2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第39煉 傳統(tǒng)不等式的解法含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第39煉傳統(tǒng)不等式的解法含答案第39煉傳統(tǒng)不等式的解法一、基礎(chǔ)知識(shí)1、一元二次不等式：可考慮將左邊視為一個(gè)二次函數(shù)，作出圖像，再找出軸上方的部分即可——關(guān)鍵點(diǎn)：圖像與軸的交點(diǎn)2、高次不等式（1）可考慮采用“數(shù)軸穿根法”，分為以下步驟：（令關(guān)于的表達(dá)式為，不等式為）①求出的根②在數(shù)軸上依次標(biāo)出根③從數(shù)軸的右上方開(kāi)始，從右向左畫(huà)。如同穿針引線穿過(guò)每一個(gè)根④觀察圖像，尋找軸上方的部分尋找軸下方的部分（2）高次不等式中的偶次項(xiàng)，由于其非負(fù)性在解不等式過(guò)程中可以忽略，但是要驗(yàn)證偶次項(xiàng)為零時(shí)是否符合不等式3、分式不等式（1）將分母含有的表達(dá)式稱為分式，即為的形式（2）分式若成立，則必須滿足分母不為零，即（3）對(duì)形如的不等式，可根據(jù)符號(hào)特征得到只需同號(hào)即可，所以將分式不等式轉(zhuǎn)化為（化商為積），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為整式不等式求解4、含有絕對(duì)值的不等式（1）絕對(duì)值的屬性：非負(fù)性（2）式子中含有絕對(duì)值，通常的處理方法有兩種：一是通過(guò)對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論（常用）；二是通過(guò)平方（3）若不等式滿足以下特點(diǎn)，可直接利用公式進(jìn)行變形求解：①的解集與或的解集相同②的解集與的解集相同（4）對(duì)于其它含絕對(duì)值的問(wèn)題，則要具體問(wèn)題具體分析，通?？捎玫氖侄尉褪窍壤梅诸?lèi)討論去掉絕對(duì)值，將其轉(zhuǎn)化為整式不等式，再做處理5、指對(duì)數(shù)不等式的解法：（1）先講一個(gè)不等式性質(zhì)與函數(shù)的故事在不等式的基本性質(zhì)中，有一些性質(zhì)可從函數(shù)的角度分析，例如：，可發(fā)現(xiàn)不等式的兩邊做了相同的變換（均加上），將相同的變換視為一個(gè)函數(shù)，即設(shè)，則，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以可得：，即成立，再例如：，可設(shè)函數(shù)，可知時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為減函數(shù)，即由以上兩個(gè)例子我們可以得出：對(duì)于不等式兩邊作相同變換的性質(zhì)，可將變換視為一個(gè)函數(shù)，則在變換時(shí)不等號(hào)是否發(fā)生改變，取決于函數(shù)的增減性。增函數(shù)→不變號(hào)，減函數(shù)→變號(hào)在這種想法的支持下，我們可以對(duì)不等式的變形加以擴(kuò)展，例如：，則的關(guān)系如何？設(shè)，可知的單調(diào)減區(qū)間為，由此可判斷出：當(dāng)同號(hào)時(shí)，（2）指對(duì)數(shù)不等式：解指對(duì)數(shù)不等式，我們也考慮將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，那么在指對(duì)數(shù)變換的過(guò)程中，不等號(hào)的方向是否變號(hào)呢？先來(lái)回顧指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：無(wú)論是還是，其單調(diào)性只與底數(shù)有關(guān)：當(dāng)時(shí)，函數(shù)均為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)均為減函數(shù)，由此便可知，不等號(hào)是否發(fā)生改變?nèi)Q于底數(shù)與1的大小，規(guī)律如下：時(shí)，時(shí)，進(jìn)而依據(jù)這兩條便可將指對(duì)不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解了（3）對(duì)于對(duì)數(shù)的兩個(gè)補(bǔ)充①對(duì)數(shù)能夠成立，要求真數(shù)大于0，所以在解對(duì)數(shù)不等式時(shí)首先要考慮真數(shù)大于0這個(gè)條件，如當(dāng)時(shí)，②如何將常數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)底的對(duì)數(shù)?？苫钣谩?”：因?yàn)?，可作為轉(zhuǎn)換的橋梁例如：？某些不等式雖然表面形式復(fù)雜，但如果把其中一部分視為一個(gè)整體，則可對(duì)表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題，例如：，可將為視為一個(gè)整體，令，則，則不等式變?yōu)?