2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（一）：第9煉 零點(diǎn)存在的判定與證明含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題（一）：第9煉零點(diǎn)存在的判定與證明含答案第9煉零點(diǎn)存在的判定與證明一、基礎(chǔ)知識：1、函數(shù)的零點(diǎn)：一般的，對于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的零點(diǎn)。2、零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在3、函數(shù)單調(diào)性對零點(diǎn)個數(shù)的影響：如果一個連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個。因此分析一個函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)4、幾個“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖像，如果單調(diào)，則“一定”只有一個零點(diǎn)（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點(diǎn)（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖像影響。如果單調(diào)，則一定小于05、零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號：是一個在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時，；時，6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）可直接判斷的幾個結(jié)論：①若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù)②若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù)③若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律可簡記為“同增異減”）（3）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷——求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖像7、證明零點(diǎn)存在的步驟：（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號的區(qū)間（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在例1：函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（）A.B.C.D.思路：函數(shù)為增函數(shù)，所以只需代入每個選項(xiàng)區(qū)間的端點(diǎn)，判斷函數(shù)值是否異號即可解：，，使得答案：C例2：函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A.B.C.D.思路：先能判斷出為增函數(shù)，然后利用零點(diǎn)存在性判定定理，只需驗(yàn)證選項(xiàng)中區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號即可。時，，從而，，所以，使得答案：A小煉有話說：（1）本題在處理時，是利用對數(shù)的性質(zhì)得到其的一個趨勢，從而確定符號。那么處理零點(diǎn)問題遇到無法計(jì)算的點(diǎn)時也要善于估計(jì)函數(shù)值的取向。（2）本題在估計(jì)出時，后，也可舉一個具體的函數(shù)值為負(fù)數(shù)的例子來說明，比如。正是在已分析清楚函數(shù)趨勢的前提下，才能保證快速找到合適的例子。例3：（2010，浙江）已知是函數(shù)的一個零點(diǎn)，若，則（）A.B.C.D.思路：條件給出了的零點(diǎn)，且可以分析出在為連續(xù)的增函數(shù)，所以結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得答案：B例4：已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的零點(diǎn)，則________思路：由的范圍和解析式可判斷出為增函數(shù)，所以是唯一的零點(diǎn)?？紤]，，所以，從而答案：例5：定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，若的“新駐點(diǎn)”分別為，則（）A.B.C.D.思路：可先求出，由“新駐點(diǎn)”的定義可得對應(yīng)方程為：，從而構(gòu)造函數(shù)，再利用零點(diǎn)存在性定理判斷的范圍即可解：所以分別為方程的根，即為函數(shù)：的零點(diǎn)在單調(diào)減，在單調(diào)增，而，時，，而答案：C例6：若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對值不超過，則可以是（）A．B．C．D．思路：可判斷出單增且連續(xù)，所以至多一個零點(diǎn)，但的零點(diǎn)無法直接求出，而各選項(xiàng)的零點(diǎn)便于求解，所以考慮先解出各選項(xiàng)的零點(diǎn)，再判斷的零點(diǎn)所在區(qū)間即可解：設(shè)各選項(xiàng)的零點(diǎn)分別為，則有對于，可得：，所以C選項(xiàng)符合條件答案：C例7：設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)分別是的零點(diǎn)，則（）A.B.C.D.思路：可先根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷出的取值范圍：，從而；，從而，所以有，考慮，且發(fā)現(xiàn)為增函數(shù)。進(jìn)而，即答案：A例8：已知定義在上的函數(shù)，求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于思路：本題要證兩個要素：一個是存在零點(diǎn)，一個是零點(diǎn)唯一。證明零點(diǎn)存在可用零點(diǎn)存在性定理，而要說明唯一，則需要函數(shù)的單調(diào)性解：在單調(diào)遞增，使得因?yàn)閱握{(diào)，所以若，且則由單調(diào)性的性質(zhì)：與題設(shè)矛盾所以的零點(diǎn)唯一小煉有話說：如果函數(shù)在單調(diào)遞增，則在中，，即函數(shù)值與自變量一一對應(yīng)。