2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第83煉 特殊值法解決二項式展開系數(shù)問題含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第83煉特殊值法解決二項式展開系數(shù)問題含答案第83煉特殊值法解決二項式展開系數(shù)問題一、基礎(chǔ)知識：1、含變量的恒等式：是指無論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立。所以通常可對變量賦予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì)2、二項式展開式與原二項式呈恒等關(guān)系，所以可通過對變量賦特殊值得到有關(guān)系數(shù)（或二項式系數(shù)）的等式3、常用賦值舉例：（1）設(shè)，①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：（2）設(shè)①令，則有：，即展開式系數(shù)和②令，則有：，即常數(shù)項③令，設(shè)為偶數(shù)，則有：，即偶次項系數(shù)和與奇次項系數(shù)和的差由①③即可求出和的值二、典型例題：例1：已知，則的值為________思路：觀察發(fā)現(xiàn)展開式中奇數(shù)項對應(yīng)的指數(shù)冪為奇數(shù)，所以考慮令，則偶數(shù)項相同，奇數(shù)項相反，兩式相減即可得到的值解：令可得：①令可得：②①②可得：答案：例2：已知，則的值為（）A.B.C.D.思路：本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜，但仍然可通過對賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式，觀察所求式子特點可令，得到，只需再求出即可。令可得，所以答案：B例3：設(shè)，則的值為（）A.B.C.D.思路：所求，在恒等式中令可得：，令時，所以答案：A例4：若，則等于（）A.B.C.D.思路：雖然展開式的系數(shù)有正有負，但與對應(yīng)系數(shù)的絕對值相同，且均為正數(shù)。所以只需計算展開的系數(shù)和即可。令，可得系數(shù)和為，所以答案：A例5：若，則__________思路：所求表達式可變形為：，從而只需求出和系數(shù)和即可。令可得：，令可得：，所以答案：2014例6：若，且，則等于（）A.B.C.D.思路：由可得或，解得，所求表達式只需令，可得答案：A例7：若，則（）A.B.C.D.思路：所求表達式中的項呈現(xiàn)2的指數(shù)冪遞增的特點，與恒等式聯(lián)系可發(fā)現(xiàn)令，可得：，令可得：，所以，所以所求表達式變形為：，而，所以，從而表達式的值為答案：D例8：已知，若，則的值為（）A.B.C.D.思路：在恒等式中令可得系數(shù)和，與條件聯(lián)系可考慮先求出，令，可得，展開式中為最高次項系數(shù)，所以，，所以，即，解得答案：B例9：若，則的值是（）A.B.C.D.思路：觀察所求式子中項的系數(shù)剛好與二項展開式中所在項的次數(shù)一致，可聯(lián)想到冪函數(shù)求導(dǎo)：，從而設(shè)，恒等式兩邊求導(dǎo)再令可解得的值，再在原恒等式中令計算出即可解：設(shè)令可得：而在中，令可得：答案：D例10：若等式對于一切實數(shù)都成立，則（）A.B.C.D.思路：從所求表達式項的系數(shù)與展開式對應(yīng)項聯(lián)系起來可聯(lián)想到在恒等式中兩邊同取不定積分。例如：，再利用賦值法令即可得到所求表達式的值解：，兩邊同取不定積分可得：令可得：令可得：答案：B小煉有話說：（1）本題可與例9作一個對照，都是對二項展開的恒等式進行等價變換。是求導(dǎo)還是取不定積分是由所求表達式項的系數(shù)與展開式系數(shù)對照所確定的。（2）在取不定積分時，本題有兩個細節(jié)，一個是尋找的原函數(shù)，要注意其原函數(shù)求導(dǎo)時涉及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，所以系數(shù)要進行調(diào)整。此類問題多是先猜函數(shù)的原型，再通過對所猜函數(shù)求導(dǎo)后與已知比較，調(diào)整系數(shù)；第二個是在求原函數(shù)時，要注意添加常數(shù)“C”，再利用賦值法求出的值即可第84煉古典概型一、基礎(chǔ)知識：1、基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個不可再分的結(jié)果稱為一個基本事件。例如：在扔骰子的試驗中，向上的點數(shù)1點，2點，……，6點分別構(gòu)成一個基本事件2、基本事件空間：一次試驗，將所有基本事件組成一個集合，稱這個集合為該試驗的基本事件空間，用表示。3、基本事件特點：設(shè)一次試驗中的基本事件為（1）基本事件兩兩互斥（2）此項試驗所產(chǎn)生的事件必由基本事件構(gòu)成，例如在扔骰子的試驗中，設(shè)為“出現(xiàn)點”，事件為“點數(shù)大于3”，則事件（3）所有基本事件的并事件為必然事件由加法公式可得：因為，所以4、等可能事件：如果一項試驗由個基本事件組成，而且每個基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，那么每一個基本事件互為等可能事件。