的余弦值為5519.(本小題12分)

國(guó)家發(fā)改委和住建部等六部門發(fā)布通知，提到：2025年，農(nóng)村生活垃圾無(wú)害化處理水平將明顯提升，現(xiàn)階段我國(guó)生活垃圾有填埋、焚燒、堆肥等三種處理方式，隨著我國(guó)生態(tài)文明建設(shè)的不斷深入，焚燒處理已逐漸成為主要方式，根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，對(duì)2013?2020年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)y(單位：座)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678垃圾焚燒無(wú)害化

處理廠的個(gè)數(shù)y166188220249286331389463(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明(精確到0.01)；

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程(回歸方程系數(shù)精確到0.01)，并預(yù)測(cè)2024年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)；

(3)對(duì)于2035年全國(guó)生活垃圾焚燒無(wú)害化處理廠的個(gè)數(shù)，還能用(2)所求的線性回歸方程預(yù)測(cè)嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi?x?)(yi?y20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=xk+1(lnx?λx)，其中k，λ∈R．

(1)若k=?1，討論f(x)在[1,4]上的單調(diào)性；

(2)若存在正數(shù)k，使得?x1，x2∈(0,+∞)，且21.(本小題12分)

已知拋物線C1：y2=4x?4與雙曲線C2：x2a2?y24?a2=1(1<a<2)相交于兩點(diǎn)A，B，F(xiàn)是C2的右焦點(diǎn)，直線AF分別交C1，C2于C，D(不同于A，B點(diǎn))，直線BC，BD分別交x軸于P，Q22.(本小題12分)

基本不等式可以推廣到一般的情形：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即a1+a2+…+ann≥na1a2?an，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，等號(hào)成立.若無(wú)窮正項(xiàng)數(shù)列{an}同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：①?M>0，an<M；②{an}參考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.C

6.C

7.D

8.D

9.ABD

10.ACD

11.AD

12.BD

13.{0,1,2}

14.(?∞,?2)∪(215.5716.301204817.解：(Ⅰ)由f(x)=ex+asinx?1(a∈R)，f′(x)=ex+acosx，

由f′(0)=1+a，f(0)=0，

所以曲線在(0,f(0))處的切線方程為y?0=(1+a)(x?0)，即y=(a+1)x，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程y=(a+1)x；

(Ⅱ)由函數(shù)f′(0)=1+a=0，所以a=?1，此時(shí)f(x)=ex?asinx?1，f′(x)=ex?cosx，

當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)=ex?cosx>1?cosx≥0，所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

設(shè)g(x)=f′(x)，則g′(x)=ex+sinx，設(shè)φ(x)=g′(x)，則φ′(x)=ex+cosx，

所以，當(dāng)x∈(?π2,0)，φ′(x)>0，所以g′(x)在區(qū)間(?π2,0)上單調(diào)遞增，

又g′(?π2)=e?π2?1<0，g′(0)=1>0，故存在x0∈(?π2,0)使得g′(x0)=0，

所以當(dāng)x∈(x0,0)時(shí)，g(x)<g(0)=0，即f′(x)<0，

所以f(x)在區(qū)間(x0,0)上單調(diào)遞減，故函數(shù)在x=0時(shí)，取得極小值，所以a=?1，

所以a的值為?1；

(Ⅲ)①若a≥?1時(shí)，當(dāng)x∈(0,π2)時(shí)，sinx>0，所以f(x)≥ex?sinx?1，

由(Ⅱ)可知，y=ex?sinx?1在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以ex?sinx?1>e0?sin0?1=0，所以f(x)在區(qū)間(0,π2)上恒成立，

此時(shí)不存在正實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的18.(1)證明：由題意得，正四棱錐所有棱長(zhǎng)均為2，

因?yàn)镻是SD的中點(diǎn)，

故CP⊥SD，AP⊥SD，又AP∩CP=P，且AP，CP?平面PAC，

故SD⊥平面PAC，又SD?平面SAD，

故平面SAD⊥平面PAC；

(2)如圖，連接OB，易知OB，OC，OS兩兩垂直，

以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,OS分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，

則A(0,?1,0)，C(0,1,0)，S(0,0,1)，D(?1,0,0)，

所以AC=(0,2,0),SD=(?1,0,?1)，

設(shè)SP=λSD,0<λ<1，則SP=(?λ,0,?λ)，

所以P(?λ,0,1?λ)，所以AP=(?λ,1,1?λ)，

設(shè)平面PAC的法向量為n=(x,y,z)，則n?AP=?λx+y+(1?λ)z=0n?AC=2y=0，

令z=λ，則x=1?λ，所以平面PAC的一個(gè)法向量為n=(1?λ,0,λ)，

易知平面SAC的法向量為OB=(1,0,0)，

設(shè)二面角S?AC?P19.解：(1)x?=1+2+3+4+5+6+7+88=92,y?=22928=5732，

相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?)2i=1n(yi?y?)2=i=18xiyi?8x??y?(i=120.解：(1)由題意得，f(x)=lnx?λx，x∈[1,4]，f′(x)=1x?λ=1?λxx．

若λ≤0，則f′(x)>0，此時(shí)f(x)在[1,4]上單調(diào)遞增；

若0<λ≤14，則f′(x)≥0，此時(shí)f(x)在[1,4]上單調(diào)遞增；

若λ≥1，則f′(x)≤0，此時(shí)f(x)在[1,4]上單調(diào)遞減；

若14<λ<1，則當(dāng)x∈[1,1λ)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1λ,4]時(shí)，f′(x)<0，

故f(x)在[1,1λ)上單調(diào)遞增，在(1λ,4]上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)λ≤14時(shí)，f(x)在[1,4]上單調(diào)遞增；

當(dāng)14<λ<1時(shí)，f(x)在[1,1λ)上單調(diào)遞增，在(1λ,4]上單調(diào)遞減；

當(dāng)λ≥1時(shí)，f(x)在[1,4]上單調(diào)遞減．

(2)由題意得，?k∈(0,+∞)，使得函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

f′(x)=(k+1)xk(lnx?λx)+xk+1(1x?λ)=xk[(k+1)lnx?λ(k+2)x+1]．

令F(x)=(k+1)lnx?λ(k+2)x+1，

問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為：?k∈(0,+∞)，?x∈(0,+∞)，F(xiàn)(x)≤0．

①當(dāng)λ≤0時(shí)，F(xiàn)′(x)=k+1x?λ(k+2)>0，且單調(diào)遞增，

易知x→+∞，F(xiàn)(x)→+∞，不合題意，舍去．

②當(dāng)λ>0時(shí)，因?yàn)镕′(x)=k+1x21.解：(1)證明：(1)由A(x1,y1)，C(x2,y2)是直線AF與拋物線C1：y2=4x?4的兩個(gè)交點(diǎn)，

顯然直線AF不垂直y軸，點(diǎn)F(2,0)，

故設(shè)直線AF的方程為x=my+2，由x=my+2y2=4x?4消去x并整理得y2?4my?4=0，所以y1y2=?4為定值