2024八年級下數(shù)學(xué)11 二次根式章末重難點(diǎn)題型（舉一反三）（人教版）含解析

2024八年級下數(shù)學(xué)專題1.1二次根式章末重難點(diǎn)題型

【人教版】

考點(diǎn)1m根式相關(guān)概念

考點(diǎn)2二次根式有意義條件

【考點(diǎn)1二次根式相關(guān)概念】

【方法點(diǎn)撥】1.二次根式：形如右(?>0)的代數(shù)式叫做二次根式.

2.最簡二次根式：

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，像這樣的二次根式稱為同類

二次根式.

【例I】(2019春?溯i河區(qū)校級月考)在式子4元，^a2+b2,Va+5?正加3?0),1立工和后(〃<

0,Z><0)中，是二次根式的有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【變式1-11(2019春?萊蕪期中)二次根式:①后I；②及(a+b)(a-b)；③序嬴；④舊⑤夜而

中最簡二次根式是()

A.①②B.③④⑤C.②③D.只芍④

【變式1-2](2019春?左貢縣期中)二次根式：①盜；②亞：③氏；④虐中，與亞是同類二次

根式的是（）

A.①和②B.①和③C.②和④D.③和④

【變式1-3］（2019春?海陽市期中）若兩個最簡二次根式行￡和心荷是同類二次根式,則〃的值是（）

A.-1B.4或?1C.1或-4D.4

【考點(diǎn)2二次根式有意義條件】

【方法點(diǎn)撥】二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是手負(fù)數(shù).分式分母不為零.

【例2】（2019春?泰山區(qū)期中）式子2x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是（)

Vx-l

A.1B.x>\C.x<0D.xWO

【變式2-1］（2019春?西湖區(qū)校級期中）為使亞工一紅有意義，1的取值范圍是（）

3x-6

A.x2-2且丘2B.x>-2且正2C.x>2D.>2或xW-2

【變式2-2］（2018春?西華縣期中）使代數(shù)式+五菽有意義的整數(shù)“有)

A.5個B.4個C.3個D.2個

【變式2-3］（2019秋?安岳縣校級期中）如果J1已有意義，則上的取值范圍（

)

A.xN3B.xW3C.x>3D.x<3

【考點(diǎn)3利用二次根式性質(zhì)化簡符號】

【方法點(diǎn)撥】二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例3】（2019春?海陽市期中）把a(bǔ)JZI根號外的因式移入根號內(nèi)，運(yùn)算結(jié)果是（）

A.^J~QB.C.-D.-"'/-a

【變式3-1］（2019春?漢陽區(qū)期中）已知"VO,則J久化簡后為（）

A.?VbB.-C.D.-aV-b

【變式3?2】(2018春?宜興市期中)Q-I)變形正確的是()

Vl-a

A.-1B.Vl_aC.-Vl-aD.-Va-1

【變式3-3](2019春?城區(qū)校級期中)化笥JT-xJZ，得(

)

A.(x-1)7-xB.(1-x)7rC.-(x+1)D.(x-1)Vx

【考點(diǎn)4利用二次根式的性質(zhì)化簡】

【方法點(diǎn)撥】二次根式的性質(zhì)：

（1）（V?）2=a（a>0）

a（。>0）

（2）7?=|?|=-0（a=0）

-a（av0）

【例4】（2019春?廬陽區(qū)校級期中）實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，貝［化簡q（a+i）2/8_2）2的結(jié)

果是C）

ah

---------Le-----------1--------1??>

-2-10123

A.ci~b+3B.a+h-1C.~a~b+lD.a+b+1

【變式4-1］（2019春?豐潤區(qū)期中）若2VaV3,則而二（）

A.5-2aB.1-2^C.2a-\D.2a-5

【變式4?2】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）實(shí)數(shù)a、b、C在數(shù)軸上的位置所示，那么化簡|c+a|+Jb2-孤工戶

