滬教版 初中數(shù)學(xué) 整式的運(yùn)算

整式的運(yùn)算

一、知識(shí)梳理

(-)考點(diǎn)總結(jié)：

1、代數(shù)式

2、列代數(shù)式

3、代數(shù)式的值

4、整式的概念

5、整式的運(yùn)算

(-)考點(diǎn)講解

考點(diǎn)一代數(shù)式

定義：用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)與字母連接而成的式子叫代數(shù)式。

注意：(I)單個(gè)數(shù)字與字母也是代數(shù)式；(2)代數(shù)式與公式、等式的區(qū)別是代數(shù)式中不含等號(hào)，而公式和等式

中都含有等號(hào)；

考點(diǎn)二列代數(shù)式

1.列代數(shù)式：用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞表示出來，就是列代數(shù)式。

2.代數(shù)式的書寫要求

(1)代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號(hào)通常用“?”表示或者省略不寫；數(shù)與字母相乘時(shí)，數(shù)應(yīng)寫在字母前面；數(shù)與數(shù)相乘時(shí)，

仍用“X”號(hào)。

(2)數(shù)字與字母相乘、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，一般按照先寫數(shù)字，再寫單項(xiàng)式，最后寫多項(xiàng)式的書寫順序，

如式子(a+b)-2-a應(yīng)寫成2a(a+b)。

(3)帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后再與字母相乘。

(4)在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，按分?jǐn)?shù)的寫法來寫

(5)在一些實(shí)際問題中，有時(shí)表示數(shù)量的代數(shù)式有單位名稱，如果代數(shù)式是積或商的形式，則單位直接寫在

式子后面；如果代數(shù)式是和或差的形式，則必須先把代數(shù)式用括號(hào)括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如2a

米,(2a-b)kg。

注意：列代數(shù)式的關(guān)鍵是找出問題中的數(shù)量關(guān)系及公式，如：路程=速度x時(shí)間。售價(jià)=標(biāo)價(jià)X折扣率；質(zhì)量=密

度*體積等等，另外要想正確列出代數(shù)式，必須正確理解問題中的關(guān)鍵詞語，如“和、差、積、商、大、小、多、少”

等。

考點(diǎn)三代數(shù)式的值

1.代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。

2.求代數(shù)式的值的基本步驟：

(1)代入，一般情況下，先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將字母的數(shù)值代人；

(2)計(jì)算時(shí)按代數(shù)式里的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果。

說明：

①代數(shù)式中的字母所取的值，要使代數(shù)式有意義：

②一個(gè)代數(shù)式中的同一字母要用同一個(gè)數(shù)值去代替，且注意多個(gè)字母情形下的對(duì)應(yīng)關(guān)系，切忌張冠李戴；

③為了避免混淆，注意括號(hào)前原來省略乘號(hào)的地方要添上乘號(hào)，當(dāng)代入的字母是負(fù)數(shù)時(shí)，代入后應(yīng)加上括號(hào),

另外字母是分?jǐn)?shù)時(shí)，遇到乘方也要加括號(hào)。

考點(diǎn)四整式的概念

1.單項(xiàng)式：數(shù)與字母的積所表示的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)；單項(xiàng)式中所

有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，特別地，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。

注意：(1)TT是個(gè)數(shù)，不能把它當(dāng)成字母。如TTXy2的系數(shù)是TT,次數(shù)是3,不能錯(cuò)寫成系數(shù)是1,次數(shù)是4。

2x3y2_1口

(2)像a,oln'-己等都是單項(xiàng)式。特別地，像(TT+目)也是單項(xiàng)式。

(3)單項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)是字母的指數(shù)和，與系數(shù)沒有任何關(guān)系。如105x2y次數(shù)是2+1=3,而不是5+2+1=8。

2.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做

常數(shù)項(xiàng)；在多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

注意：(1)像國這樣的代數(shù)式也是多項(xiàng)式；(2)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)指的是合并完同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)。

3.整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

4.升(降)幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大(或從大到小)的順序排列起來，叫做把多

項(xiàng)式按這個(gè)字母升(降)嘉排列。

5.同類項(xiàng)：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，

考點(diǎn)五整式的運(yùn)算

1.整式的加減

(1)合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。合并法則：把同類項(xiàng)中的系數(shù)相加，