5、等可能事件的概率：如果一項試驗由個基本事件組成，且基本事件為等可能事件，則基本事件的概率為證明：設(shè)基本事件為，可知所以可得6、古典概型的適用條件：（1）試驗的所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限多個（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等當滿足這兩個條件時，事件發(fā)生的概率就可以用事件所包含的基本事件個數(shù)占基本事件空間的總數(shù)的比例進行表示，即7、運用古典概型解題的步驟：①確定基本事件，一般要選擇試驗中不可再分的結(jié)果作為基本事件，一般來說，試驗中的具體結(jié)果可作為基本事件，例如扔骰子，就以每個具體點數(shù)作為基本事件；在排隊時就以每種排隊情況作為基本事件等，以保證基本事件為等可能事件②可通過計數(shù)原理（排列，組合）進行計算③要保證中所含的基本事件，均在之中，即事件應(yīng)在所包含的基本事件中選擇符合條件的二、典型例題：例1：從這6個自然數(shù)中隨機取三個數(shù)，則其中一個數(shù)是另外兩個數(shù)的和的概率為________思路：事件為“6個自然數(shù)中取三個”，所以，事件為“一個數(shù)是另外兩個數(shù)的和”，不妨設(shè)，則可根據(jù)的取值進行分類討論，列舉出可能的情況：，所以。進而計算出答案：例2：從集合中隨機選取一個數(shù)記為，從集合中隨機選取一個數(shù)記為，則直線不經(jīng)過第三象限的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“的所有組合”，則，設(shè)事件為“直線不經(jīng)過第三象限”，則要求，所以，從而答案：A例3：袋中共有7個大小相同的球，其中3個紅球，2個白球，2個黑球。若從袋中任取三個球，則所取3個球中至少有兩個紅球的概率是（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“袋中任取三球”，則，設(shè)事件為“至少兩個紅球”，所以，從而答案：B例4：設(shè)函數(shù)，若是從三個數(shù)中任取一個，是從五個數(shù)中任取一個，那么恒成立的概率是（）A.B.C.D.思路：設(shè)事件為“從所給數(shù)中任取一個”，則，所求事件為事件，要計算所包含的基本事件個數(shù)，則需要確定的關(guān)系，從恒成立的不等式入手，恒成立，只需，而，當時，，所以當時，，所以，得到關(guān)系后即可選出符合條件的：共8個，當時，，所以符合條件，綜上可得，所以答案：A例5：某人射擊10次擊中目標3次，則其中恰有兩次連續(xù)命中目標的概率為（）A.B.C.D.思路：考慮設(shè)為“10次射擊任意擊中三次”，則，設(shè)事件為“恰有兩次連續(xù)命中”，則將命中分為兩次連續(xù)和一次單獨的，因為連續(xù)與單獨的命中不相鄰，聯(lián)想到插空法，所以（剩下七個位置出現(xiàn)八個空，插入連續(xù)與單獨的，共有種，然后要區(qū)分連續(xù)與單獨的順序，所以為），從而答案：A例6：已知甲袋裝有6個球，1個球標0,2個球標1，3個球標2；乙袋裝有7個球，4個球標0,1個球標1,2個球標2，現(xiàn)從甲袋中取一個球，乙袋中取兩個球，則取出的三個球上標有的數(shù)碼乘積為4的概率是____________思路：設(shè)為“兩個袋中取出三個球”，則，事件為“三個球標記數(shù)碼乘積為4”，因為，所以三個球中有兩個2號球，1個1號球，可根據(jù)1號球的來源分類討論，當1號球在甲袋時，有種，當1號球在乙袋時，則乙袋一個1號球，一個二號球，共有有種，即種。則答案：例7：四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中任取4個點，則這四個點不共面的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“10個點中取4個點”，則，設(shè)事件為“4個點不共面”，若正面尋找不共面的情況較為復(fù)雜，所以考慮問題的對立面，即為“4個點共面”，由圖可得四點共面有以下幾種情況：（1）四個點在四面體的面上，則面上6個點中任意4個點均共面，則；（2）由平行線所產(chǎn)生的共面（非已知面），則有3對，即；（3）由一條棱上的三點與對棱的中點，即，所以共面的情況，所以，所以答案：D例8：袋子里有3顆白球，4顆黑球，5顆紅球，由甲，乙，丙三人依次各抽取一個球，抽取后不放回，若每顆球被抽到的機會均等，則甲，乙，丙三人所得之球顏色互異的概率是（）A.B.C.D.思路：事件為“不放回地抽取3個球”，則，基本事件為甲，乙，丙拿球的各種情況，且將這些球均視為不同元素。設(shè)所求事件“甲，乙，丙三人所得之球顏色互異”為事件，則先要從白球黑球紅球中各取一個（），再分給三個人（三個元素全排列），所以，從而答案：D例9：甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若或，就稱甲乙“心有靈犀”現(xiàn)在任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A.B.C.D.思路：設(shè)為“甲想乙猜的所有情況”，則，設(shè)事件為“甲乙‘心有靈犀’”，可對甲想的數(shù)進行分類討論：當時，可取的值為或；當時，，所以事件包含的基本事件數(shù)，所以答案：C例10：將1,2,3,4四個數(shù)字隨機填入右方的方格中，每個方格中恰填一數(shù)字，但數(shù)字可重復(fù)使用，試問時間“A