的正確結(jié)果是（）

---------------------------A

cb0a

A.2b~cB.2b+cC.2a+cD.-2a-c

，則J（xf）+4-J（x《）2-4等于（）

【變式4-3］（2018春?漢陽區(qū)期中）若OVxVl

A.2B.?2C.-2xD.2x

XX

【考點(diǎn)5二次根式的乘除運(yùn)算】

【方法點(diǎn)撥】掌握二次根式的乘除法則

（1）4a-y［b=4ab（tz>0,Z?>0）

（2）%=聆（?>0,Z?>0）

【例5】（2019春?祁江區(qū)校級期中）計算：

⑴展部1

⑵后他X埼

【變式5-1］（2018秋?松江區(qū)期中）計算：春/ab?--|7a^b）.以f

【變式5-2］（2019秋?閘北區(qū)期中）計算:

【變式5-3］（2019春?新泰市期中）化簡下列式子：2m7耳?3糖+（+產(chǎn)）.

【考點(diǎn)6利用二次根式性質(zhì)求代數(shù)式的道】

【例6】（2019春?蕭山區(qū)期中）已知有后+2,b=V5-2,求下列式子的值:

(1)A+/:

(2)30計廬

(3)(a-2)(b-2).

【變式6-1］（2019春?蕪湖期中）已知11,分別求下列代數(shù)式的值;

(1):+/：

(2)工二

xy

【變式6-2］（2019春?長白縣期中）已知4-j=2,求,X2凸T14的值?

【變式6?3】（2018秋?通川區(qū)校級期中）已知x=——,y=——,求：（口乃-刊2的值；（2）f-

3-2V23+2V2

xy+y2的值.

【考點(diǎn)7二次根式的加減運(yùn)算】

【方法點(diǎn)撥】二次根式的運(yùn)算法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡，再把同類二次根式合并.

【例7】（2019春?武昌區(qū)期中）計算：

⑴V12+V27W3

【變式7-1］（2019春?蕭山區(qū)期中）計算下列各式:

(1)

【變式7-2］（2018春?襄城區(qū)期中）計算:

(1)V108-796^754-V75⑵1V8-Vo?5-^I+2V50

【變式7-3］（2018春?羅山縣期中）（1）3亨

(2)IV2I+7(V2-1)2W(V6-3)2

【考點(diǎn)8二次根式的混合運(yùn)算】

【例￡】（2019春?泰興市校級期中）計算:

⑴-3?（J表）

【變式8-1]（2019春?廣東期中）計算

⑴（V50+V32^xV6）

（2）（3加-1）2-（V3+2）（V3-2）

【變式8?2】（2019春?杭錦后旗期中）計算：

（1）痛.行■強(qiáng)義后+板

（2）（2-V3）20,8（2+Va）2O19?2X|.苧-（加）0

【變式8-3]（2019春?萊州市期中）計算：

（1）（3V18-^-^50）V32

（2）（V3+W2W6）（V3-3V2W&）

【考點(diǎn)9分母有理化的應(yīng)用】

【例g】（2019春?西城區(qū)校級期中）閱讀下述材料：

我們在學(xué)習(xí)二次根式時，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用其實(shí)，有一個類似的方法叫做“分子有理化”與分

母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：

V?-?=/嘩空心=L

V7+V6V7+V6

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如：比較在

-加和通-道的大小可以先將它們分子有理化如下：

因?yàn)椴??＞小M，所以夜■加〈道-巡

再例如：求就-正互的最大值.做法如下：

4

解：由x+220,x-220可知xN2,rBy=Vx+2-4^2=zz

Vx+2+Vx-2

當(dāng)x=2時，分母蟲次-G上有最小值2,所以y的最大值是2

解決下述兩題：

（1）比較3加-4和2畬7^的大?。?/p>

（2）求y=Tl-K*11+X-的最大值和最小值-

【變式9?1】（2019春?微山縣期中）【閱讀材料】

材料一：把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化

通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號的目的

例如：化簡

V3+V2

1X(^3~^/~2)

=73^2

V3+V2"(V3+V2)(V3-V2)