，，兩邊可同取?為底對(duì)數(shù)6、利用換元法解不等式（1）換元：屬于化歸時(shí)常用的一種方法，本質(zhì)是研究對(duì)象的選取，不受題目所給字母的限制，而是選擇合適的對(duì)象能把陌生問(wèn)題進(jìn)行化歸，轉(zhuǎn)化為能夠解決的問(wèn)題。如上一個(gè)例子中，通過(guò)將視為整體，從而將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式進(jìn)行求解（2）在換元的過(guò)程中，用新字母代替原來(lái)的字母和式子，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新字母的問(wèn)題，從而要先了解新字母的取值范圍。即若換元，則先考慮新元的初始范圍（3）利用換元法解不等式的步驟通常為：①選擇合適的對(duì)象進(jìn)行換元：觀察不等式中是否有相同的結(jié)構(gòu)，則可將相同的結(jié)構(gòu)視為一個(gè)整體②求出新元的初始范圍，并將原不等式轉(zhuǎn)化為新變量的不等式③解出新元的范圍④在根據(jù)新元的范圍解的范圍二、典型例題：例1：解下列一元二次不等式：（1）（2）（3）（4）4-1解（1）4-1即與軸的交點(diǎn)為由圖像可得滿足的的范圍為不等式的解集為（2）令，則可解得：作圖觀察可得：或不等式的解集為（3）令，則中，則與軸無(wú)公共點(diǎn)，即恒在軸上方，注：由（1）（2）我們發(fā)現(xiàn)，只要是，開(kāi)口向上的拋物線與軸相交，其圖像都是類(lèi)似的，在小大根之間的部分，在小大根之外的部分，發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，在解一元二次不等式時(shí)便有了更為簡(jiǎn)便的口訣①讓最高次項(xiàng)系數(shù)為正②解的方程，若方程有解，則的解集為小大根之外，的解集為小大根之間，若方程無(wú)解，則作出圖像觀察即可（4）解：先將最高次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)：方程的根為不等式的解集為例2：解下列高次不等式：（1）（2）123（1）解：123則的根作圖可得：或不等式的解集為（2）思路：可知，所以只要，則恒正，所以考慮先將恒正恒負(fù)的因式去掉，只需解，可得且不等式的解集為小煉有話說(shuō)：在解高次不等式時(shí)，穿根前可考慮先將恒正恒負(fù)的項(xiàng)去掉，在進(jìn)行穿根即可。穿根法的原理：它的實(shí)質(zhì)是利用圖像幫助判斷每個(gè)因式符號(hào)，進(jìn)而決定整個(gè)式子的符號(hào)，圖像中的數(shù)軸分為上下兩個(gè)部分，上面為的部分，下方為的部分。以例2（1）為例，當(dāng)時(shí)，每一個(gè)因式均大于0，從而整個(gè)的符號(hào)為正，即在數(shù)軸的上方（這也是為什么不管不等號(hào)方向如何，穿根時(shí)一定要從數(shù)軸右上方開(kāi)始的原因，因?yàn)榇藭r(shí)的符號(hào)一定為正），當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，由正變負(fù)，而其余的式子符號(hào)未變，所以的符號(hào)發(fā)生一次改變，在圖像上的體現(xiàn)就是穿根下來(lái)，而后經(jīng)過(guò)下一個(gè)根時(shí)，的符號(hào)再次發(fā)生改變，曲線也就跑到軸上方來(lái)了。所以圖像的“穿根引線”的實(shí)質(zhì)是在經(jīng)歷每一個(gè)根時(shí)，式子符號(hào)的交替變化。例3：解下列分式不等式：（1）（2）解：（1）不等式等價(jià)于不等式的解集為（2）不等式等價(jià)于解得：不等式的解集為例4：（1）（2）（3）分式不等式在分母符號(hào)不定的情況下，千萬(wàn)不要用去分母的方式變形不等式（涉及到不等號(hào)方向是否改變），通常是通過(guò)移項(xiàng)，通分，將其轉(zhuǎn)化為再進(jìn)行求解解：（1）或不等式的解集為（2）不等式的解集為（3）思路：觀察發(fā)現(xiàn)分母很成立，所以考慮直接去分母，不等號(hào)的方向也不會(huì)改變，這樣直接就化為整式不等式求解了解：不等式的解集為例5：解不等式：（1）（2）解：（1）方法一：所解不等式可轉(zhuǎn)化為方法二：觀察到若要使得不等式成立，則，進(jìn)而內(nèi)部恒為正數(shù)，絕對(duì)值直接去掉，即只需解即可。