在解答題中常用這個結(jié)論證明零點(diǎn)的唯一性例9：（2011年，天津）已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）當(dāng)時，證明：存在，使得解：（1）令解得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）思路：由（1）可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而從圖像上看必然會在存在使得，但由于是證明題，解題過程要有理有據(jù)。所以可以考慮將所證等式變?yōu)椋瑯?gòu)造函數(shù)，從而只需利用零點(diǎn)存在性定理證明有零點(diǎn)即可。解：設(shè)由（1）可得：當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)楦鶕?jù)零點(diǎn)存在性定理可得：，使得即存在，使得小煉有話說：（1）在證明存在某個點(diǎn)的函數(shù)值與常數(shù)相等時，往往可以將常數(shù)挪至函數(shù)的一側(cè)并構(gòu)造函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化成為證明函數(shù)存在零點(diǎn)的問題。（2）本題在尋找小于零的點(diǎn)時，先觀察表達(dá)式的特點(diǎn)：，意味著只要取得足夠大，早晚比要大的多，所以只需要取較大的自變量便可以找到的點(diǎn)。選擇也可，選擇等等也可以。例10：已知函數(shù)，其中常數(shù)，若有兩個零點(diǎn)，求證：思路：若要證零點(diǎn)位于某個區(qū)間，則考慮利用零點(diǎn)存在性定理，即證且，即只需判斷的符號，可先由存在兩個零點(diǎn)判斷出的取值范圍為，從而，只需將視為關(guān)于的函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)證明均大于零即可。解：令設(shè)，可得為增函數(shù)且時，時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以在，有兩個零點(diǎn)在單調(diào)遞增在單調(diào)遞增而，使得即另一方面：而，使得即綜上所述：第10煉函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題一、知識點(diǎn)講解與分析：1、零點(diǎn)的定義：一般地，對于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)的零點(diǎn)2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得。（1）在上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提（2）零點(diǎn)存在性定理中的幾個“不一定”（假設(shè)連續(xù)）①若，則的零點(diǎn)不一定只有一個，可以有多個②若，那么在不一定有零點(diǎn)③若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一4、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系設(shè)函數(shù)為，則的零點(diǎn)即為滿足方程的根，若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐?biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其范圍和個數(shù)可從圖像中得到。由此看來，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn)，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。（詳見方法技巧）二、方法與技巧：1、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個較小的范圍內(nèi)。例如：對于方程，無法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)，由即可判定其零點(diǎn)必在中2、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問題中的作用（1）函數(shù)的零點(diǎn)：工具：零點(diǎn)存在性定理作用：通過代入特殊值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個較小的范圍內(nèi)。缺點(diǎn)：方法單一，只能判定零點(diǎn)存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)（2）方程的根：工具：方程的等價變形作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)缺點(diǎn)：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù)（3）兩函數(shù)的交點(diǎn)：工具：數(shù)形結(jié)合作用：前兩個主要是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個數(shù)（即零點(diǎn)，根的個數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當(dāng)方程含參時，通常進(jìn)行參變分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像，那么因?yàn)榱硗庖粋€只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡（作圖問題詳見：1.7函數(shù)的圖像）3、在高中階段主要考察三個方面：（1）零點(diǎn)所在區(qū)間——零點(diǎn)存在性定理，（2）二次方程根分布問題，（3）數(shù)形結(jié)合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第（3）個類型常要用到函數(shù)零點(diǎn)，方程，與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，請通過例題體會如何利用方程構(gòu)造出函數(shù)，進(jìn)而通過圖像解決問題的。