材料二：化簡4a±2a的方法:如果能找到兩個實(shí)數(shù)切,〃，使川+〃2=%并且gb,那么

Na土2瓜-Vm2+n2±2inn-V（niin）m士"

例如：化簡43±2亞

解:V3±2V2^（V2）2+12+2V2W（V2+1）2=V2+1

【理解應(yīng)用】

（1）填空：化簡阻組的結(jié)果等于；

(2)計算：

①，7-2VI&

+V2018+V2017+V2019+V2018

【變式9?2】（2018秋?吳江區(qū)期中）閱讀材料?：

黑白雙雄、縱橫江湖：雙劍合璧、天下無敵.這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，

取長補(bǔ)短，威力無比.

在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”.如：（2+?）（2-6）=1，WC+&）（?S）=3,它

們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二

次根式除法可以這樣理解：如：3二二阻二相,2+噌=,+嗎?,2+噌?=7+4再像這樣，通

V3V3XV332^/3（2+V3）（2-V3）V3

過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去.叫做分母有理化.

解決問題：

（1）4-有的有理化因式可以是M分母有理化得

（2）計算:

①已知x=[f+l,y=/l-1,求f+y2的值：

V3-1V3+1

②1+加"75+夷+網(wǎng)+也+r?+V1999+72000,

【變式9-3]（2019秋?唐河縣期中）閱讀下列材料，然后回答問題:

在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時，我們有時會碰上如冬、丁2—這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡:

V3V3+1

2="尻2=2（歸1）_2（歸1）_乃

77V3XV33'V3+1（V3+1）（V3-1）（V3）2-l

以上這種化簡過程叫做分母有理化.

看還可以用以下方法化簡：看=潟=需1=汽好=近7.

請任用其中一種方法化簡:①舟;②

【考點(diǎn)10二次根式的應(yīng)用】

【例101（2018春?嘉祥縣期中）閱讀理解：

對于任意正整數(shù)a,b,V（Va-Vb）2^0,-2Vab+^^0,.*.￡7+Z）^2Vab?只有當(dāng)a=b時，等號

成立；結(jié)論：在a+b22逐（。、匕均為正實(shí)數(shù)）中，只有當(dāng)a=b時，。+。有最小值2日.

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

（1）若a+b=9,Vab<；

（2）若加>0,當(dāng)相為何值時，用+工有最小值，最小值是多少？

m

【變式10-1】（2019?太原一模）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的《度量》一書中給出了利用二角形的二邊求二角形面積的“海倫公式”：如

果一個三角形的三邊長分別為a、b、c,設(shè)「=曲邑，則三角形的面積s=Jp（D-a）（p-b）（D-C）-

2

我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術(shù)）：如果

2,,22

一個三角形的三邊長分別為。、b、C,則三角形的面積5=[a2b2_（a+b-c）2].

（1）若一個三角形的三邊長分別是5,6,7,則這個三角形的面積等于

（2）若一個三角形的三邊長分別是乖、泥、幣,求這個三角形的面稹.

【變式10-2】已知一個三角形的三邊長分別為125|,礪，年仔.

(1)求此三角形的周長P(結(jié)果化成最簡二次根式)；

(2)請你給出一個適當(dāng)?shù)摹５闹?，使P為整數(shù)，并求出此時尸的值.

【變式10-3］斐波那契(約1170-1250,意大利數(shù)學(xué)家)數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù)，他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列

中的每個正整數(shù)都可以用無理數(shù)的形式表示，如第〃(〃為正整數(shù))個數(shù)而可表示為(曲5)”?

V52

(J-^)n］.

(1)計算第一個數(shù)m；

(2)計算第二個數(shù)42；

(3)證明連續(xù)三個數(shù)之間附一1,an,板+1存在以下關(guān)系：an^-an=an.\(〃22)；

(4)寫出斐波那契數(shù)列中的前8個數(shù).

