2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（一）：第1煉 命題形式變化及真假判定含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（一）：第1煉命題形式變化及真假判定含答案第1煉命題形式變化及真假判定一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）命題結(jié)構(gòu)變換1、四類(lèi)命題間的互化：設(shè)原命題為“若，則”的形式，則（1）否命題：“若，則”（2）逆命題：“若，則”（3）逆否命題：“若，則”2、，（1）用“或”字連接的兩個(gè)命題（或條件），表示兩個(gè)命題（或條件）中至少有一個(gè)成立即可，記為（2）用“且”字連接的兩個(gè)命題（或條件），表示兩個(gè)命題（或條件）要同時(shí)成立，記為3、命題的否定：命題的否定并不是簡(jiǎn)單地在某個(gè)地方加一個(gè)“不”字，對(duì)于不同形式的命題也有不同的方法（1）一些常用詞的“否定”：是→不是全是→不全是至少一個(gè)→都沒(méi)有至多個(gè)→至少個(gè)小于→大于等于（2）含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定：邏輯聯(lián)接詞對(duì)應(yīng)改變，同時(shí)均變?yōu)椋夯颉仪摇颍?）全稱(chēng)命題與存在性命題的否定全稱(chēng)命題：存在性命題：規(guī)律為：兩變一不變①兩變：量詞對(duì)應(yīng)發(fā)生變化（），條件要進(jìn)行否定②一不變：所屬的原集合的不變化（二）命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，但在一組有關(guān)系的命題中，真假性也存在一定的關(guān)聯(lián)。1、四類(lèi)命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假?zèng)]有關(guān)聯(lián)2、，，如下列真值表所示：或真真真真假真假真真假假假且真真真真假假假真假假假假簡(jiǎn)而言之“一真則真”簡(jiǎn)而言之“一假則假”3、：與命題真假相反。4、全稱(chēng)命題：真：要證明每一個(gè)中的元素均可使命題成立假：只需舉出一個(gè)反例即可5、存在性命題：真：只需在舉出一個(gè)使命題成立的元素即可假：要證明中所有的元素均不能使命題成立二、典型例題例1：命題“若方程的兩根均大于，則”的逆否命題是（）A.“若，則方程的兩根均大于”B.“若方程的兩根均不大于，則”C.“若，則方程的兩根均不大于”D.“若，則方程的兩根不全大于”思路：所謂逆否命題是要將原命題的條件與結(jié)論否定后并進(jìn)行調(diào)換，“”的對(duì)立面是“”，“均大于”的對(duì)立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再調(diào)換順序即可，D選項(xiàng)正確答案：D例2：命題“存在”的否定是（）A．存在B．不存在C．對(duì)任意D．對(duì)任意思路：存在性命題的否定：要將量詞變?yōu)椤叭我狻?，語(yǔ)句對(duì)應(yīng)變化，但所在集合不變。所以變化后的命題為：“對(duì)任意”答案：D例3：給出下列三個(gè)結(jié)論（1）若命題為假命題，命題為假命題，則命題“”為假命題（2）命題“若，則或”的否命題為“若，則或”（3）命題“”的否定是“”，則以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A.3B.2C.1D.0思路：（1）中要判斷的真假，則需要判斷各自的真值情況，為假命題，則為真命題，所以一假一真，為真命題，（1）錯(cuò)誤（2）“若……，則……”命題的否命題要將條件和結(jié)論均要否定，而（2）中對(duì)“或”的否定應(yīng)該為“且”，所以（2）錯(cuò)誤（3）全稱(chēng)命題的否定，要改變量詞和語(yǔ)句，且的范圍不變。而（3）的改寫(xiě)符合要求，所以（3）正確綜上只有（3）是正確的答案：C例4：有下列四個(gè)命題①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題②“全等三角形的面積相等”的否命題③“若，則有實(shí)根”的逆否命題④“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆命題其中真命題為（）A.①②B.②③C.①③D.③④思路：①中的逆命題為“若互為相反數(shù)，則”，為真命題。②中的否命題為“如果兩個(gè)三角形不是全等三角形，則它們的面積不相等”，為假命題（同底等高即可）。③中若要判斷逆否命題的真假，則只需判斷原命題即可。時(shí)，判別式，故方程有實(shí)根。所以原命題為真命題，進(jìn)而其逆否命題也為真命題。④中的逆命題為“如果一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角相等，則它為不等邊三角形”顯然是假命題。綜上，①③正確答案：C小煉有話說(shuō)：在判斷四類(lèi)命題的真假時(shí)，如果在寫(xiě)命題或判斷真假上不好處理，則可以考慮其對(duì)應(yīng)的逆否命題，然后利用原命題與逆否命題同真同假的特點(diǎn)進(jìn)行求解例5：下列命題中正確的是（）A.命題“，使得”的否定是“，均有”B.命題“若，則”的否命題是“若，則”C.命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題D.命題“若，則”的逆否命題是真命題思路：分別判斷4個(gè)選項(xiàng)的情況，A選項(xiàng)命題的否定應(yīng)為“，均有”，B選型否命題的形式是正確的，即條件結(jié)論均否定。C選項(xiàng)的命題是正確的，菱形即滿足條件，D選項(xiàng)由原命題與逆否命題真假相同，從而可判斷原命題的真假，原命題是假的，例如終邊相同的角余弦值相同，所以逆否命題也為假命題。