三、例題精析：例1：直線與函數(shù)的圖象有三個相異的交點(diǎn)，則的取值范圍為()．A．B．C．D．思路：考慮數(shù)形結(jié)合，先做出的圖像，，令可解得：或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為，極小值為，做出草圖。而為一條水平線，通過圖像可得，介于極大值與極小值之間，則有在三個相異交點(diǎn)。可得：答案：A小煉有話說：作圖時可先作常系數(shù)函數(shù)圖象，對于含有參數(shù)的函數(shù)，先分析參數(shù)所扮演的角色，然后數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)范圍。例2：設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有兩個相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________思路：方程等價于：，即函數(shù)與的圖像恰有兩個交點(diǎn)，分析的單調(diào)性并作出草圖：令解得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，由圖像可得，水平線位于之間時，恰好與有兩個不同的交點(diǎn)。答案：小煉有話說：（1）本題中的方程為，在構(gòu)造函數(shù)時，進(jìn)行了與的分離，此法的好處在于一側(cè)函數(shù)圖像為一條曲線，而含參數(shù)的函數(shù)圖像由于不含所以為一條水平線，便于上下平移，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。由此可得：若關(guān)于的函數(shù)易于作出圖像，則優(yōu)先進(jìn)行參變分離。所以在本題中將方程轉(zhuǎn)變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)并進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。（2）在作出函數(shù)草圖時要注意邊界值是否能夠取到，數(shù)形結(jié)合時也要注意能否取到邊界值。例3：已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.思路：函數(shù)有三個零點(diǎn)，等價于方程有三個不同實(shí)數(shù)根，進(jìn)而等價于與圖像有三個不同交點(diǎn)，作出的圖像，則的正負(fù)會導(dǎo)致圖像不同，且會影響的位置，所以按進(jìn)行分類討論，然后通過圖像求出的范圍為。答案：D小煉有話說：（1）本題體現(xiàn)了三類問題之間的聯(lián)系：即函數(shù)的零點(diǎn)方程的根函數(shù)圖象的交點(diǎn)，運(yùn)用方程可進(jìn)行等式的變形進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，解決這類問題要選擇合適的函數(shù)，以便于作圖，便于求出參數(shù)的取值范圍為原則。（2）本題所求在圖像中扮演兩個角色，一方面決定左側(cè)圖像直線的傾斜角，另一方面決定水平線的位置與軸的關(guān)系，所以在作圖時要兼顧這兩方面，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。例4：已知函數(shù)滿足，當(dāng)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）思路：，當(dāng)時，，所以，而有三個不同零點(diǎn)與有三個不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得：答案：B小煉有話說：本題有以下兩個亮點(diǎn)。（1）如何利用，已知的解析式求的解析式。（2）參數(shù)的作用為直線的斜率，故數(shù)形結(jié)合求出三個交點(diǎn)時的范圍例5：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．10思路：由為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對稱性作另一半圖像即可，當(dāng)時，可以利用利用圖像變換作出圖像，時，，即自變量差2個單位，函數(shù)值折半，進(jìn)而可作出，，……的圖像，的零點(diǎn)個數(shù)即為根的個數(shù)，即與的交點(diǎn)個數(shù)，觀察圖像在時，有5個交點(diǎn)，根據(jù)對稱性可得時，也有5個交點(diǎn)。共計(jì)10個交點(diǎn)答案：D小煉有話說：（1）類似函數(shù)的周期性，但有一個倍數(shù)關(guān)系。依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時，以一個“周期”圖像為基礎(chǔ)，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可（2）周期性函數(shù)作圖時，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準(zhǔn)確標(biāo)出，便于數(shù)形結(jié)合。（3）巧妙利用的奇偶性，可以簡化解題步驟。例如本題中求交點(diǎn)個數(shù)時，只需分析正半軸的情況，而負(fù)半軸可用對稱性解決例6：對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：由“局部奇函數(shù)”可得：，整理可得：，考慮到，從而可將視為整體，方程轉(zhuǎn)化為：，利用換元設(shè)（），則問題轉(zhuǎn)化為只需讓方程存在大于等于2的解即可，故分一個解和兩個解來進(jìn)行分類討論。設(shè)。（1）若方程有一個解，則有相切（切點(diǎn)大于等于2）或相交（其中交點(diǎn)在兩側(cè)），即或，解得：或（2）若方程有兩解，則，解得：，綜上所述：答案：A小煉有話說：本題借用“局部奇函數(shù)”概念，實(shí)質(zhì)為方程的根的問題，在化簡時將視為整體，進(jìn)而將原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根分布問題，進(jìn)行求解。例7：已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時，，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．0或2思路：，結(jié)合的零點(diǎn)個數(shù)即為方程，結(jié)合條件中的不等式，可將方程化為，可設(shè)，即只需求出的零點(diǎn)個數(shù)，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；同理可得：在上單調(diào)遞減，，故，所以不存在零點(diǎn)。