專題L1二次根式章末重難點(diǎn)題型

【人教版】

考點(diǎn)6利用二次根式性質(zhì)求代數(shù)式的值考點(diǎn)1，根式相關(guān)概念

考點(diǎn)7二次根式的力0^運(yùn)算考點(diǎn)2二次根式有意義條件

考點(diǎn)8二;欠根式的混合運(yùn)算考點(diǎn)3利用二次根式性質(zhì)化簡符號

考點(diǎn)9分母有理化的應(yīng)用考點(diǎn)4利用二次根式的性質(zhì)化簡

考點(diǎn)10二;欠根式的應(yīng)用

《典為分所］

【考點(diǎn)1二次根式相關(guān)概念】

【方法點(diǎn)撥】1.二次根式：形如G（?>0）的代數(shù)式叫做二次根式.

2.最簡二次根式：

（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式;

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，像這樣的二次根式稱為同類

二次根式.

【例1】（2019春?獅河區(qū)校級月考?）在式子/亓，^a2+b2,Va+5?V_3y（yWO）,1立三和后

0,力V0）中，是二次根式的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如爪（〃20）的式子叫做二次根式進(jìn)行分析即可.

【答案】解:式子“五，4/+匕2,7-3y（yWO）,Vab（a<0,b<0）是二次根式，共4個，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式定義，關(guān)鍵是注意被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

【變式1-11（2019春?萊蕪期中）二次根式:①底］；②"（a+b）（a-b）；③存鼻/；④業(yè);⑤而而

中最簡二次根式是（）

A.①②B.③④⑤C.②③D.只有④

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同

時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

【答案】解：@Va2-2a+l=V（a-l）2=|a_lh被開方數(shù)含有開得盡方的因式，不是最簡二次根式：

陪舟哼,被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式；

⑤瓜花=4=當(dāng)，被開方數(shù)含有小數(shù)（分?jǐn)?shù)），不是最簡二次根式；

因此只有①②符合最簡二次根式的條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：

（1）被開方數(shù)不含分母；

（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

被開方數(shù)是多項式時，還需將被開方數(shù)進(jìn)行因式分解，然后再觀察判斷.

【變式1?2】（2019春?左貢縣期中）二次根式：①避：②Jp：③五^;④J2中，與血是同類二次

根式的是（

A.①和②B.①和③C.②和④D.③和④

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義解答即可.

【答案】解」,憫二2亞，亞二2,伍二班，聘等

???與亞是同類二次根式的是①和③

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次

根式叫做同類二次根式.需要注意化簡前，被開方數(shù)不同也可能是同類二次根式.

【變式1-3］（2019春?海陽市期中）若兩個最簡二次根式行￡和心可是同類二次根式,則〃的值是（）

A.-1B.4或-1C.1或-4D.4

【分析】根據(jù)最簡二次根式以及同類二次根式即可求出答案.

【答案】解：由題意可知：〃2-2〃=”4,

，解得：〃=4或〃=-1,

當(dāng)n=4時，

〃+4=8>0,

此時代不是最簡二次根式，不符合題意，

當(dāng)“=?1時，

〃+4=3>0,

綜上所述，n=-1

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡二次根式以及同類二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題

型.

【考點(diǎn)2二次根式有意義條件】

【方法點(diǎn)撥】二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).分式分母不為零.

【例2】（2019春?泰山區(qū)期中）式子-7sL在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是（）

Vx-1

A.B.x>1C.x<0D.xWO

【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案.

【答案】解：式子2x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是:X-1>0,

Vx-l

解得：x>\.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

【變式2-1］（2019春?西湖區(qū)校級期中）為使亞占i—紅有意義，x的取值范圍是（）

3x-6

A.x2-2且xW2B.x>-2且x￥2C.x>2D.x>2或xW?2

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件題意可得2x+420,再根據(jù)分式有意義的條件可得3x-6W0,再解

即可.

【答案】解：由題意得：2x+420,且3x-6H0,

解得：-2且

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式和二次根式有意義的條件，分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方

數(shù)是非負(fù)數(shù).