解得不等式的解集為（2）思路：觀察可發(fā)現(xiàn)不等號(hào)左右兩端式子相同，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大于它本身，則這個(gè)數(shù)一定是負(fù)數(shù)，所以直接可得：不等式的解集為小煉有話說(shuō)：含絕對(duì)值的不等式要注意觀察式子特點(diǎn)，選擇更簡(jiǎn)便的方法例6：解不等式：（1）（2）解：（1）含多個(gè)絕對(duì)值的問(wèn)題，可通過(guò)“零點(diǎn)分段法”來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論令兩個(gè)絕對(duì)值分別為零，解得：，作出數(shù)軸，將數(shù)軸分為三部分，分類(lèi)討論①不等式變?yōu)棰跁r(shí)，不等式變?yōu)闀r(shí)不等式均成立③不等式變?yōu)榫C上所述：不等式的解集為小煉有話說(shuō)：零點(diǎn)分段法的好處在于，一段范圍可將所有的絕對(duì)值一次性去掉，缺點(diǎn)在于需要進(jìn)行分類(lèi)討論，對(duì)學(xué)生書(shū)寫(xiě)的規(guī)范和分類(lèi)討論習(xí)慣提出了要求，以及如何整理結(jié)果，這些細(xì)節(jié)部分均要做好，才能保證答案的正確性（2）思路：本題依然可以仿照（1）的方式進(jìn)行零點(diǎn)分段，再解不等式，但從另一個(gè)角度觀察，所解不等式為，兩邊均是絕對(duì)值（非負(fù)數(shù)），所以還可以考慮兩邊平方（所用不等式性質(zhì)：）一次將兩個(gè)絕對(duì)值去掉，再進(jìn)行求解。解：不等式的解集為例7：解下列不等式：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）或不等式的解集為不等式的解集為（3）或不等式的解集為（4）或可解得：不等式的解集為例8：解下列不等式：（1）（2）（3）（4）（1）思路：，從而可將視為一個(gè)整體，則所解不等式可看做關(guān)于的二次不等式，解出的范圍，再反求的范圍即可解：令即不等式的解集為（2）思路：觀察到不等式左側(cè)的兩項(xiàng)存在真數(shù)底數(shù)互換位置的特點(diǎn)，聯(lián)想到對(duì)數(shù)公式：，從而選擇一項(xiàng)進(jìn)行變形（比如選擇)，再將視為一個(gè)整體解不等式，解出的范圍后進(jìn)而求出的范圍解：令不等式轉(zhuǎn)化為：或，即或可解得：或（3）令不等式轉(zhuǎn)化為：即不等式的解集為（4）思路：所解不等式等價(jià)于，本題可以考慮對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論，從而去掉絕對(duì)值解出不等式。但從另一方面，可發(fā)現(xiàn)，從而所解不等式轉(zhuǎn)化為：，將視為一個(gè)整體，先解出范圍，進(jìn)而解出的范圍解：令，所解不等式轉(zhuǎn)化為即即或不等式的解集為例9：已知不等式的解集為，則___，____思路：所解不等式，即，觀察可得只要讓第二個(gè)不等式成立，則第一個(gè)一定成立。所以只需解。由已知可得此不等式的解集為，則為的兩根，代入解得，再解得答案：小煉有話說(shuō)：解多個(gè)同時(shí)成立的不等式時(shí)，不妨觀察它們之間是否存在“替代”關(guān)系，從而簡(jiǎn)化所解不等式的個(gè)數(shù)例10：已知不等式的解集為，則的取值范圍是________思路：所給條件等價(jià)于的解集為，即的解集為，由此可得：解得：答案：第40煉利用函數(shù)性質(zhì)與圖像解不等式高中階段解不等式大體上分為兩類(lèi)，一類(lèi)是利用不等式性質(zhì)直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指對(duì)數(shù)不等式等）；一類(lèi)是利用函數(shù)的性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行運(yùn)算。相比而言后者往往需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解，考驗(yàn)學(xué)生的觀察能力和運(yùn)用條件能力，難度較大。本章節(jié)以一些典型例題來(lái)說(shuō)明處理這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)思路。一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）構(gòu)造函數(shù)解不等式1、函數(shù)單調(diào)性的作用：在單調(diào)遞增，則(在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁）2、假設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)遞增，，則時(shí)，;時(shí)，(單調(diào)性與零點(diǎn)配合可確定零點(diǎn)左右點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)）3、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）（2）4、構(gòu)造函數(shù)解不等式的技巧：（1）此類(lèi)問(wèn)題往往條件比較零散，不易尋找入手點(diǎn)。所以處理這類(lèi)問(wèn)題要將條件與結(jié)論結(jié)合著分析。在草稿紙上列出條件能夠提供什么，也列出要得出結(jié)論需要什么。兩者對(duì)接通?？梢源_定入手點(diǎn)（2）在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要根據(jù)條件的特點(diǎn)進(jìn)行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)系的函數(shù)。