所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變。

(2)去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里面的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前面

是號(hào)，把括號(hào)和它前面的號(hào)去掉，括號(hào)里面的各項(xiàng)都改變符號(hào)，符號(hào)表示：+(a+b)=a+b；-(a+b)=-a-bo

(3)添括號(hào)法則：所添括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里面的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；所添括號(hào)前面是號(hào)，括到括

號(hào)里面的各項(xiàng)都改變符號(hào)。符號(hào)表示：a+b=+(a+b)；-a-b=-(a+b)。

(4)整式加減的步驟：有括號(hào)先去括號(hào)；有同類項(xiàng)，先合并同類項(xiàng)。

說明：添括號(hào)法則在北師大版教材中沒有出現(xiàn)，但整式加減運(yùn)算較多；去括號(hào)和添括號(hào)是互逆的。

2.整式的乘法

(I)幕的運(yùn)算性質(zhì)：am.an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an-bn,amEln=am-no

(2)零指數(shù)扇和負(fù)指數(shù)幕:a°=1(aWO)；

(3)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：將系數(shù)與同底數(shù)的基分別相乘。

(4)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

(5)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

特殊的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

注意：要掌握以上兩種公式的結(jié)構(gòu)特征。

3.整式的除法

(1)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：將系數(shù)及同底數(shù)事分別相除。對(duì)五只在被除式中出現(xiàn)的字母則連同它的指數(shù)保留在

商中。

(2)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。

4.累的運(yùn)算

(1)同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

g|]am-an=am+n(m、n都是正整數(shù))。

(2)幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，

即(am)n=amn(m、n都是正整數(shù))。

(3)積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的事相乘，

即(ab)n=an?bn(n是正整數(shù)是

(4)同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，

HPam1i]ar'=ani'n(a#0,m、n都是正整數(shù))。

(5)整式的混合運(yùn)算：先乘方，后乘除，最后加減，如有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的，說明：要盡量使用公式

或運(yùn)算律時(shí)，使運(yùn)算過程簡(jiǎn)捷。

(三)易混知識(shí)清單

知識(shí)歸納

易混點(diǎn)一同類項(xiàng)的概念及運(yùn)用。

1.所含字母相同。2.相同字母的指數(shù)也分別相同。

易混點(diǎn)二不能準(zhǔn)確把握單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、同類項(xiàng)及整式等的差異，從而導(dǎo)致判斷或運(yùn)算錯(cuò)誤。

易混點(diǎn)三運(yùn)用去括號(hào)與添括號(hào)法則。當(dāng)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是號(hào)，把括號(hào)和它前面的號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)

都改變符號(hào)：有多層括號(hào)時(shí)，依去括號(hào)法則，可以先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去小括號(hào)，由外及內(nèi)，添括號(hào)時(shí)

反之。

易混點(diǎn)四由于混淆基的四條運(yùn)算性質(zhì)而導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤。

(1)同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am-an=am+n(m,n為正整數(shù))。

（2）同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。amEan=am-n（m,n為正整數(shù)）。

（3）幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n=amn（m,n為正整數(shù)）。

（4）積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的基相乘。（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）。

易混點(diǎn)五（a-b）n與（b-a）n的關(guān)系

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)兩者互為相反數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，兩者相等。

二、經(jīng)典習(xí)題

（一）方法篇

方法一分類討論法：根據(jù)同類項(xiàng)的概念；尋找同類項(xiàng)的過程就是把多項(xiàng)式的項(xiàng)按所含字母及字母的次數(shù)進(jìn)行分類。

在尋找中，如果幾個(gè)單項(xiàng)式所含的字母的順序不同，可以根據(jù)乘法的交換律把字母按照一定的順序（如英文字母表

順序）排列好，以便比較其字母是否相同，只有所含字母完全相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的兩個(gè)單項(xiàng)式