【變式2?2】（2018春?西華縣期中）使代數(shù)式+“3-3x有意義的整數(shù)工有)

A.5個B.4個C.3個D.2個

【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范圍，進(jìn)而得出整數(shù)工的值.

【答案】解:???代數(shù)式_^+43-3x有意義，

Vx+3

Ax+3>0,3?3x20,

解得：x>-3,1,

則-3VxWl,

故代數(shù)式1+43-3x有意義的整數(shù)x有:-2,-1,0,1,共4個數(shù).

Vx+3

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x的取值范圍是解題關(guān)鍵.

【變式2-3］（2019秋?安岳縣校級期中）如果小了二有意義，則工的取值范圍（）

A.x23B.xW3C.x>3D.x<3

【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)和分式分母不為零的條件可得3?％V0,再解即可.

【答案】解：由題意得：3-xV0,

解得：x>3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).分式分

母不為零.

【考點(diǎn)3利用二次根式性質(zhì)化簡符號】

【方法點(diǎn)撥】二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例3】（2019春?海陽市期中）把a(bǔ)JZI根號外的因式移入根號內(nèi)，運(yùn)算結(jié)果是（）

A.VaB.C.-VaD.-

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案.

【答案】解：根號外的因式移到根號內(nèi)，化簡的結(jié)果是一心，

故選：￡）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，注意化簡后不能改變原數(shù)的大小.

【變式3-1］（2019春?漢陽區(qū)期中）已知"V0,則J久化簡后為（）

A.tn/bB.-aVbC.D.-tiV-b

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的性質(zhì)J/=|〃|，進(jìn)行化簡即可.

【答案】解：Va2^0,ab<0,

：.a<0,b>0,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，掌握算術(shù)平方根和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3?2】（2018春?宜興市期中）（a-1）變形正確的是（）

Vl-a

A.-1B.Vl_aC.-Vl_aD.-Va-l

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

【答案】解：〈WE有意義，

/.I-4>0,

：.a-1<0,

工"7,J。-1??亡

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](2019春?城區(qū)校級期中)化簡JT-XJZL得()

A.(x-1)7-*B.(1-x)7rC.-(x+1)D.(x-1)/\/x

【分析】根據(jù)已知式子得出x<0,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)把根號內(nèi)的因式移入根號外，最后合并即可.

【答案】解：???要使和，工有意義，必須xVO,

="xV-X■/.(-—]V-x

=■^V-X+V-X

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡的應(yīng)用，能把各個部分根式化成最簡根式是解此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4利用二次根式的性質(zhì)化簡】

【方法點(diǎn)撥】二次根式的性質(zhì)：

(1)(Va)2=a(a>0)

a(a>0)

(2)=|《=?0(a=0)

-a(a<0)

【例4】(2019春?廬陽區(qū)校級期中)實(shí)數(shù)小b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡d(a+l)2f/(b_2)2的結(jié)

果是：)

--------------L?------i------------1----------1??>

-2-10123

A.a-b+3B.a+b-1C.-a-b+\D.-a+6+I

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)即可求出答案.

【答案】解：由數(shù)軸可知：-IVaV0<2Vb,

Afl+l>0,h-2>0,

???原式=|〃+1|■步?2|

=J+1-b+2

=a-b+3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【變式4-1］（2019春?豐潤區(qū)期中）若2<aV3,則《（2-&）2/（3、）？=（）

A.5-2。B.1-2aC.2a-\D.2a-5

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可.

【答案】解：因?yàn)?Va<3,

所以d（2一a）2?（3—a）2=干-2-（3-a）=a-2-3+a=2a-5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答.

【變式4-21（2018秋?海淀區(qū)校級期中）實(shí)數(shù)a、b、C在數(shù)軸上的位置所示，那么化簡匕+小而-亞石工

的正確結(jié)果是（）

????A

cb0a

A.2b-cB.2b+cC.2a+cD.-la-c

【分析】先由數(shù)軸知c<b<0<a,且|。|>同，據(jù)此得出c+a<0,a-b>0,再根據(jù)絕對值性質(zhì)和二次根

式的性質(zhì)2化簡可得.