D錯(cuò)誤答案：B例6：如果命題“且”是假命題，“”也是假命題，則（）A.命題“或”是假命題B.命題“或”是假命題C.命題“且”是真命題D.命題“且”是真命題思路：涉及到“或”命題與“且”命題的真假，在判斷或利用條件時(shí)通常先判斷每個(gè)命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷。題目中以為入手點(diǎn)，可得是真命題，而因?yàn)榍沂羌倜}，所以只能是假命題。進(jìn)而是真命題。由此可判斷出各個(gè)選項(xiàng)的真假：只有C的判斷是正確的答案：C例7：已知命題：若，則；命題：若，則，在命題①；②；③；④中，真命題是（）A.①③B.①④C.②③D.②④思路：可先判斷出的真假，從而確定出復(fù)合命題的情況。命題符合不等式性質(zhì)，正確，而命題是錯(cuò)的。所以①是假的，②是真的，③④中，因?yàn)闉榧?，為真，所以③正確，④不正確。綜上可確定選項(xiàng)D正確答案：D例8：下列4個(gè)命題中，其中的真命題是（）A.B.C.D.思路：為存在性命題，所以只要找到符合條件的即可?？勺鞒龅膱D像，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)找不到符合條件的；同樣作圖可得，所以正確；通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)圖像中有一部分，所以錯(cuò)誤；在中，可得當(dāng)時(shí)，，所以，正確。綜上可得：正確答案：D小煉有話說(shuō)：（1）在判斷存在性命題與全稱(chēng)命題的真假，可通過(guò)找例子（正例或反例）來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷，如果找不到合適的例子，則要嘗試?yán)贸Ｒ?guī)方法證明或判定（2）本題考察了指對(duì)數(shù)比較大小，要選擇正確的方法（中間橋梁，函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合）進(jìn)行處理，例如本題中運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合，而通過(guò)選擇中間量判斷。例9：已知命題，命題，若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.或C.D.思路：因?yàn)闉榧倜}，所以可得均為假命題。則為真命題。。解決這兩個(gè)不等式能成立與恒成立問(wèn)題即可。解：為假命題均為假命題為真命題對(duì)于當(dāng)時(shí)，對(duì)于，設(shè)，由圖像可知：若成立，則，解得：或所以綜上所述：小煉有話說(shuō)：因?yàn)槲覀兤饺兆鲱}都是以真命題為前提處理，所以在邏輯中遇到已知條件是假命題時(shí)，可以考慮先寫(xiě)出命題的否定，根據(jù)真值表得到命題的否定為真，從而就轉(zhuǎn)化為熟悉的形式以便于求解例10：設(shè)命題函數(shù)的定義域?yàn)椋幻}，不等式恒成立，如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍思路：由“”為真命題可得至少有一個(gè)為真，由“”為假命題可得至少有一個(gè)為假。兩種情況同時(shí)存在時(shí)，只能說(shuō)明是一真一假。所以分為假真與真假進(jìn)行討論即可解：命題“”為真命題，且“”為假命題一真一假若假真，則函數(shù)的定義域不為恒成立或若真假，則函數(shù)的定義域?yàn)榛?，不等式解得綜上所述：三、近年模擬題題目精選：1、（2014河南高三模擬，9）已知命題，命題，則下列命題中為真命題的是（）A.B.C.D.2、（2014，岳陽(yáng)一中，3）下列有關(guān)命題的敘述:①若為真命題，則為真命題②“”是“”的充分不必要條件③命題，使得，則，使得④命題：“若，則或”的逆否命題為：“若或，則”其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3 D．43、（2014成都七中三月模擬，4）已知命題，命題，則（）A.命題是假命題B.命題是真命題C.命題是假命題D.命題是真命題4、（2014新津中學(xué)三月月考，6）已知命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.5、（2014新課標(biāo)全國(guó)卷I）不等式組：的解集記為，有下面四個(gè)命題：其中真命題是（）A.B.C.D.習(xí)題答案：1、答案：C解析：分別判斷真假，令，可得由零點(diǎn)存在性定理可知，使得，為真；通過(guò)作圖可判斷出當(dāng)時(shí)，，故為假；結(jié)合選項(xiàng)可得：為真2、答案：B解析：判斷每個(gè)命題：①若真假，則為真命題，為假命題，故①錯(cuò)誤；②不等式的解為或，由命題所對(duì)應(yīng)的集合關(guān)系可判斷出②正確；③存在性命題的否定，形式上更改符合“兩變一不變”，故③正確；④“或”的否定應(yīng)為“且”，故④錯(cuò)誤，所以選擇B3、答案：B解析：對(duì)于：當(dāng)時(shí)，，故正確；對(duì)于：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤，結(jié)合選項(xiàng)可知是真命題4、答案：C解析：命題的否定為：“，使得”，此為真命題，所以轉(zhuǎn)為恒成立問(wèn)題，利用二次函數(shù)圖像可得：，解得5、答案：C解析：由已知條件作出可行域，并根據(jù)選項(xiàng)分別作出相應(yīng)直線，觀察圖像可知：陰影部分恒在的上方，所以成立；且陰影區(qū)域中有在中的點(diǎn)，所以成立，綜上可得：正確第2煉充分條件與必要條件一、基礎(chǔ)知識(shí)1、定義：（1）對(duì)于兩個(gè)條件，如