才是同類項(xiàng)。在多項(xiàng)式中，若有幾組同類項(xiàng)，要分類進(jìn)行合并化簡(jiǎn)。

例1下列四組中的兩項(xiàng)是同類項(xiàng)的是（）

ArB.>b與5ab2B.0.5ab與塾

C.-2x2y3與5y3x2D.3a與2b

例2已知a+b=m,ab=-4,化簡(jiǎn)（a-2）（b-2）的結(jié)果是（）

A.6B.2m-8C.2mD.-2m

例3觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律:

（1）請(qǐng)你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對(duì)應(yīng)的等式：

①。日4x0+1=4x1-3

（2）通過猜想，寫出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式。

（二）精析篇

例1某公園一塊草坪的形狀如圖2-6所示（陰影部分），用代數(shù)式表示它的面積為

圖2-6

例2如果代數(shù)式4y2-2y+5的值為7,那么代數(shù)式2y2-y+1的值等于（）

A.2B.3C.-2D.4

例3下列算式是一次式的是（）

-ab

A.8B.4a+3bC.OD.H

例4下列各式中，與x2y是同類項(xiàng)的是（）

A.xy2B.2xyC.-x2yD.3X2y2

例5化簡(jiǎn)m-n-（m+n）的結(jié)果是（）

A.2mB.-2mC.-2nD.2n

例6下列運(yùn)算正確的是（）

A.x9[±]x3=x3B.（-x4）3=-x12

C.x2-x4=x8D.（x2+x3）2=x4+x5+x6

例7計(jì)算2x2?（-3）x3的結(jié)果是（）

A.-6x5B.6x5C,-2x5D.2x5

例8己知x?+y2=25,x+y=7,且x>y,則x-y的值為多少？

（三）易錯(cuò)篇

易錯(cuò)題一為鼓勵(lì)節(jié)約用電，某地對(duì)居民用戶用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每戶每月用電如果不超過100度，那

么每度電價(jià)按a元收費(fèi)；如果超過100度，那么超過部分每度電價(jià)按b元收費(fèi)。某戶居民在一個(gè)月內(nèi)用電160度,

他這個(gè)月應(yīng)繳納電費(fèi)是元（用含a、b的代數(shù)式表示）。

0

易錯(cuò)題二若9xa+bya-b與國歐83是同類項(xiàng)，那么（）

A.a=-1,b=2B.a=1,b=-2

C.a=?2,b=1D.a=2,b=-1

易錯(cuò)題三

（1）計(jì)算x2y3?]（xy）2的結(jié)果是（）

A.xyB.xC.yD.xy2

（2）a3-a4[±]a5=°

(3)下列計(jì)算正確的是()

A.2x3-3x2=6x6B.x3+x3=x6

C.x10[±]x5=x2D.x40x5y=S

(4)下列運(yùn)算中，正確的是()

T

A.2a+3b=5abB.3a-2=|3ajC.(-x)5-(-x)3=-x8D.(-1)0=1

易錯(cuò)題四下列計(jì)算正確的是()

A.(-4X)-(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x

B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3

C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2

D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2

三、學(xué)生練習(xí)

1.買一個(gè)籃球需要m元，買一個(gè)排球需要n元，則買3個(gè)籃球和5個(gè)排球共需要元。

2.數(shù)字解密：若第一個(gè)數(shù)是3=2+1,第二個(gè)數(shù)是5=3+2,第三個(gè)數(shù)是9=5+4,第四個(gè)數(shù)是17=9+8,…，觀

察并猜想第六個(gè)數(shù)應(yīng)是。

3.碳?xì)浠衔锏幕瘜W(xué)式：CH4、C2H6、C3H8、C4H10,…觀察其化學(xué)式的變化規(guī)律，則第n個(gè)碳?xì)浠衔锏?/p>

化學(xué)式為。

4.按一定的規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：口，口，S,匠運(yùn)二運(yùn)，…按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第7個(gè)

數(shù)是.