【答案】解：由數(shù)軸知cVbVOVa,且口>同，

則c+aVO,a-b>0,

???原式=?c?a-A?（a?b）

=-c-a-b-a+b

=-2a-c,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式,的性質(zhì)2：J/=|a|.

【變式4-3］（2018春?漢陽區(qū)期中）若則J（X」）2+4-J?」?）2等于（）

A.2B.-2C.-2xD.2x

xx

【分析】首先利用完全平方公式化簡，進(jìn)而利用二次根式的性質(zhì)求出即可.

VO<x<l,

???戈-工<0,

:.原式=x+L+x--=2x.

xx

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確利用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5二次根式的乘除運(yùn)算】

【方法點(diǎn)撥】掌握二次根式的乘除法則

（1）4a4b=4ab（a>0,Z?>0）

(2)(a>0,Z?>0)

【例5】（2019春?祁江區(qū)校級期中）計算:

【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)把除式變形，根據(jù)二次根式的乘法法則計算;

（2）根據(jù)二次根式的乘除法法則計算即可.

【答案】解:⑴舊號娓

~,~1II

9

（2）602力

譚唯

=J3a2><Q/

3

3

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2018秋?松江區(qū)期中）計算:浮，強(qiáng)【建（a>0）

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡進(jìn)而得出答案.

【答案】解：卻擊（?利耳）?建（4>0）

f建a

=.拿倔

b

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

【變式5-2］（2019秋?閘北區(qū)期中）計算:

【分析】利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)轉(zhuǎn)化后利用二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可.

【答案】解：原式=（2X6）81rl3

=唔

=4V2n

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是能夠了解法則并能熟練的將除法轉(zhuǎn)化為乘法

進(jìn)行運(yùn)算.

【變式5?3】（2019春?新泰市期中）化簡下列式子：（制］）.

【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡得出答案.

【答案】解：原式=2abX3X（-2）^a2bXJ_Xg

=-\2ab*c?

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6利用二次根式性質(zhì)求代數(shù)式的苴】

【例6】（2019春?蕭山區(qū)期中）已知有后+2,b=V5-2,求下列式子的值：

(1)c^b+ab2；

(2)30什”；

(3)(a-2)(b-2).

【分析】（1）先分解因式，然后將〃、〃的值代入求值;

（2）先變形，然后將a、b的值代入求值；

（3）直接代入求值.

【答案】解：⑴a2b+ab2

=abCa+b)

=(V5+2)(V5-2)(V5+2+V5-2)

=1x2^5；

(2)30H”

=(a+b)2-2ah-30〃

=(V5+2+V5-2)2-2(V5+2)(Vs-2)-30(V5-2)

=(2后)2-2-3(h/5+60

=78-30證；

(3)(a-2)(b-2)

=(V^+2-2)(V5-2-2)

=Vs(V^-4)

=5-4A/5-

【點(diǎn)睛】本題考查了根式的化簡求值，適當(dāng)對整式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2019春?蕪湖期中）已知]，分別求下列代數(shù)式的值:

(1)7+/

【分析】（1）先將x、y進(jìn)行分母有理化，得到1=加-1,），=81，再求出x-y與個的值，然后根

據(jù)完全平方公式得出/+/=（x-y）2+8,，再整體代入即可；

2,2

（2）將所求式子變形為*,再整體代入即可.

XV

【答案】解：(1)v==V2-1>v=-jJ-=&+i,

xV2+1-五

.x-y=-2,xy=2-1=1,

???，+/=(x-y)2+2xy=(-2)2+2Xl=6；

(2)Vx2+y2=6,封=1,

o2

.??原式=3^=2=6.

xy1

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡求值，分母有理化，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用完全平方公式以及整體思想,

本題屬于基礎(chǔ)題型.

【變式6-2］（2019春?長白縣期中）已知垢-十=2,求Jx2-T14的值.