答案：A小煉有話說：（1）本題由于解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決。（2）所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)，猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘法法則，變形后可得，而的零點(diǎn)問題可利用方程進(jìn)行變形，從而與條件中的相聯(lián)系，從而構(gòu)造出例8：定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對，有，且當(dāng)時，，若函數(shù)在上至少有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：體現(xiàn)的是間隔2個單位的自變量，其函數(shù)值差，聯(lián)想到周期性，考慮先求出的值，由為偶函數(shù)，可令，得，為周期是2的周期函數(shù)。已知條件中函數(shù)有三個零點(diǎn)，可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程即至少有三個根，所以與有三個交點(diǎn)。先利用在的函數(shù)解析式及周期性對稱性作圖，通過圖像可得：時，不會有3個交點(diǎn)，考慮的圖像。設(shè)，則，利用圖像變換作圖，通過觀察可得：只需當(dāng)時，的圖像在上方即可，即所以答案：B小煉有話說：本題有以下幾個亮點(diǎn)：（1）的周期性的判定：可猜想與周期性有關(guān)，可帶入特殊值，解出，進(jìn)而判定周期，配合對稱性作圖（2）在選擇出交點(diǎn)的函數(shù)時，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中，的圖像可做，且可通過圖像變換做出例9：已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，其中，若方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：由可得，即的周期為，所解方程可視為與的交點(diǎn)，而的作用為影響圖像直線的斜率，也絕對此段的最值（），先做出的圖像，再根據(jù)三個交點(diǎn)的條件作出的圖像（如圖），可發(fā)現(xiàn)只要在處，的圖像高于圖像且在處的圖像低于圖像即可。所以有，即答案：B例10：（2014甘肅天水一中五月考）已知函數(shù)的圖像上關(guān)于軸對稱的點(diǎn)至少有3對，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：考慮設(shè)對稱點(diǎn)為，其中，則問題轉(zhuǎn)化為方程至少有三個解。即有三個根，所以問題轉(zhuǎn)化為與有三個交點(diǎn)，先做出的圖像，通過觀察可知若與其有三個交點(diǎn)，則，進(jìn)一步觀察圖像可得：只要，則滿足題意，所以，所以答案：A三、近年模擬題題目精選：1、已知是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，，那么在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程有個根，則的取值范圍是()．A．或B．C．或D．2、（2014吉林九校聯(lián)考二模，16）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足條件：①點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱是函數(shù)的一個“姊妹點(diǎn)對”（與可看作同一點(diǎn)對），已知，則的“姊妹點(diǎn)對”有______個3、（2015，天津）已知函數(shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4、（2015，湖南）已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是______5、（2014，新課標(biāo)全國卷I）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6、（2014，山東）已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.7、（2014，天津）已知函數(shù)，若方程恰有4個互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________8、（2015，江蘇）已知函數(shù)，則方程實(shí)根的個數(shù)為__________9、已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.10、對于函數(shù)，設(shè)，若存在使得，則稱與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.11、已知偶函數(shù)滿足對任意，均有且，若方程恰有5個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.12、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有9個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為________13、（2014，四川）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍習(xí)題答案：1、答案：B解析：根據(jù)周期性和對稱性可作出的圖像，直線過定點(diǎn)結(jié)合圖像可得：若內(nèi)有四個根，可知。若直線與在相切，聯(lián)立方程：，令可得：，當(dāng)時，解得，綜上所述：2、答案：2解析：關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)為和，不妨設(shè)，則有，從而，所以“姊妹點(diǎn)對”的個數(shù)為方程的個數(shù)，即曲線與的交點(diǎn)個數(shù)，作出圖像即可得有兩個交點(diǎn)3、答案：D解析：由得，所以，即,所以恰有4個零點(diǎn)等價于方程有4個不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個公共點(diǎn)，由圖象可知.4、答案：解析：由兩個零點(diǎn)，即方程有兩個根，從而與有兩個交點(diǎn)?？稍谕恢苯亲鴺?biāo)系下作出，觀察圖像可得：時，水平線與有兩個交