在構(gòu)造時(shí)多進(jìn)行試驗(yàn)與項(xiàng)的調(diào)整（3）此類(lèi)問(wèn)題處理的核心要素是單調(diào)性與零點(diǎn)，對(duì)稱性與圖像只是輔助手段。所以如果能夠確定構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，猜出函數(shù)的零點(diǎn)。那么問(wèn)題便易于解決了。（二）利用函數(shù)性質(zhì)與圖像解不等式：1、軸對(duì)稱與單調(diào)性：此類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是自變量與軸距離大小與其函數(shù)值大小的等價(jià)關(guān)系。通?？勺鞑輬D幫助觀察。例如：的對(duì)稱軸為，且在但增。則可以作出草圖（不比關(guān)心單調(diào)增的情況是否符合，不會(huì)影響結(jié)論），得到：距離越近，點(diǎn)的函數(shù)值越小。從而得到函數(shù)值與自變量的等價(jià)關(guān)系2、圖像與不等式：如果所解不等式不便于用傳統(tǒng)方法解決，通常的處理手段有兩種，一類(lèi)是如前文所說(shuō)可構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)解不等式；另一類(lèi)就是將不等式變形為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系如，其中的圖像均可作出。再由可知的圖像在圖像的下方。按圖像找到符合條件的范圍即可。二、典型例題：例1：定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，，則的解集為（）A.B.C.D.思路：本題并沒(méi)有的解析式，所以只能考慮利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式。由條件可得，進(jìn)而聯(lián)想到有可能是通過(guò)導(dǎo)數(shù)的乘除運(yùn)算法則所得，再結(jié)合所解不等式，發(fā)現(xiàn)，剛好與條件聯(lián)系起來(lái)，故設(shè)，則在上單調(diào)遞減。，所以的解集為答案：C小煉有話說(shuō)：（1）在解題過(guò)程中目標(biāo)要明確：既然不能用傳統(tǒng)方法解不等式，則要靠函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而目標(biāo)為構(gòu)造函數(shù)并求單調(diào)性，要確定單調(diào)性則要分析所構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)（2）此題構(gòu)造的關(guān)鍵點(diǎn)有二：一是輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)，進(jìn)而聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)乘除法運(yùn)算，二是所求不等式所給予的“暗示”。所以解此類(lèi)題目一定要讓條件與結(jié)論“對(duì)上話”（3）體會(huì)條件的作用：提供零點(diǎn)以便配合單調(diào)性求解例2：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意的，有，則的解集是；思路：所解不等式化為，令，則由可得（這也是為何構(gòu)造的原因），在上單調(diào)遞增?？紤]，答案：例3：設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為_(kāi)________思路：由可得原函數(shù)（注意由導(dǎo)函數(shù)反求原函數(shù)時(shí)要帶個(gè)常數(shù)），再由可得，（看到函數(shù)解析式的反應(yīng)：定義域？奇偶性？）顯然是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增。進(jìn)而不等式可利用單調(diào)性解出的范圍。，所以答案：小煉有話說(shuō)：（1）本題盡管求出的的解析式，但由于靠解析式所解得不等式過(guò)于復(fù)雜，所以依然選擇利用單調(diào)性（2）要掌握一些能直接判斷單調(diào)性與奇偶性的方法，常見(jiàn)的判斷方法如下：奇偶性：①奇+奇→奇②偶+偶→偶③奇×奇→偶④奇×偶→奇⑤偶×偶→偶單調(diào)性：①增+增→增②減+減→減③增×（-1）→減④1/增→減（僅在函數(shù)值恒正或恒負(fù)時(shí)成立）（3）本題求解有一個(gè)重要細(xì)節(jié)：由于定義在上，所以要保證均在上（4）要培養(yǎng)一個(gè)習(xí)慣：拿到函數(shù)，首先看定義域，其次看函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)是否有能直接判斷的（尤其奇偶性），再根據(jù)條件分析。例4：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（）A．B．C．D．思路：，令，則在單調(diào)遞增，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以可判斷為偶函數(shù)。