果命題“若則”是真命題，則稱(chēng)條件能夠推出條件，記為，（2）充分條件與必要條件：如果條件滿足，則稱(chēng)條件是條件的充分條件；稱(chēng)條件是條件的必要條件2、對(duì)于兩個(gè)條件而言，往往以其中一個(gè)條件為主角，考慮另一個(gè)條件與它的關(guān)系，這種關(guān)系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時(shí)既要判斷“若則”的真假，也要判斷“若則”真假3、兩個(gè)條件之間可能的充分必要關(guān)系：（1）能推出，但推不出，則稱(chēng)是的充分不必要條件（2）推不出，但能推出，則稱(chēng)是的必要不充分條件（3）能推出，且能推出，記為，則稱(chēng)是的充要條件，也稱(chēng)等價(jià)（4）推不出，且推不出，則稱(chēng)是的既不充分也不必要條件4、如何判斷兩個(gè)條件的充分必要關(guān)系（1）通過(guò)命題手段，將兩個(gè)條件用“若……，則……”組成命題，通過(guò)判斷命題的真假來(lái)判斷出條件能否相互推出，進(jìn)而確定充分必要關(guān)系。例如，構(gòu)造命題：“若，則”為真命題，所以，但“若，則”為假命題（還有可能為），所以不能推出；綜上，是的充分不必要條件（2）理解“充分”，“必要”詞語(yǔ)的含義并定性的判斷關(guān)系①充分：可從日常用語(yǔ)中的“充分”來(lái)理解，比如“小明對(duì)明天的考試做了充分的準(zhǔn)備”，何謂“充分”？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。在邏輯中充分也是類(lèi)似的含義，是指僅由就可以得到結(jié)論，而不需要再添加任何說(shuō)明與補(bǔ)充。以上題為例，對(duì)于條件，不需再做任何說(shuō)明或添加任何條件，就可以得到所以可以說(shuō)對(duì)是“充分的”，而反觀對(duì)，由，要想得到，還要補(bǔ)充一個(gè)前提：不能取，那既然還要補(bǔ)充，則說(shuō)明是“不充分的”②必要：也可從日常用語(yǔ)中的“必要”來(lái)理解，比如“心臟是人的一個(gè)必要器官”，何謂“必要”？沒(méi)有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒(méi)有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”體現(xiàn)的就是“沒(méi)它不行，但是僅有它也未必行”的含義。仍以上題為例：如果不成立，那么必然不為1，但是僅靠想得到也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要更多的補(bǔ)充條件，所以?xún)H僅是“必要的”（3）運(yùn)用集合作為工具先看一個(gè)問(wèn)題：已知,那么條件“”是“”的什么條件？由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要條件。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題可以看出，如果兩個(gè)集合存在包含關(guān)系，那么其對(duì)應(yīng)條件之間也存在特定的充分必要關(guān)系。在求解時(shí)可以將滿足條件的元素構(gòu)成對(duì)應(yīng)集合，判斷出兩個(gè)集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而就可確定條件間的關(guān)系了。相關(guān)結(jié)論如下：①：是的充分不必要條件，是的必要不充分條件②：是的充分條件③：是的充要條件此方法適用范圍較廣，尤其涉及到單變量取值范圍的條件時(shí)，不管是判斷充分必要關(guān)系還是利用關(guān)系解參數(shù)范圍，都可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的包含問(wèn)題，進(jìn)而快捷求解。例如在中，滿足的取值集合為，而滿足的取值集合為所以，進(jìn)而判斷出是的充分不必要條件5、關(guān)于“”的充分必要關(guān)系：可從命題的角度進(jìn)行判斷。例如：是的充分不必要條件，則命題“若，則”為真命題，根據(jù)四類(lèi)命題的真假關(guān)系，可得其逆否命題“若，則”也為真命題。所以是的充分不必要條件二、典型例題：例1：已知，則是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對(duì)應(yīng)集合。，解得：，即；或，即。所以，進(jìn)而是的充分不必要條件答案：C例2：已知，那么是的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件思路：本題若覺(jué)得不方便從條件中直接找到聯(lián)系，可先從一個(gè)條件入手推出其等價(jià)條件，再進(jìn)行判斷，比如“”等價(jià)于，所以只需判斷與的關(guān)系即可。根據(jù)的單調(diào)性可得：如果，則，但是若，在大于零的前提下，才有，而題目中僅說(shuō)明。所以不能推出。綜上可判斷是的充分不必要條件答案：C小煉有話說(shuō)：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那么可以尋找它們的等價(jià)條件（充要條件），再進(jìn)行判斷即可（2）在推中，因?yàn)槭菞l件，表達(dá)式成立要求，但是在推中，是條件，且對(duì)取值沒(méi)有特殊要求，所以，那么作為結(jié)論的就不一定有意義了。在涉及到變量取值時(shí)要首先分清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論。作為條件的一方默認(rèn)式子有意義，所以會(huì)對(duì)變量取值有一定的影響。