9~9~9~9~iolfiol[To_ibl

5.觀察下列各等式的數(shù)字特征：…，將你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含

字母a、b的等式表示出來：。

6.觀察下列等式：2=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定

22。。6的個(gè)位數(shù)字是。

7.在整式運(yùn)算中，任意兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘后，將同類項(xiàng)合并后的項(xiàng)數(shù)可以是項(xiàng)式。

8.若(0-x)3=ao+aix+aax2+a3x3,則(ao+a2)2-(ai+as)2的值為。

2

9.觀察下列各式：0,x,X,2x3,3x35x5,8x6,o按此規(guī)律寫出的第10個(gè)式子是。

10.計(jì)算：(J3)2=。

11.下列運(yùn)算正確的是()

A.0=±2

B.2-3=-6

C.x2-x3=x6

D.(-2x)4=16x4

12.下列運(yùn)算中，正確的是()

A.0J3=2a4

B.H-0=a6

C.a6C3a3=a2

D.(ab2)2=a2b4

13.如圖2-1,邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，小明將圖中的陰影部分拼成了一個(gè)矩形,

如圖2-2這一過程可以驗(yàn)證()

A.a2+b2-2ab=(a-b)2

B.a2+b2+2ab=(a+b)2

C.2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)

D.a2-b2=(a+b)(a-b)

14.下列運(yùn)算正確的是()

A.2x5-3x3=-x2

B.2t3+ES=2E^

C.(-x)5-(-x2)=-x10

D.(3a6x3-9ax5)+(-3ax3)=3x2-a5

15.計(jì)算：(x-y)2-(x+y)(x-y)?

16.化簡(jiǎn)：2a(a-b)-2a2+3abo

17.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”。如：4=22-02,12=42-22,

20=62-42因此4,12,20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)。

(1)28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為

什么？

(3)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)(取正整數(shù))的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

18.去括號(hào):4(a-b)-[-a(-b2-a2)]?

19.填空：(1)a2m-U=a3；

(2)(x3y2)4s(x3y)5=。

20.單項(xiàng)式-lilxa+byaT與3x2y是同類項(xiàng)，則a-b的值為

)

A.2B.0

C.-2D.1

21.已知m-n=3,求代數(shù)式3-m+n的值

22.如圖2-3,用黑白兩種顏色的正方形紙片按黑紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一列圖案:

第I個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

圖2-3

(1)第4個(gè)圖案中有白色紙片張；

(2)第n個(gè)圖案中有白色紙片張。

23.用火柴棒如圖2-4所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺下去，第4個(gè)圖形需要根火柴棒，第n

個(gè)圖形需要根火柴棒(用含n的代數(shù)式表示)。

(I)(2)(3)

圖24

24.在很小的時(shí)候，我們用手指練習(xí)過數(shù)數(shù)。一個(gè)小朋友按如圖2-5所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，數(shù)到2006時(shí).，對(duì)

應(yīng)的指頭是(填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無名指、小指)。

.17--

圖2-5

25.如圖2-7所示的是小明用火柴棒搭的1條，2條，3條，…“金魚”，則搭，n條“金魚”需要火柴棒根。

I條2條3條

圖2?7

26.當(dāng)x=-2時(shí)代數(shù)式(x+2)2-x(x+1)的值等于()

A.2B.-2C.4D.-4

27.當(dāng)a=-1時(shí)，代數(shù)式(a+1)2+a(a-3)的值等于()

A.-4B.4C.-2D.2

28.若單項(xiàng)式4xm與?x2yM的和是單項(xiàng)式，則m=,n=。

29.若2amb2m+3n與a2n-3b8的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則m,Fl的值分別是()

A.1.2B.2,1C.1,ID.1,3

30.小馬虎在下面的計(jì)算中只做對(duì)了一道題，他做對(duì)的題目是()

A.(a-b)2=a2A2

B.(-2a3)2=4a6

C.a3+a2=2a5

D.-(a-1)=-a-1

2

31.觀察下列單項(xiàng)式：0,3x,8x3,15x324x5,…按此規(guī)律寫出第13個(gè)單項(xiàng)式是o

32.下列各式正確的是()

A.(x3)2=x5

B.(a+b)(b-a)=a2-b2

C.5x2y-3x2y=2

D.x5-x=x6

33.計(jì)算(-3a3)包2的結(jié)果是()

A.-9a4B.6a4

C.9a3D.9a4

34.已知a-b=b-c=口，a2+b2