【分析】利用已知結(jié)合完全平方公式求出』+==34,進(jìn)而代入求出即可.

【答案】解：???垢)=2

Vx

：?(Vx-2=4,

7x

:.J+—=6,

...(X+-)2=36,

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確利用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

【變式6-3］（2018秋?通川區(qū)校級期中）已知x=-y=—、=,求：（1）-馬2的值；口）不

3-2V23+272

xy+y2的值.

【分析】先將x和y的值分母有理化后，計算何和x+y的值，再分別代入（1）和（2）問代入計算即可.

3+2V23-2V2

【答案】解：???*1=3+2亞，y=1=3-

3-272-(3-272)(3+272)3+2加-(3+2&)(3-2&)

2的，

'”^7^?j4TTI'"'=3+263-2加-6,

:.(1)j?y-冷2,

=xy(x-y),

=1X[(3+2V2)-(3-2V2)L

=4^2：

(2)J?-xy+yif

2

=(x+y)-3xyt

=62-3Xl,

=36-3,

=33.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，在解答時應(yīng)先化簡X和y的值，并利用提公因式法和完

全平方公式將所求式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7二次根式的加減運(yùn)算】

【方法點(diǎn)撥】二次根式的運(yùn)算法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡，再把同類二次根式合并.

【例7】(2019春?武昌區(qū)期中)計算：

⑴V12+V27W3

(2)-|V9X+B^-^/25X

【分析】(1)直接化簡二次根式進(jìn)而合并得出答案；

(2)直接化簡二次根式進(jìn)而合并得出答案.

【答案】解：(1)原式=2行3加■北

=0；

(2)原式=2x3心6xYZ-5y

32

=2Vx4-3Vx-5Vx

=0.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

【變式7?1】(2019春?蕭山區(qū)期中)計算下列各式:

⑴VH+q+7（?-2）2；

⑵71^唱■得.

【分析】（1）首先化簡二次根式，然后再合并同類二次根式；

（2）首先化簡二次根式，然后再合并同類二次根式.

【答案】解：（1）原式=2①■返+2-7際=月叵2；

33

（2）原式=3巾2技4匹返=5

99

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減，關(guān)鍵是掌握二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二

次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

【變式7-2］（2018春?襄城區(qū)期中）計算：

（1）V108-V9^-V54-V75（2）1V8-VOT5-^4^+2750

【分析】（1）首先化簡二次根式進(jìn)而合并得出答案；

（2）首先化簡二次根式進(jìn)而合并得出答案.

【答案】解：（1）原式=6第-4V^+3代-5加

=V3~V6：

（2）原式=加-返-盟0+10^

22

=9屈.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

【變式7-3］（2018春?羅山縣期中）（1）

⑵IV2^6lW（V2-l）2W（V6-3）2

【分析】（1）先進(jìn)行二次根式、三次根式的化簡，然后進(jìn)行加減合并.

（2）先去絕對值符號，然后化簡二次艱式，最后進(jìn)行合并運(yùn)算.

【答案】解：（1）原式=9-3+2=22；

33

（2）原式=代-V2+V2-I-3+V6=2V6-4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，要先進(jìn)行二次根式的化簡.然后再進(jìn)行合并運(yùn)算.

【考點(diǎn)8二次根式的混合運(yùn)算】

【例8】（2019春?泰興市校級期中）計算：

⑴（V24-3-（^^-+^6）

⑵收引1+（甘）

【分析】（1）先化簡各二次根式，再進(jìn)一步計算可得；

（2）先化簡各二次根式、除法轉(zhuǎn)化為乘法，再進(jìn)一步計算可得.

【答案】解：⑴原式=（2代-亞）-3（返+加）

=276-----3V6

33

=-V6-M

（2）原式:員豆?逗?（-4匕）

xy9y2xy

=-2^[2y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

【變式8-1]（2019春?廣東期中）計算

⑴（V50+V32^xV6）+血

（2）（3&-1）2?（V3+2）（V3-2）

【分析】（1）先化簡各二次根式，再計算括號內(nèi)的加減，最后計算除法即可得；

（2）利用完全平方公式和平方差公式計算可得.