例3：已知，如果是的充分不必要條件，則的取值范圍是_____思路：設(shè)，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，利用數(shù)軸可而判斷出答案：例4：下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（）A.B.C.D.思路：求的充分不必要條件，則這個(gè)條件能夠推出，且不能被推出。可以考慮驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)。A選項(xiàng)可以推出，而不一定能夠得到（比如），所以A符合條件。對(duì)于B，C兩個(gè)選項(xiàng)均不能推出A，所以直接否定。而D選項(xiàng)雖然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要條件，不符題意答案：A例5：（2015浙江溫州中學(xué)高二期中考試）設(shè)集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：先解出兩個(gè)解集：，的解集與的取值有關(guān)：若，則；若，則，觀察條件，若，則，所以成立；若，則通過(guò)數(shù)軸觀察區(qū)間可得的取值為多個(gè)（比如），所以“”是“”的充分不必要條件答案：A例6：對(duì)于函數(shù)，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：如果是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則中位于軸下方的部分沿軸對(duì)稱(chēng)翻上來(lái)，恰好圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，但的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)未必能得到是奇函數(shù)（例如），所以“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件答案：B例7：已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路一：可以考慮利用特殊值來(lái)進(jìn)行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例，則不成立，所以左邊無(wú)法得到右邊。而右左能夠成立，所以“”是“”的必要不充分條件思路二：本題也可以運(yùn)用集合的思想，將視為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則條件所對(duì)應(yīng)的集合為，作出兩個(gè)集合在坐標(biāo)系中的區(qū)域，觀察兩個(gè)區(qū)域可得，所以“”是“”的必要不充分條件答案：B例8（2015菏澤高三期中考試）：設(shè)條件：實(shí)數(shù)滿足；條件：實(shí)數(shù)滿足且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________思路：本題如果先將，寫(xiě)出，再利用條件關(guān)系運(yùn)算，盡管可行，但，容易書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤。所以?xún)?yōu)先考慮使用原條件?！笆堑谋匾怀浞謼l件”等價(jià)于“是的必要不充分條件”，而為兩個(gè)不等式，所以考慮求出解集再利用集合關(guān)系求解。解：設(shè)，可解得：，設(shè)可解得：，是的必要不充分條件是的必要不充分條件答案：例9：數(shù)列滿足，則“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：當(dāng)時(shí)，可得，即成等差數(shù)列。所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的充分條件。另一方面，如果成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以有，代入可得：，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得，則也為等差數(shù)列（公差為0），所以符合題意。從而由“數(shù)列成等差數(shù)列”無(wú)法推出“”，所以“”是“數(shù)列成等差數(shù)列”的不必要條件答案:A例10：設(shè)，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 思路：因?yàn)?，所以。故由可得，即，?duì)于能否推出，可考慮尋找各自等價(jià)條件：，，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分條件答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2、（2014南昌一模，3）設(shè)為向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3、若，則“成立”是“成立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4、（2014，北京）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、（2014上海13校聯(lián)考，15）集合，若“”是“”的充分條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、（2015，福建）“對(duì)任意的，”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7、（2014北京朝陽(yáng)一模，5）在中，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件