另一方面，的解集與的解集相同，進(jìn)而只需求出的解集。，由增函數(shù)可得時(shí)，，由對(duì)稱性可知時(shí)，答案：D例5：若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).如果實(shí)數(shù)滿足時(shí)，那么的取值范圍是.思路：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，而與互為相反數(shù)的特點(diǎn)可化簡(jiǎn)所求不等式：，由偶函數(shù)與單調(diào)性作草圖可得：距離軸約近，函數(shù)值越小，所以可得，解出的范圍即可解：所解不等式等價(jià)于：為偶函數(shù)為偶函數(shù)，且上單增答案：小煉有話說(shuō)：遇到單調(diào)性與對(duì)稱軸已知的函數(shù)，可以作草圖并得到距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)近與函數(shù)值的大小的等價(jià)關(guān)系。例6：已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為_(kāi)___________思路：考慮條件能夠提供什么，為偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的圖像關(guān)于軸對(duì)稱；，由輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的乘除運(yùn)算法則（極有可能是除法，則要猜想分母），觀察所求不等式與條件的聯(lián)系，而，進(jìn)而找到聯(lián)系。構(gòu)造函數(shù)，則，得到在單調(diào)遞增，所解不等式也變?yōu)榍蟮慕?。考慮時(shí)的值，再利用單調(diào)性求解。，而，考慮，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故,由在單調(diào)遞增可得的解集為答案：小煉有話說(shuō)：（1）本題所給條件比較零散。而解題思路則是像一根線把各個(gè)條件與求解聯(lián)系起來(lái)。此類(lèi)題目在不知如何入手時(shí)不妨先將條件進(jìn)行簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，看條件能提供什么，再與所求部分（或者是選擇題中的選項(xiàng)）進(jìn)行對(duì)照。從對(duì)照中往往就能夠得知如何構(gòu)造函數(shù)。（2）本題對(duì)條件的利用，以及猜想的解是一個(gè)難點(diǎn)。對(duì)于指對(duì)數(shù)運(yùn)算，結(jié)果比較整齊時(shí)（尤其是），要想到一些特殊結(jié)果，比如等。例7：設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）A.B.C.D.思路：此題一入手便發(fā)現(xiàn)需用函數(shù)單調(diào)性解不等式，觀察條件：出現(xiàn)輪流求導(dǎo)，所解不等式中，均具備“”的形式，進(jìn)而找到連結(jié)條件與所求的橋梁。下面對(duì)條件進(jìn)行變形：(注意，不等式變號(hào)），令，則，故在上單調(diào)遞減。所解不等式變?yōu)榇鸢福篊小煉有話說(shuō)：此題在處理?xiàng)l件時(shí)也有另一個(gè)選擇，即，但是這與所求不等式之間沒(méi)有聯(lián)系（不等式中沒(méi)有出現(xiàn)的形式），所以此套方案舍棄，將僅僅用于判斷符號(hào)。在數(shù)學(xué)題目中，條件就像樹(shù)狀圖一樣，一個(gè)條件可以引出很多種思路與想法。但是如何進(jìn)行選取要借助其他條件與所求帶來(lái)的暗示例8：（2015紅橋一模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：本題如果按照傳統(tǒng)不等式解法，則要通過(guò)零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值，再解不等式，過(guò)程較為復(fù)雜。分析，，每一段均可作出圖像，而所解不等式在圖像上是位于下方的部分。所以作出圖像找到邊界值：，解得，，解得：，所以滿足的的范圍是答案：B例9：已知，若同時(shí)滿足條件：①或；②，則的取值范圍是__________思路：本題如果用代數(shù)方法求解，則由于本身含參，在解含參不等式時(shí)涉及分類(lèi)討論較為復(fù)雜，同時(shí)對(duì)于條件①②，均可翻譯為圖像上的特點(diǎn)，①表示的圖像在每一點(diǎn)處至少有一個(gè)在軸下方，②表示在中至少存在一個(gè)位置，分居軸兩側(cè)；再考慮到圖像便于作出，所以可用數(shù)形結(jié)合求出的范圍解：因?yàn)闉槌Ｏ禂?shù)函數(shù)，先做出圖像由圖像可得：時(shí)，，故圖像必為開(kāi)口向下的拋物線（否則不滿足條件①），可得，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合條件①②可得，較小的根應(yīng)小于，較大的根應(yīng)小于1。