【答案】解：（1）原式=（54分4加-3加）+2切

=6建2加

=3；

（2）原式=19-6^-3+4

=20-672.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法

則及完全平方公式、平方差公式.

【變式8-2]（2019春?杭錦后旗期中）計算:

⑴V48V3-V1W24

（2）（2-V3）2018（2+V3）2019-2X|-先-（V2）°

【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算；

（2）根據(jù)積的乘方和零指數(shù)晁的意義計算.

【答案】解：（1）原式=148+3?祗X1產(chǎn)氣

=4-V^-2V6

=4+?\/5；

（2）原式=［（2-V3）（2+V3）］20l8-（2+V3）-2X亞-1

=（4-3）20,8*（2+V3）-V3

=2+V3-Vs-1

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除

運(yùn)算，再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰

當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

【變式8-3］（2019春?萊州市期中）計算：

⑵（V3+3A/2-\/6）（V3-3V2-V6）

【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減法和除法可以解答本題;

（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以解答本題.

【答案】解：（1）

=（9加-2亞血）+4加

=用+增

（2）（V3+W2W6）（V3-3V2W6）

=［（73^6）+3揚(yáng)（V3W6）-3V21

=（V3W6）2-18

=3-672+6-18

=-9-672-

【點(diǎn)睛】本題考查一次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)犍是明確一次根式混合運(yùn)算的計算方法.

【考點(diǎn)9分母有理化的應(yīng)用】

【例9】（2019春?西城區(qū)校級期中）閱讀下述材料：

我們在學(xué)習(xí)二次根式時，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用其實(shí)，有一個類似的方法叫做“分子有理化”與分

母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：

V?-a=（小嘩空電）.=_1

V7+V6V7+V6

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如：比較在

-遍和通-道的大小可以先將它們分子有理化如下：

V?-代=/T-加=廣；廠

V7+V6V6+V5

因?yàn)樾?瓜>木廣后,所以的-加〈述-泥

再例如：求y=J而-正立的最大值.做法如下：

解：由x+220,x-220可知x22,而y=Jx+2?爽-2=-14

Vx+2+Vx-2

當(dāng)％=2時，分母蟲次工有最小值2,所以y的最大值是2

解決下述兩題：

（1）比較3比?4和26一71^的大小；

（2）求），=）1-x+=l+x-的最大值和最小值.

【分析】（1）利用分子有理化得到3亞?4=—^,2技收=然后比較3d分4和

2后的大小即可得至U3加-4與2A/3-的大?。?/p>

（2）利用二次根式有意義的條件得到OWxWl,而產(chǎn)S77/17,利用當(dāng)x=0時，/1/

Vl+x+VxVl+x+Vx

有最大值1,五彳有最大值1得到所以y的最大值；利用當(dāng)x=l時，?1,有最小值班-1,五彳

Vl+x+Vx

有最下值0得到），的最小值.

(3V2+4)(3V2-4)2

【答案】解：（1）372-4==

372+4-372+4*

-倔=一（2仔技）（2行訴）一2

2V3+V10273+710，

而3加>2加，4>V10>

，3加+4>2后5，

???3技4〈2技5；

（2）由1-QO,1+QO,Q0得0<xWl,

y=Vl-x+/-7=，

Vl+x+Vx

當(dāng)x=0時，比能?垢有最小值，則,1/有最大值1，此時五三有最大值1,所以y的最大值為

Vl+x+Vx

2；

當(dāng)x=i時，VTDF有最大值，則1有最小值比-1，此時有最下值0,所以y的最小

A/1+X+VX

值為亞?1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即

可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,

往往能事半功倍.

【變式9-1]（2019春?微山縣期中）【閱讀材料】

材料一：把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化

通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號的目的

例如：化簡1

V3+V2

11X（A/3~^J~2）

解: