第46講　空間距離及立體幾何中的探索性問題

第46講空間距離及立體幾何中的探索性問題【備選理由】例1考查點(diǎn)到直線的距離;例2考查直線到平面的距離;例3考查平面到平面的距離及線面角;例4是立體幾何中的探索性問題.例1[配例1使用][2024·廣東茂名模擬]如圖①,菱形ABCD的邊長為4,A=60°,E為AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折至△A'DE處,連接A'B,A'C,得到四棱錐A'-EBCD,如圖②所示.若四棱錐A'-EBCD的體積為43,點(diǎn)F為A'D的中點(diǎn),則F到直線BC的距離為 (A)A.312 B.C.314 D.[解析]在菱形ABCD中,連接BD,因為四邊形ABCD為菱形,且A=60°,所以△ABD為等邊三角形,因為E為AB的中點(diǎn),所以DE⊥AB,所以在四棱錐A'-EBCD中,DE⊥EB,DE⊥A'E,因為EB∩A'E=E,EB,A'E?平面A'EB,所以DE⊥平面A'EB.因為菱形ABCD的邊長為4,所以AB=AD=CD=BC=4,DE=23,AE=BE=2,所以直角梯形BCDE的面積為12×(2+4)×23=63.設(shè)四棱錐A'-EBCD的高為h,則13×63h=43,得h=2,所以h=A'E,所以A'E⊥平面BCDE.以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB,ED,EA'所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(2,0,0),C(4,23,0),F(0,3,1),所以BC=(2,23,0),連接FB,則FB=(2,-3,-1),所以F到直線BC的距離d=|FB|2-BC·例2[配例2使用]如圖,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1,∠B1AB=π3,E是D1D的中點(diǎn),則A1C1到平面EAC的距離為A.5 B.25C.2305 D[解析]連接A1E,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1,且∠B1AB=π3,所以BB1=AB·tanπ3=3,則A(0,0,0),C(1,1,0),E0,1,32,A1(0,0,3),所以AE=0,1,32,A1E=0,1,-32,CE=-1,0,32.設(shè)平面EAC的法向量為n=(x,y,z),則n·AE=0,n·CE=0,即y+32z=0,-x+32z=0,令z=23,則n=(3,-3,23).因為AC∥A1C1,且AC?平面EAC例3[配例2使用][2023·南京模擬]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,AD=AB=1,BC=2,過點(diǎn)A作一個平面α使得α∥平面PBC.(1)求平面α將四棱錐P-ABCD分成的兩部分幾何體的體積之比;(2)若平面α與平面PBC之間的距離為66,求直線PA與平面PBC所成角的正弦值解:(1)如圖①,記平面α與直線CD,PD的交點(diǎn)分別為E,F,則平面AEF為平面α,因為平面AEF∥平面PBC,平面AEF∩平面ABCD=AE,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以AE∥BC,同理EF∥PC,又AB∥CD,即AB∥EC,所以四邊形ABCE是平行四邊形,故EC=AB=1.在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,AD⊥CD,BC=2,所以CD=2,故E是CD的中點(diǎn).又在△PCD中,EF∥PC,所以F是PD的中點(diǎn).由條件易得S梯形ABCD=12(AB+CD)·AD=12×(1+2)×1=32,S△ADE=12AD·DE=12×1×1=1由PD⊥底面ABCD,得VF-ADE=13S△ADE·DF=13×12×DF=16DF,VP-ABCD=13S梯形ABCD·PD=13×32×2故平面α將四棱錐P-ABCD分成的兩部分幾何體的體積之比為1∶5(或5∶1).(2)由題可知CD,PD,DA兩兩垂直,故以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系,記棱PD的長度為t(t>0),則P(0,0,t),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,1,0),則EC=(0,1,0),BC=(-1,1,0),PC=(0,2,-t).設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則n·BC=0,取y=t,得n=(t,t,2).由條件易知點(diǎn)E到平面PBC的距離為EC·n|n|=66,即t2t2+4=所以n=(1,1,2),PA=(1,0,-1),故直線PA與平面PBC所成角的正弦值為PA·n|PA||例4[配例3使用]如圖①,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=π3,AB=2AD=2CD=4,P為AB的中點(diǎn),AC與DP交于點(diǎn)O.將△ACD沿AC折起到△ACD'的位置,得到三棱錐D'-ABC,使得二面角B-AC-D'為直二面角(如圖②)(1)求證:BC∥平面POD'.(2)求平面ABC與平面BCD'的夾角的大小.(3)在線段PD'上是否存在點(diǎn)Q,使得平面OCQ⊥平面ABD'?若存在,求出PQPD'的值;若不存在, 解:(1)證明:在梯形ABCD中,因為AB∥CD,AB=2CD=4,P為AB的中點(diǎn),所以CD∥AP,CD=AP,連接PC,所以四邊形APCD為平行四邊形,因為AC∩DP=O,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),所以O(shè)P∥BC.在三棱錐D'-ABC中,因為OP?平面POD',BC?平面POD',所以BC∥平面POD'.(2)在平行四邊形APCD中,因為AP=AD=2,所以四邊形APCD為菱形,所以AC⊥DP,所以在三棱錐D'-ABC中,AC⊥OD',AC⊥OP.因為OD'?平面ACD',OP?平面ACB,所以∠D'OP即為二面角B-AC-D'的平面角,所以∠D'OP=π2,即OP⊥如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)A,OP,OD'所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(-3,2,0),C(-3,0,0),D'(0,0,1),所以BD'=(3,-2,1),CB=(0,2,0)設(shè)平面BCD'的法向量為n=(x,y,z),則n·CB=2y=0,n·BD'易知平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1),所以cos<m,n>=m·n|所以平面ABC與平面BCD'的夾角的大小為π6(3)假設(shè)在線段PD'上存在點(diǎn)Q,使得平面OCQ⊥平面ABD'.設(shè)PQ=λPD'(0≤λ因為P(0,1,0),所以CP=(3,1,0),PD'=(0,-所以CQ=CP+PQ=CP+λPD'=(3,1-λ,λ),易知OC=(-3,0,0),AB=(-23,2,0)設(shè)平面OCQ的法向量為t=(x1,y1