故對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論：或解得：答案：例10：定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_________思路：不易入手時(shí)可先梳理?xiàng)l件與結(jié)論能提供什么：①所解不等式，令，可猜出，進(jìn)而目標(biāo)轉(zhuǎn)向求的單調(diào)性。②（注：是復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：），想辦法確定其符號(hào)③：兩邊求導(dǎo)可得④當(dāng)時(shí)：此為用表示的一個(gè)條件，進(jìn)而有可能將中抽象的表示出來(lái)由此發(fā)現(xiàn)，只要能確定當(dāng)時(shí)與的關(guān)系，即可處理的符號(hào)，聯(lián)系條件③當(dāng)時(shí)，，，進(jìn)而單調(diào)遞減時(shí)，答案：小煉有話說(shuō)：（1）在解決此類(lèi)條件零碎的問(wèn)題時(shí)，除了將所給條件和結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的分析外，還要在做得過(guò)程中明確下一步需要做什么，需要得到什么。（2）在考試中本題也可利用特殊函數(shù)得到答案。由可構(gòu)造一個(gè)符合條件的函數(shù)如“+奇函數(shù)”的形式。在根據(jù)進(jìn)行調(diào)整。例如，然后求解不等式即可。（因?yàn)閺念}目上看可發(fā)現(xiàn)只要滿足條件的函數(shù)均可使不等式的解集相同）三、歷年好題精選1、已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.B.C.D.2、若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______3、（2014，慶安高三期中）設(shè)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．4、（2016，北京西城高三期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___.5、設(shè)不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.6、設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A.B.C.D.7、（2015新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的范圍是（）A.B.C.D.8、（2014，新課標(biāo)全國(guó)卷II）已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，，若，則的取值范圍是_______9、（2014，浙江）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________10、（2016，重慶萬(wàn)州二中）已知定義在實(shí)數(shù)集的函數(shù)滿足，且導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A.B.C.D.11、設(shè)偶函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A.B.C.D.12、已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是_______.13、設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.14、設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，在上有且，則不等式的解集為_(kāi)_________15、設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.16、定義在上的函數(shù)滿足：則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A.B.C.D.17、已知函數(shù)則不等式的解集是（） A． B． C． D．18、定義在上的函數(shù)滿足：，且對(duì)于任意的,都有，則不等式的解集為_(kāi)_________________.習(xí)題答案：1、答案：C解析：由為偶函數(shù)可知關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以結(jié)合對(duì)稱性與單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合可知距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越大。則，即，可解得：2、答案：解析：不等式變形為：，設(shè)結(jié)合圖像可知：若不等式有解，則的圖像有位于下方的部分，所以，解得3、答案：C解析：若，則，所以有若時(shí)，可得：解得：，所以綜上所述：不等式的解集為4、答案：1解析：由圖像可知：當(dāng)?shù)姆秶鷳?yīng)該在，即不等式的解集為：，依題意